劉海玉 魏曉奇

摘?要：在“線上+線下”混合式教學模式下，根據線上與線下兩種教學模式的特點，本文探討了線性代數(shù)教學過程的課前、課中與課后三個階段的教學方式與教學內容的設計安排。

關鍵詞：混合式教學;教學設計;線性代數(shù)

中圖分類號：G642.0??文獻標識碼：A

Exploration?of?Teaching?Design?of?Linear?Algebra?in

Online?and?Offline?Mixed?Teaching?Mode

Liu?Haiyu?Wei?Xiaoqi

School?of?Mathematics?and?Physics，Jiangsu?University?of?Technology?JiangsuChangzhou?213001

Abstract：Based?on?the?characteristics?of?online?teaching?mode?and?offline?teaching?mode，designs?and?arrangements?of?teaching?method?and?teaching?contents?of?the?three?stages，Preclass?stage，Whileclass?stage，and?Postclass?stage，of?teaching?process?design?of?linear?algebra?are?explored.

Keywords：mixed?teaching?mode;teaching?design;linear?algebra

“線上+線下”混合式教學是網絡教學與課堂教學兩種教學模式的結合。其目的是以學生為中心，以教師為主導，充分調動學生在學習過程中的積極性、主動性和創(chuàng)造性。傳統(tǒng)的線下教學模式，也就是線下課堂教學，具有學習氛圍濃厚、師生互動方便直接、情感交流豐富等優(yōu)勢。但也有其明顯的短板，比如嚴重受到時間和空間的限制、學習進度完全取決于教師等。線上教學，也就是利用網絡在線教學，雖然突破了時間、地域的限制，但因為師生之間的互動與情感交流相對比較困難、對學生學習的自覺性與主動性要求高等原因，導致線上教學的效果并不理想。線上教學與線下教學兩種教學模式各有優(yōu)勢與短板，如何將這兩種教學模式有機融合起來，實現(xiàn)優(yōu)勢互補，需要不斷地進行探索。

一、線性代數(shù)課程特點和教學設計中存在的問題

線性代數(shù)是一門重要的大學數(shù)學基礎課程。其理論和方法不僅已經滲透到數(shù)學的許多分支，也是物理、化學等很多學科不可缺少的代數(shù)基礎知識。線性代數(shù)內容抽象，概念與理論繁多，邏輯性強，前后知識聯(lián)系非常緊密。同時，線性代數(shù)課程普遍存在課時較少、教學模式單一、關于拓展應用方面的教學內容缺乏等特點。因此，為保證教學效果，提高教學質量，近年，高校的一線教師通過優(yōu)化教學內容、改變教學模式、豐富教學資源等多方位聯(lián)合的方式對線性代數(shù)這門課程進行改革。教學內容與教學資源的優(yōu)化改革包括補充一些概念的知識文化背景、引入相關的計算軟件、增加具體的應用案例、增強拓展實踐環(huán)節(jié)等。新的教學模式主要包括翻轉課堂模式、線上教學模式，比如慕課、微課、私播課（Small?Private?Online?Courses，簡稱SPOC）等，以及線上與線下相結合的混合式教學模式這三種模式。實踐表明，“線上+線下”混合式教學模式對于線性代數(shù)這門課程來說是教學效果比較好的一種模式。該教學模式既能發(fā)揮教師教學過程中的引導、啟發(fā)與監(jiān)督等主導作用，又能充分調動學生學習過程中的積極性、主動性和創(chuàng)造性。

在“線上+線下”混合式教學模式下，教學設計起到至關重要的作用。為了將線上與線下兩種教學模式緊密融合，使教學內容有效填充，教師需要根據課程的特點、線上與線下兩種教學模式的特點以及學生的特點等，對教學過程中線上與線下的教學時間、教學內容、教學資源等各個部分進行合理的安排與準備。線性代數(shù)這門課程，因其概念與理論過于抽象，所以學生學習起來會有畏難情緒。因此大部分教學內容需要在教師的帶領和督促下，學生才能有效地完成學習。為了取得更好的教學效果，同時為了減輕線下課堂教學學時少的壓力，線性代數(shù)這門課程應該遵循“線上為輔、線下為主”的教學原則。教學過程可以分為課前預習、課中教學、課后拓展三個階段，其中課前預習和課后拓展兩個階段可以通過線上教學的方式進行，而課中教學階段則宜采用傳統(tǒng)的線下教學模式。

二、“線上+線下”混合式教學模式下教學設計的改革

（一）課前線上預習階段

一方面因為線上學習對學生的學習自覺性要求很高，另一方面為了不給學生課外的學習增加過多的負擔，所以課前的線上教學又可以分成必修和選修兩個部分。在時間安排上，課前線上教學的總時長最好控制在30分鐘以內，其中必修部分最好控制在15分鐘以內。教學資料主要有教學計劃、教學大綱、思維導圖和微課視頻等。其中教學計劃、教學大綱和思維導圖可以幫助學生對學習任務和所要學習的內容有一個總體的認識，了解所要學習的內容以及其中的重點、難點。微課視頻的內容，可以是所要學習知識點的背景、相關的數(shù)學史、科學家傳記等能夠反映線性代數(shù)文化性的素材。因為線性代數(shù)中的一些概念非常抽象，如果學生在學習這些概念之前能夠了解相應的背景，那么就比較容易接受和理解這些概念。而微課視頻的來源，可以是網上共享的精品課程、MOOC課程或自制微課視頻課程。如果為了更符合不同學校、不同專業(yè)或者不同基礎學生的需求，那么自制微課視頻是首選。

比如在為方陣的特征值與特征向量這一教學內容準備的課前預習視頻中，既可以介紹特征值與特征向量的知識背景，也可以介紹與特征值與特征向量這一概念相關的數(shù)學史或數(shù)學家勵志故事。比如可以介紹被稱為“數(shù)學世界的亞歷山大”的德國的偉大數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特，因為是他首次使用特征值與特征向量這一稱呼。視頻內容還可以介紹特征值與特征向量的相關應用，特征值與特征向量的應用非常廣泛，比如特征值與特征向量在Google搜索引擎中的應用、在大數(shù)據分析中的應用、在人臉識別中的應用等。通過這些相關的知識背景、數(shù)學家或應用案例的介紹，可以幫助學生了解特征值與特征向量的實際意義和應用前景。讓學生看到的特征值與特征向量這些概念是立體而豐滿的，而不僅僅是一個個抽象的數(shù)學定義。通過這些應用背景和應用案例的介紹，還能夠幫助學生了解這些概念聯(lián)系著哪些實際問題。這不僅可以為后續(xù)其他課程的學習做好準備，而且能夠讓學生體會到特征值與特征向量的重要作用，從而激發(fā)學生的學習興趣，讓學生帶著強烈的好奇心和求知欲去完成接下來的學習任務。課前線上教學內容還可以對學習特征值與特征向量需要用到的知識基礎適當做一些補充。比如，因為求方陣的特征值需要用到關于一元高次方程在復數(shù)域內根的存在性與個數(shù)這一知識點，所以教師可以推送一些介紹這一知識點的視頻，讓學生在課前完成學習。因為線下學時的限制，這么做可以有效地緩解線下課堂教學的壓力。

（二）課中線下教學階段

線性代數(shù)這門課程具有理論抽象、知識點零碎等特點，很多定義、定理或命題因為過于抽象而不易于被學生理解。如果沒有老師面對面的啟發(fā)、引導與鼓勵，學生很容易因此而產生畏難情緒，從而導致學習環(huán)節(jié)難以推進。所以對于教學內容中的重點和難點采用教師線下面授、著重講解和針對訓練的方式更有助于學生的學習。同時因為線下課堂學習氛圍濃厚，且教師能夠及時地發(fā)現(xiàn)學生在學習中存在的困難，所以線下課堂教學應該是教學過程中的核心部分。

線下課堂的授課方式可以是教師講授和學生主講兩種。教學內容中的重點和難點由教師主講并帶領學生進行針對性的訓練。而相對比較易于理解的教學內容，可以采用翻轉課堂的方式，由學生主講。教師可以首先將學生分成若干小組，然后將教學任務分派到每個小組。各小組的組員合作準備分配到的教學任務，然后由每個小組派出學生代表講授相應的內容。利用這種翻轉課堂的教學方式，可以充分調動學生的學習能動性，而且學生通過備課、授課這種輸出的方式進行學習，對知識點的理解會更加深刻全面。采用翻轉課堂教學方式時，教師在此過程中需要對各小組準備的情況、小組成員的參與度進行把關。

仍以特征值與特征向量這一教學內容為例。因為有了課前線上的預習，線下課堂上，教師便可以直接給出特征值與特征向量的概念。隨后帶領學生一起探討如何求解特征值和特征向量。接下來引導學生去探索特征值和特征向量的性質與應用。因為這部分教學內容的重點與難點是特征值與特征向量的求法，所以教師要慢慢地對其進行分析講解。尤其是特征向量的求法。因為要利用齊次線性方程組的基礎解系表示出方陣的所有特征向量，所以對于這一知識點的講解，要發(fā)揮教師的主導作用，引導學生逐步分析為什么要這么求以及怎么求。為了更好地理解這些知識、方法，教師可以根據常用的解題方法和解題技巧等，精心設計典型例題，幫助學生通過訓練提高邏輯分析能力與解題能力。而對于特征值與特征向量的性質等相對比較容易理解的知識點，可以采用翻轉課堂的方式，由學生講解。

（三）課后拓展評價階段

課后線上教學的內容是課中課堂教學內容的適當補充和重要延展，便于學生在課后對所學知識進行鞏固、自測與提升。課后線上學習的時長安排彈性較大，教師可根據教學內容與學生的情況酌情安排。課后線上資源在包括作業(yè)、自測、答疑等內容的同時，還可以含有對教學內容中的重點和難點的總結回顧，另外對課堂所學知識點的拓展和補充也是重要的一部分內容。對于教學內容中的重點和難點，教師可以將知識點碎片化，并將這些小知識點錄制成一些簡短的微課視頻，便于學生根據自身的情況，選取相應的視頻重新觀看學習。學生在觀看視頻時，不僅可以根據自身對視頻內容的理解程度自由設置播放速度，對于難以理解的部分還可以反復回看學習。實踐證明，利用課后線上這些教學輔導視頻，大部分學生可以解決在課堂中留下的問題。

線性代數(shù)這門課程由于普遍存在課時緊張的情況，所以教師往往為了完成教學任務，只能“重理論知識，輕實踐拓展”，這就導致教學內容中的拓展部分很少，或者直接沒有實踐拓展。所以，為了培養(yǎng)能夠適應和支撐產業(yè)發(fā)展的應用型工程人才，課后的線上知識拓展部分是不可或缺的。而目前大部分線性代數(shù)的教材和教學資源中關于知識點的應用拓展都比較缺乏，所以教師要補充并及時更新相關的教學資源，將一些實際應用案例以微視頻或文字的形式推送給學生觀看學習，彌補這方面的不足。這些應用案例既可以涉及同學們感興趣的一些熱點話題，還可以和學生的后續(xù)專業(yè)學習相關。對每一個應用案例，可以按照問題描述、建立模型、求解模型、實驗結果與分析、提高與拓展分為五個部分，對學生進行指導。學生在教師的指導下，通過具體應用案例的學習，可以初步建立建模思想，從而提高他們運用所學知識分析和解決問題的能力。課后線上的應用案例教學和拓展部分，雖然可以不做期末考試要求，但是為學有余力的同學提供了有效的能力提高途徑。

以方陣的特征值與特征向量這一知識點的補充和拓展內容為例，對于特征值與特征向量的求法、幾何意義這些知識點，可以從互聯(lián)網的共享資源中選取或自制一些微課視頻推送給學生課后復習、鞏固。因為特征值與特征向量有重要的應用價值，比如在工業(yè)增長模型中、生態(tài)模型中、人臉識別系統(tǒng)中、馬爾科夫穩(wěn)態(tài)問題中等，很多地方都有應用，所以拓展實踐部分的內容應圍繞其實際應用設計。這方面的應用案例可以通過有關的文章、微視頻或設計成數(shù)學建模問題等多種形式推送到線上，供學生閱讀、學習并實踐。雖然線下課堂學時有限，在課堂上很難進行過多的拓展，但是利用課后線上的這些教學資源，可以很好地彌補這方面的不足，極大地豐富學生的視野，鍛煉學生的應用能力。

教師通過平臺上的簽到情況、作業(yè)的質量以及視頻學習時長等，再根據學生對課后線上學習的體會與反饋，可以較好地掌握學生的學習情況，并及時對學生進行答疑輔導。經過教學實踐證明，課后線上的這種拓展、評價方法對學生的課外學習起到了很好的輔助作用，取得了良好的教學效果。

結語

從線性代數(shù)這門課程“線上+線下”混合式教學的實踐過程及取得的教學效果來看，混合式教學具有傳統(tǒng)線下教學或完全線上教學不能夠比擬的優(yōu)勢。是否能夠充分發(fā)揮混合式教學的優(yōu)勢，合理有效的教學過程設計、線上線下教學素材的準備都是至關重要的。線性代數(shù)課程的教學設計應該根據線上與線下課堂的優(yōu)勢與短板、課程本身的特點及不同專業(yè)、不同基礎學生的特點，合理地安排教學內容與教學時間，并采取適當?shù)慕虒W方法，充分發(fā)揮線上、線下兩種教學模式各自的優(yōu)勢，實現(xiàn)優(yōu)勢互補。

參考文獻：

[1]鄔學軍，唐明.線性代數(shù)是藍色的——大學非數(shù)學專業(yè)《線性代數(shù)》的課程設計[J].大學數(shù)學，2008，24（6）：1216.

[2]賀斌，曹陽.SPOC：基于MOOC的教學流程創(chuàng)新[J].中國電化教育，2005，338（3）：2229.

[3]趙小艷，李繼成.MOOC環(huán)境下大學數(shù)學教學方法思考[J].大學數(shù)學，2015，31（3）：4648.

[4]溫道偉，汪國軍.大類招生線性代數(shù)教學方法初探——以浙江大學為例[J].高等數(shù)學研究.2016，19（3）：4951.

[5]孟小燕，田振清，張利峰.信息技術支持下的“高等數(shù)學”混合式學習模式[J].中國教育信息化，2019（12）：5559.

[6]諶宏.高等數(shù)學線上線下混合式教學模式探索[J].黑龍江科學，2021，12（13）：106107.

[7]李永明，張偉.高等數(shù)學課程線上輔助教學資源建設與實踐[J].遼寧工業(yè)大學學報（社會科學版），2021，23（2）：115117.

[8]王麗麗，路爽，牛冬平.MOOC環(huán)境下高校混合式教學模式的構建與實踐——以“常微分方程”課程改革為例[J].通化師范學報，2021，42（6）：113117.

[9]鄭昕，袁方.線上線下混合式外語“金課”建設路徑初探[J].中國現(xiàn)代教育裝備，2021（363）：6668.

基金項目：江蘇理工學院校級教改課題：大學數(shù)學“線上與線下”教學模式的探索（項目編號：11611212050）;江蘇省高等教育教改課題：兩分類、兩貼近：應用型本科院校公共數(shù)學課程的改革與實踐（項目編號：2021JSJG623）;國家自然科學基金（項目編號：12171206）

作者簡介：劉海玉（1979—?），女，在讀博士，講師，研究方向：同調代數(shù)與環(huán)論;魏曉奇（1989—?），男，博士，講師，研究方向：交換代數(shù)。