楊 軍

(1. 中國科學(xué)院過程工程研究所，北京 100190；2. 中國科學(xué)院大學(xué) 材料與光電技術(shù)學(xué)院，北京 100049)

材料的晶體結(jié)構(gòu)(晶體中質(zhì)點在三維空間的具體排列方式)是“材料科學(xué)基礎(chǔ)”課程的重要內(nèi)容[1-8]. 不同的固體材料具有不同的晶體結(jié)構(gòu)，材料的性能也通常都與其晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)，因此研究和調(diào)控材料的晶體結(jié)構(gòu)，對材料的研發(fā)、制造和使用均具有重要的意義. 晶體結(jié)構(gòu)章節(jié)的內(nèi)容不僅是材料科學(xué)課程的要求，也是深入學(xué)習(xí)其它許多專業(yè)課程如“固體物理”“材料分析表征”和“材料加工技術(shù)”等不可或缺的基礎(chǔ).

人們假定理想晶體中的實際質(zhì)點都是固定不動的鋼球，則可認為晶體是由這些鋼球遵循一定幾何規(guī)律堆積而成. 為研究方便，忽略構(gòu)成晶體的實際質(zhì)點的體積，將其抽象成為純粹的幾何點，并將質(zhì)點排列的周期性抽象成只有數(shù)學(xué)意義的周期性的圖形，稱為空間點陣. 早在1848年，法國物理學(xué)家奧古斯塔·布拉菲就已確定空間點陣只有14種形式，分成7個晶系，分別是三斜、單斜、正交、四方、立方、六方和菱方. 在通常使用的《材料科學(xué)基礎(chǔ)》教材中，限于課時和內(nèi)容，不會從數(shù)學(xué)角度嚴(yán)格的論證空間點陣的14種形式，而是向7個晶系晶胞的底心、體心和面心添加等同點，得到28種點陣形式，再通過點陣變換的方式論證只有14種形式. 這種方式簡單直接，易于理解和接受，但大多數(shù)教材都沒有討論變換適用的范圍或者邊界，教學(xué)實踐和學(xué)生的理解程度之間經(jīng)常會產(chǎn)生矛盾.

另外，針對六方晶系，人們通常使用四軸指數(shù)代替三軸指數(shù)對晶面進行標(biāo)記，這樣晶系中的等價晶面具有相似的指數(shù)，很容易進行識別.但根據(jù)幾何知識可知，三維空間獨立的坐標(biāo)軸最多不超過3個.對六方晶系來講，確定了晶面在a1和a2軸上的截距，它在a3軸上的截距也就隨之而確定.因此四指數(shù)表示在a1、a2和a3軸上截距倒數(shù)的h、k和i3個指數(shù)之間并不是相互獨立的關(guān)系，其中只有兩個是獨立的，它們之間存在一個等量關(guān)系，即i=-(h+k).但可能是限于課時的緣故，當(dāng)前的教材在這個地方都是一筆帶過[9-13]，有的甚至認為這是一個人為附加的條件，有的教材中把這個等量關(guān)系聯(lián)系到a1、a2和a3軸的矢量關(guān)系，認為可由a3=-(a1+a2)導(dǎo)出，但也沒有給出詳細說明[14].筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很容易在這個地方產(chǎn)生困惑，面對很多刨根問底的學(xué)生，不得不在課堂上花大量時間講解這個知識點，授課進度反而受到影響.因此，本文就這個知識點給出了三種證明方法，涉及從繁瑣的余弦定理到簡潔的初等幾何和矢量方法，供有興趣的學(xué)生自己閱讀，也彌補當(dāng)前一些教材的不足之處.

1 關(guān)于點陣變換討論點陣類型

我們已經(jīng)知道，空間點陣可以劃分為7個晶系.那么，這7個晶系中包含多少種空間點陣呢？這就取決于每種晶系可以包含多少種點陣，或者說有多少種可能的陣點分布方式.法國物理學(xué)家奧古斯塔·布拉菲已經(jīng)于1848年用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明了空間點陣只能有14種.但區(qū)別于數(shù)學(xué)方法，不妨這樣考慮：空間點陣的陣點必須是等同點，而由于晶胞的8個角隅、6個外表面的中心(面心)以及晶胞的中心(體心)都是等同點，故乍看起來應(yīng)如圖1所描述的那樣，每種晶系都包括4種點陣，即簡單點陣(P)、體心點陣(I)、底心點陣(C)和面心點陣(F).這樣7個晶系總的點陣類型應(yīng)該是28種.然而，只要將這些點陣逐一畫出，通過簡單的變換就會發(fā)現(xiàn)，其中有些點陣是完全相同或等價的，真正不同的點陣如布拉菲已經(jīng)證明的那樣，只有14種，包括簡單三斜、簡單單斜、底心單斜、簡單六方、簡單正交、體心正交、底心正交、面心正交、簡單菱方、簡單四方、體心四方、簡單立方、面心立方和體心立方點陣.下面先看一些成功的例子.

圖1 從陣點為等同點角度理解每個晶系應(yīng)包含的點陣類型

例1：用點陣變換的方式解釋為什么底心三斜布拉菲點陣不是一個新點陣.如圖2所示，底心三斜布拉菲點陣可以變換成體積更小的簡單三斜布拉菲點陣，故它不是一個新點陣.這涉及晶胞的選擇標(biāo)準(zhǔn)，選取的晶胞在滿足反映點陣對稱性的前提下，應(yīng)具有最小的體積.

圖2 底心三斜布拉菲點陣可以連成簡單三斜布拉菲點陣

例2：用點陣變換的方式解釋為什么底心四方和面心四方布拉菲點陣不是新點陣.這個變換可以用圖3表示，底心四方點陣可以連成體積更小的簡單四方點陣(圖3右圖)，而面心四方點陣則可以連成體積更小的體心四方點陣(圖3左圖)，故它們都不是新的布拉菲點陣.

圖3 底心四方和面心四方布拉菲點陣可以分別連成簡單和體心四方布拉菲點陣

例3：用點陣變換的方式解釋一下為什么體心單斜和面心單斜布拉菲點陣不是新點陣.由圖4可以看出，2個體心單斜和2個面心單斜都可以連成一個底心單斜點陣，因而不是新的點陣.單斜布拉菲點陣中，體心和底心點陣雖然可以互相轉(zhuǎn)換，但據(jù)群論分析的結(jié)果，底心單斜是正確的布拉菲點陣選擇，能夠體現(xiàn)對稱元素在晶胞中的相應(yīng)方位.

圖4 體心單斜和面心單斜布拉菲點陣都可以連成底心單斜布拉菲點陣

上面的幾個例子說明一些點陣可以通過簡單變換連成體積更小的簡單點陣或其它更能體現(xiàn)晶體對稱元素的等價點陣，因而不是新點陣.但學(xué)生易于困惑的問題隨即涌現(xiàn)出來，即底心點陣似乎都可以連成體積更小的簡單點陣(參考例1和例2)，那為什么還會有底心單斜和底心正交點陣呢？針對這個困惑可以看看變換后的結(jié)果.

如圖5(a)和圖5(b)所示，底心單斜點陣經(jīng)過類似例1或例2的變換處理后，變成了簡單三斜點陣，而底心正交點陣經(jīng)過類似變換處理后則變成了簡單單斜點陣(同學(xué)們可根據(jù)教科書上的晶系參數(shù)特征自行確證)，已經(jīng)和原來的點陣不屬于同一個晶系.事實上，所有14種空間點陣都可以用簡單點陣來描述，如圖5(c)和圖5(d)所示的體心立方和面心立方點陣.分別可以用簡單單斜和簡單菱方點陣來表示，這種表示方法實際是在尋找非初級晶胞(含兩個或兩個以上陣點的晶胞)的原胞(只含一個陣點的晶胞)，但如此獲得的簡單點陣和原來的點陣不屬于同一個晶系，它們具有不同的對稱元素，當(dāng)然不能從這些變換否定體心立方和面心立方點陣的存在，實際上它們確實存在，而且在金屬晶體中非常常見.因此需要明確指出，通過點陣變換來說明某個點陣不是新的布拉菲點陣需要在同一晶系內(nèi)進行，變換后成為另一晶系的點陣則不能否定該點陣的存在.例如，在有的教科書中，通過將底心六方(向垂直于c棱邊的面添加陣點)、體心六方和面心六方點陣變換成簡單正交、面心正交和體心正交點陣的方式，說明這些點陣不是新點陣(變換的方式如圖6所示)，這是不正確的，而是添加這些陣點后構(gòu)成的點陣違背了六方晶系所特有的旋轉(zhuǎn)對稱特性.再如底心立方點陣，當(dāng)然可以通過例1或例2的變換方式說明它不是一個新點陣，但從晶系的特征上看，立方晶胞的6個面是等價面，具有完全相同的性質(zhì)，而底心立方點陣則違背了這一性質(zhì)，故不存在底心立方點陣.

底心單斜點陣可以連成簡單三斜點陣 底心正交點陣可以連成簡單單斜點陣

底心六方

2 關(guān)于四軸指數(shù)的附加條件

四指數(shù)表示是基于4個坐標(biāo)軸：a1、a2、a3和c軸，其中，a1、a2和c軸就是六方晶體原胞的a、b和c軸，如圖7所示.六方晶系晶面四指數(shù)標(biāo)注原理和方法同其它晶系中晶面三指數(shù)標(biāo)注過程一樣，步驟如下：① 先找出待標(biāo)注晶面在4個坐標(biāo)軸上的截距長度(以晶胞的點陣常數(shù)a、c為單位長度)；② 求其倒數(shù)并化為互質(zhì)的最小整數(shù)，即得到四指數(shù)表示，標(biāo)記為(hkil).從圖7所示的幾何關(guān)系，確定了待標(biāo)注晶面在a1和a2軸上的截距，它在a3軸上的截距也就隨之而確定.由此而知四指數(shù)表示中，h、k和i三個指數(shù)并不相互獨立，其中只有兩個是獨立的.根據(jù)幾何關(guān)系或向量分析，可確定它們之間存在一個等量關(guān)系，即i=-(h+k)，下面給出幾個證明方法.

圖7 六方晶體的四軸坐標(biāo)系統(tǒng)

證法1 (余弦定理法)：如圖8所示，暫不考慮正負號，實際是要證明OP長度的倒數(shù)等于OM長度和ON長度的倒數(shù)和，即要證明1/p=1/m+1/n.

圖8 余弦定理法證明四指數(shù)表示中h、k和i三個指數(shù)等量關(guān)系示意圖

基于余弦定理，有

(1)

(2)

2mncos 120°=m2+n2+mn

(3)

將l1和l2代入式(3)，可得

m2+p2-mp+n2+p2-np+

(4)

化簡式(4)并移項處理，可得

mn+mp+np-2p2

(5)

將上式兩邊取平方，可得

4(m2+n2-mp)(n2+p2-np)=

(mn+mp+np-2p2)2

(6)

將式(6)展開并合并同類項，可得

3m2n2+3m2p2-6m2np+3n2p2-6mn2p+6mnp2=0

(7)

即

m2n2+m2p2+n2p2-2m2np-2mn2p+2mnp2=0

(8)

也即

(-mn+mp+np)2=0

(9)

故mn=mp+np，兩邊同除以mnp，最終得

(10)

再考慮到圖8中坐標(biāo)軸的方向，p實際取負值，故可得1/p=-(1/m+1/n)，根據(jù)晶面指數(shù)的定義即可得證i=-(h+k).

證法2 (初等幾何法)：如圖9所示，過N點作平行于OP的直線，交a1軸與A點；過M點作平行于OP的直線，交a2軸于B點，則根據(jù)相似三角形特性可得到

圖9 初等幾何法證明四指數(shù)表示中h、k和i三個指數(shù)等量關(guān)系示意圖

(11)

所以有

(12)

圖10 向量法證明四指數(shù)表示中h、k和i三個指數(shù)等量關(guān)系示意圖

(13)

(14)

需要注意的是，當(dāng)用4個指數(shù)如[uvtw]來表示六方晶系的某一空間一個矢量時，一樣需要添加一個約束條件.類似于晶面指數(shù)的約束條件，四指數(shù)表示空間晶向時的約束條件是t=-(u+v)，但需要說明，這個約束條件是人為添加的，不像晶面指數(shù)中的約束條件具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這是因為晶向指數(shù)表示中的數(shù)是由晶向在平面3個軸上的截距整理而來，沒有取倒數(shù)，雖然3個數(shù)不全都獨立，但卻不是數(shù)學(xué)上的等量關(guān)系.

3 結(jié)束語

利用點陣變換可簡潔有效地判斷一個點陣是否為新的布拉菲點陣，但需要明確，這些變換需要在同一晶系內(nèi)進行，對稱性不能改變，變換后成為另一晶系的點陣不能說明初始點陣不是一個新點陣；針對四軸指數(shù)標(biāo)記晶面時的附件條件，本文給出了3種證明方法，表明這一附加條件具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，有助于學(xué)生對這一知識點的理解，適合在教學(xué)實踐中采用.