黎天萍

摘? 要：HPM是帶入數(shù)學(xué)史于課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生以歷史角度分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，追溯數(shù)學(xué)問(wèn)題的歷史演變、問(wèn)題結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用等方面的方法。這要求高中數(shù)學(xué)教師以這種方法進(jìn)行課堂教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生了解及探索數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，幫助其擴(kuò)展整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)，并逐漸完善數(shù)學(xué)知識(shí)?？梢哉f(shuō)，教師從HPM視角展開(kāi)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略，并堅(jiān)持學(xué)生本位，針對(duì)概念構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng)，對(duì)于提升學(xué)生的辯證思維有很大的促進(jìn)作用。對(duì)此，本文以HPM為切入點(diǎn)，將其融于高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，提出一些數(shù)學(xué)應(yīng)用策略。

關(guān)鍵詞：HPM;高中數(shù)學(xué);概念教學(xué)

一、HPM融合高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義

（一）何為HPM

HPM是指數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史間的關(guān)系說(shuō)明，其最早出現(xiàn)于20世紀(jì)70年代，是數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國(guó)際研究小組的英文縮寫(xiě)。一般情況下，面向數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)關(guān)系領(lǐng)域的研究當(dāng)作HPM。HPM的研究目標(biāo)即為借助于應(yīng)用數(shù)學(xué)史，提升數(shù)學(xué)的教育水平。同樣的，HPM關(guān)注的領(lǐng)域則是多元化、多學(xué)科交叉、多方法認(rèn)識(shí)的過(guò)程，發(fā)生數(shù)學(xué)法和數(shù)學(xué)史、學(xué)生困難和數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)的原始文本之間的關(guān)系等。很多數(shù)學(xué)教科書(shū)，僅僅是在教材上展現(xiàn)知識(shí)間的邏輯關(guān)系，并沒(méi)有深入展開(kāi)數(shù)學(xué)概念、證明原理等內(nèi)容的形成及其背后的文化背景。對(duì)此，創(chuàng)新教學(xué)方法，幫助學(xué)生從“史”的角度掌握基本概念，對(duì)進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)概念應(yīng)用有重要的作用。

（二）數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)方法相結(jié)合的教學(xué)價(jià)值

第一，提供了直接的歷史信息，有利于開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)的社會(huì)文化背景，并通過(guò)一定的教學(xué)手段使學(xué)生了解數(shù)學(xué)史維度下數(shù)學(xué)的應(yīng)用方式。從“史”找到數(shù)學(xué)概念發(fā)生的根，即為發(fā)生教學(xué)法，同時(shí)其也常常作為HPM框架下的教學(xué)方法。如在課堂上展示趣味性的數(shù)學(xué)史故事;導(dǎo)入數(shù)學(xué)史片段，增強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的關(guān)聯(lián)性;將數(shù)學(xué)史中的某一時(shí)間段作為課堂延伸的一部分，促使學(xué)生主動(dòng)探究其生成結(jié)果等等。第二，因?yàn)閿?shù)學(xué)史是架構(gòu)高等數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)紐帶。從這一點(diǎn)上可以看出，數(shù)學(xué)史應(yīng)該是教師必備的知識(shí)能力之一，掌握“數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)”指南的技能，進(jìn)而才能更好地從數(shù)學(xué)概念的生成本質(zhì)入手，讓學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)，而不是一味地接受并僵化套用。可以說(shuō)，將數(shù)學(xué)史帶入高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)過(guò)程中，為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供了新活力，利于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，從而更好地應(yīng)用概念于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，融會(huì)貫通并遷移到其他學(xué)科學(xué)習(xí)中。

二、HPM視角下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略

（一）高中數(shù)學(xué)概念應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)及反饋

創(chuàng)設(shè)概念教學(xué)情境，如教師以多媒體方式呈現(xiàn)礦泉水瓶隨處可見(jiàn)，這些水瓶的實(shí)際容量相同，設(shè)計(jì)尺寸也基本相似，這樣設(shè)計(jì)是否存在一定的規(guī)律？教師通過(guò)展示圖片引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究：在礦泉水瓶的設(shè)計(jì)理念中，一定要考慮到材料成本問(wèn)題，也就是怎樣設(shè)計(jì)瓶身才能節(jié)省材料。我們了解到礦泉水瓶材料成本與其瓶身表面積有直接關(guān)系。對(duì)此能夠發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，暫且將礦泉水瓶外觀視為圓柱形，這樣便于分析問(wèn)題和解決問(wèn)題?！熬哂邢嗤w積的圓柱體，其半徑和高度應(yīng)取值多少，才能實(shí)現(xiàn)最小面積的目標(biāo)？”除非是將水平剪開(kāi)，分別計(jì)算各個(gè)面積，并進(jìn)行加總，但是這一操作并不具有普遍性。對(duì)此，教師應(yīng)該引入導(dǎo)數(shù)概念并對(duì)此類(lèi)問(wèn)題提出解決方案。

探究過(guò)程：接近圓柱形的礦泉水瓶的高度大約是半徑的四倍，與實(shí)際測(cè)量結(jié)果不同。這時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生測(cè)量瓶身各個(gè)部分的厚度，可以借助易拉罐進(jìn)行測(cè)量與計(jì)算。分析結(jié)果：應(yīng)用HPM能夠簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決過(guò)程，促使學(xué)生能夠理解概念，并能夠?qū)⑵鋺?yīng)用于生活實(shí)際問(wèn)題的解決。常規(guī)解題思路難以解決這類(lèi)問(wèn)題，對(duì)此，將HPM方法與概念教學(xué)相結(jié)合，并創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，若學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了新的問(wèn)題，可以引導(dǎo)學(xué)生利用瓶身半徑與高度之間比例關(guān)系問(wèn)題，促使學(xué)生繼續(xù)思考，帶動(dòng)其自主探究問(wèn)題，并找到答案。學(xué)生掌握解決一個(gè)問(wèn)題的方法，而不是直接獲取答案，在很大程度上提升了課堂教學(xué)質(zhì)量，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解與概念應(yīng)用也較好。當(dāng)然，教師也應(yīng)該注意到，教師應(yīng)用HPM教學(xué)方法，應(yīng)該分析問(wèn)題探究難度是否適合HPM教學(xué)方法;學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ);教學(xué)階段的特殊性，如高三授課則不適用這種教學(xué)方法。在高一、高二講授新課時(shí)，教師可適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)概念教學(xué)過(guò)程，促使學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上，能夠在解決問(wèn)題過(guò)程中靈活應(yīng)用概念，并能夠理解深層次的概念?？傊?，對(duì)于高中抽象概念教學(xué)，教師應(yīng)合理選擇HPM教學(xué)方法支持課堂探究活動(dòng)，這一活動(dòng)的設(shè)計(jì)理解主要傾向于利用HPM解題思想。

（二）“概念進(jìn)化”的教學(xué)過(guò)程

針對(duì)高中教材棱柱概念的陳述“有兩個(gè)面相互平行，其他的面是四邊形，每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，這些面所圍成的多面體即為棱柱”。高中這一概念與初中相關(guān)概念相比，其概念抽象程度更高，文字表述簡(jiǎn)潔但是難于直接理解和應(yīng)用，如果理解偏差，則會(huì)出現(xiàn)概念應(yīng)用的錯(cuò)誤。教師PPT展示如下幾個(gè)命題：

第一個(gè)命題：有兩個(gè)面相互平行，其余面均為等腰梯形的多面體是棱臺(tái);

第二個(gè)命題：以直角梯形作為腰的所在直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái);

第三個(gè)命題：其中一個(gè)面是多邊形，其他的面是三角形的幾何體是棱錐。

以上幾個(gè)命題，其中是正確命題的數(shù)量有幾個(gè)？

教師帶領(lǐng)學(xué)生從概念角度對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行分析：按照多面體定義對(duì)上述命題進(jìn)行判斷，可采用概念判斷法或舉反例方式加以判斷第一個(gè)、第二個(gè)、第三個(gè)均不是。

反思過(guò)程：否定之后，教師應(yīng)該讓學(xué)生嘗試說(shuō)出否定的原因，此時(shí)學(xué)生難以找到錯(cuò)誤的細(xì)微之處。教師可以通過(guò)數(shù)學(xué)史的小案例，如歷史上的數(shù)學(xué)家也出現(xiàn)過(guò)同樣的判斷錯(cuò)誤，因此……

回歸到概念教學(xué)本身：數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)家對(duì)棱柱定義提出了不同的想法，也犯過(guò)類(lèi)似的錯(cuò)誤，并指出他們的錯(cuò)誤出處。概念教學(xué)中，教師提出這種例子，使學(xué)生了解到概念理解或應(yīng)用錯(cuò)誤的原因，進(jìn)而避免下次繼續(xù)犯錯(cuò)。同樣的，教師也可列舉數(shù)學(xué)史專(zhuān)著，從概念的歷史發(fā)展脈絡(luò)角度，帶領(lǐng)學(xué)生梳理概念間的關(guān)系及差別，從“史”的角度理解多面體、多邊形等概念，并進(jìn)行對(duì)比分析。

三、結(jié)語(yǔ)

總而言之，HPM并不是一種教學(xué)形式，而是一種利于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一種“史”學(xué)教學(xué)理念。對(duì)此，教師切不可將概念生成的“歷史”進(jìn)行簡(jiǎn)單地梳理，要結(jié)合概念本質(zhì)及應(yīng)用問(wèn)題構(gòu)建概念間的橫縱向聯(lián)系，促使學(xué)生在活動(dòng)式教學(xué)中了解概念的生成過(guò)程，理解并學(xué)會(huì)應(yīng)用，這樣才能更進(jìn)一步應(yīng)用數(shù)學(xué)概念。對(duì)此，數(shù)學(xué)史與高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)相融合，不僅僅是“史”的介紹，而且也要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)進(jìn)行再創(chuàng)造。

（責(zé)任編輯：向志莉）

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