倪勤華

1 引言

2022年1月深圳市舉行了初三年級中考適應(yīng)性考試，這是一次在雙減背景下以數(shù)學(xué)素養(yǎng)為導(dǎo)向的考試，筆者以填空題的15題為例談?wù)剬Τ踔袔缀谓虒W(xué)的感悟.

2 試題呈現(xiàn)

（2022年深圳九年級適應(yīng)性考試第15題）如圖1，已知△ABC和△EAD都是等腰直角三角形，∠BAC=∠ADE=90°，AB=AC=1，AD=DE=5，點(diǎn)D在直線BC上，EA的延長線交直線BC于點(diǎn)F，則FB的長是???? .

3 特色解讀

本題以學(xué)生熟悉的等腰直角三角形為背景構(gòu)造圖形，屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域的綜合問題，內(nèi)涵豐富，特點(diǎn)突出.從知識角度看，以三角形為載體，涵蓋了平行線、等腰三角形、相似三角形、勾股定理等知識;從能力角度看，關(guān)注了學(xué)生的幾何直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等綜合能力;從數(shù)學(xué)思想角度看，滲透了模型思想、轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想.

本題從“形”（圖形的形狀、大?。┞?lián)想到“子母型相似”“三線合一”，作出等腰三角形底邊上的高，借助幾何直觀構(gòu)建基本模型“一線三等角”“A型相似”等，綜合分析條件與結(jié)論，運(yùn)用多種解題策略，推理得出線段間的數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)“形”與“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，從而解決問題.考查學(xué)生在理解“一線三等角”“子母型相似”“A型相似”等模型之后，能否借助圖形多角度考慮問題.

本題具有典型性、靈活性與創(chuàng)新性等特點(diǎn)，富有深圳特色，解法開放，考查了學(xué)生的幾何直觀、模型思想、運(yùn)算能力等素養(yǎng)，不但重視對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的考查，又聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).作為教師要做到追本溯源，探究推廣.

4 解法賞析

分析：許多學(xué)生初看本題，感到既熟悉又無從下手.其實(shí)，可以由條件中的等腰直角三角形得出45°和90°這兩個切入口.

思路一：子母型相似.

解法1：如圖2，作AG⊥BC于點(diǎn)G.

易證△ABF∽△DAF，所以BFAF=AFDF=ABDA=15.設(shè)BF=x，則AF=5x，DF=5x.

因?yàn)镕B+BG+DG=DF，所以x+22+322=5x，解得x=22.故FB=22.

思路二：子母型相似+勾股定理.

解法2：如圖2，作AG⊥BC于點(diǎn)G.

易證△ABF∽△DAF，所以BFAF=ABDA=15.

設(shè)BF=x，則AF=5x.由AF2=FG2+AG2，得5x2=x+222+222，解得x1=22，x2=-24舍去.故FB=22.

評析：解法1和2考查學(xué)生對“形”的高度敏感性，發(fā)現(xiàn)△AFB與△DFA有公共角F，由兩個等腰直角三角形，得出∠ABF=∠DAF=135°，找到子母型相似，再作出AG，自然而然聯(lián)想到勾股定理，問題破解.這兩種方法本質(zhì)上是相同的，即通過構(gòu)造子母型相似，將幾何圖形的線段關(guān)系代數(shù)化為方程解決問題.

思路三：一線三等角+A型相似.

解法3：如圖3，作AG⊥BC于點(diǎn)G，EH⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)H.

由題意得AG=22，DG=322.又由“一線三等角”，得△AGD≌△DHE，所以EH=DG=322，DH=AG=22.故GH=22.

易證△AFG∽△EFH，所以FGFH=AGEH=13，故FGGH=12.又因?yàn)镚H=22，故FG=2.

所以FB=22.

評析：解法3是基于對∠ADE=90°的聯(lián)想與思考，由于邊FD上斜著擺放了一個直角，因而構(gòu)造出“一線三等角”的基本模型.此解法貼合學(xué)生想法，容易想到，大多數(shù)同學(xué)能作出輔助線，但對綜合能力的要求較高，很多學(xué)生沒能順利解決問題.

思路四：子母型相似+A型相似.

解法4：如圖4，連接CE.

易證△ABF∽△DAF，所以BFAF=ABDA=15.

因?yàn)锽C=2，AE=10，所以BFAF=

BCAE=

15，

可得AFEF=FBFC.又因?yàn)椤螰=∠F，所以△AFB∽△EFC，故ABEC=FBFC.

由∠BAC=90°，AB∥CE，得∠ACE=90°.又因?yàn)锳C=1，AE=10，所以EC=3.故FBFC=ABEC=13，從而FBBC=12.又因?yàn)锽C=2，故FB=22.

評析：解法4的發(fā)現(xiàn)，源于幾何直觀，學(xué)生直覺認(rèn)為CE平行于AB，若平行，問題自然迎刃而解.根據(jù)勾股定理算出BC與AE的長度，并且發(fā)現(xiàn)了“子母型相似”與“A型相似”，很快能證明△ABF與△DAF相似.此解法凸顯直觀想象素養(yǎng)，運(yùn)算簡單，體現(xiàn)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

思路五：“12345”.

解法5：如圖2，作AG⊥BC于點(diǎn)G.

由∠ABC=∠EAD=45°，得∠ABF=∠DAF=135

°.所以△ABF∽△DAF，則∠FAB=∠FDA.在等腰直角三角形ABC中，由AB=AC=1，得AG=BG=22.又由AD=5 ，得DG= 322.故tan∠FDA=13.所以tan∠FAB=∠FDA=13 .

又因?yàn)椤螰AB+∠F=∠ABC=45°，所以tan F=12 .由AG= 22 ，得FG=2 .所以FB=22 .

評析：解法5另辟蹊徑，從45°聯(lián)想到“12345”，利用勾股定理求出AG，BG和DG的長度，由此發(fā)現(xiàn)tan∠FDA=13 ，適用“12345”結(jié)論.此解法構(gòu)思巧妙，思路簡潔，體現(xiàn)了學(xué)生思維的靈活性[1].

思路六：建立坐標(biāo)系.

解法6：如圖5，以BC的中點(diǎn)G為原點(diǎn)建立

平面直角坐標(biāo)系，則B-22，0，C22，0.

因?yàn)锳D=5，AG=22，所以由勾股定理可得DG=322 .

作EH⊥BC于點(diǎn)H.

易證△AGD≌△DHE，得GH=22，則E22，322.

所以，直線EA的方程為y=12x+122.

當(dāng)y=0時，x=-2 ，即F（-2 ，0）.

所以FB=22.

評析：解法6源于數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)用代數(shù)的方法解決幾何問題.雖然此解法與解法3本質(zhì)相同，但頗具“數(shù)學(xué)味”，體現(xiàn)學(xué)生思維的靈活性，彰顯出教師教學(xué)中對課內(nèi)知識的延伸，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)解析幾何奠定基礎(chǔ).

5 試題拓展

拓展1 如圖6，已知△ABC和△EAD都是等邊三角形，AB=AC=2，AD=DE=27，點(diǎn)D在直線BC上，EA的延長線交直線BC于點(diǎn)F，則FB的長是?? .

拓展2 如圖7，已知△ABC和△EAD都是等腰三角形，∠BAC=∠ADE=120°，AB=AC=23，AD=DE=213，點(diǎn)D在直線BC上，EA的延長線交直線BC于點(diǎn)F，則FB的長是??? .

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)思維是學(xué)生在思考問題、解決問題的過程中逐步積累起來的.前面我們探究出了一題多解，現(xiàn)將題目進(jìn)行拓展，一題多變，突破學(xué)生思維障礙，在“做”和“思”的過程中，幫助學(xué)生掌握解決一類問題的基本方法，提升學(xué)生的綜合分析能力，發(fā)展學(xué)生思維的深刻性、廣闊性以及靈活性，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

6 教學(xué)思考

“圖形與幾何” 是數(shù)學(xué)四大學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一，因此幾何教學(xué)在義務(wù)教育階段占有重要的地位，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著不可替代的作用.初中幾何教學(xué)對學(xué)生幾何直觀與邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)具有重要的影響，更是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)之一[2].

6.1 立足教材，關(guān)注模型

教材是教學(xué)的根本，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、獲得數(shù)

學(xué)能力、形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體.教師需立足教材，

高于教材，把握核心模型，關(guān)注學(xué)生對幾何模型的夯實(shí)與理解.

本題源自北師大版《數(shù)學(xué)》（2013版）九年級上冊第120頁復(fù)習(xí)題第11題：如圖8，點(diǎn)C，D在線段 AB上，△PCD是等邊三角形，且 △ACP∽△PDB，求∠APB的度數(shù).

題目以等腰直角三角形為背景，綜合考查等腰三角形、直角三角形、相似三角形的性質(zhì)與判定等初中幾何的主要知識點(diǎn).題目包含眾多基本模型，如“一線三等角”“A型相似”“子母型相似”，涵蓋初中三角形的所有基礎(chǔ)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)對學(xué)生從整體上把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的要求.

教師在進(jìn)行幾何教學(xué)時，需深鉆教材，對整個幾何知識體系有清晰的認(rèn)知，并對教材有宏觀的把握能力，對內(nèi)容進(jìn)行整合和重組，歸納出常見幾何模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察體會這些模型的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”，使學(xué)生對這些基本模型具備較好的認(rèn)知基礎(chǔ)和解題經(jīng)驗(yàn)以及順利解決問題的思維基礎(chǔ)[2].

6.2 挖掘幾何特征，發(fā)展核心素養(yǎng)

學(xué)生在學(xué)習(xí)研究幾何時，需細(xì)心觀察，借助幾何直觀，展開線與線的位置，圖形間的全等、相似等變換的研究，發(fā)現(xiàn)圖形的關(guān)系特征，形成必備的空間想象、推理與計算、方程與函數(shù)、分類與整合、動靜結(jié)合、特殊與一般等后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展所需的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[3].

學(xué)生遇到綜合性幾何問題時，往往束手無策，不得其法.很多時候面對復(fù)雜圖形不知如何下手，這時學(xué)生需要有挖掘圖形幾何特征的意識，結(jié)合已知條件，識別出熟悉的基本模型，喚醒與此模型相關(guān)的結(jié)論、方法，作為解題的突破口.比如，本試題可以從兩個等腰三角形中45°或直角作為切入點(diǎn)，識別出“一線三等角”“12345”“A型相似”“子母型相似”等模型，從而快速找到解決問題的思路.

幾何教學(xué)意在引導(dǎo)學(xué)生善于從圖形出發(fā)挖掘模型的幾何特征，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)模型經(jīng)驗(yàn)方法的積累，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、幾何直觀等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).

6.3 強(qiáng)化邏輯推理，凸顯核心素養(yǎng)

初中數(shù)學(xué)問題的解決思路是由已知到未知，中間要經(jīng)歷“由已知得可知，由未知想需知”的過程，其中推理能力貫穿解題的始終.在嘗試解決問題時，順向與逆向推理、猜想與驗(yàn)證推理、歸納與演繹推理，都凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)[4].

對于綜合性的幾何問題，常常要綜合分析：由題設(shè)及模型特征正向推理得出若干條件;由未知逆向推理得出解決問題所需的條件.

通過若干次推理后讓兩者相遇，最終使問題得以突破.

在幾何教學(xué)中，教師要注重強(qiáng)化學(xué)生邏輯推理能力.比如，結(jié)合題設(shè)條件展開合情推理，從條件入手得出各種結(jié)論，從結(jié)論入手逆推方法，建立知識間的邏輯聯(lián)系，從而順利解決問題.

6.4 反思優(yōu)化歸納，提升核心素養(yǎng)

綜合性幾何問題涉及的知識點(diǎn)較多，解法多樣.教師在教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，實(shí)現(xiàn)一題多解;對各種解法進(jìn)行提煉，優(yōu)化解題策略;反思方法和規(guī)律，體會多解歸一;設(shè)置延續(xù)性的變式問題進(jìn)行一題多變，抓住問題的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，掌握解決問題的通式通法，提升和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

在解決了綜合性的幾何問題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思優(yōu)化歸納，如，這道題考查了哪些模型？這類模型常見的輔助線與結(jié)論有哪些？解決這類題的關(guān)鍵是什么？每種解法的切入點(diǎn)在哪里？各種解法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？以后解決這類問題該如何做？使得學(xué)生在提煉方法和回顧思維的過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]柳軍，水冰.注重數(shù)學(xué)思維 彰顯育人價值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（32）：41-45.

[2]曹建軍.考查基本圖形 引導(dǎo)幾何教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（26）：44-47.

[3]程雪瓊，褚艷娟.挖掘特征善聯(lián)想 回歸本源覓方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（8）：12-14.

[4]姜曉翔.著眼綜合實(shí)踐 凸顯素養(yǎng)立意[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（26）：35-39.