杜 林，田宏玉，任重丹

(1. 臨沂大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，山東 臨沂 276005；2. 遵義師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州 遵義 563006)

在固體物理學(xué)和統(tǒng)計力學(xué)中，態(tài)密度(density of states或簡化為DOS)是一個很常見且非常重要的概念.由N個相同原子組成的晶體中，每個原子軌道會形成N個能級.每個能級可以容納2個不同自旋的電子，從而一共有2N個電子狀態(tài).由于N是個很大的數(shù)，這些分離的電子狀態(tài)排列是異常密集的，呈準(zhǔn)連續(xù)分布，這導(dǎo)致具體討論單個能級是沒有意義的.電子的狀態(tài)密度可以幫助我們了解晶體中電子態(tài)的分布狀況.電子的狀態(tài)密度或態(tài)密度為某一能量附近每單位能量區(qū)間里的微觀狀態(tài)數(shù)目，又叫做能態(tài)密度，通常用g、ρ、n或N表示.能量在E～E+ΔE區(qū)間的電子能態(tài)數(shù)可表示為ΔZ=N(E)·ΔE.實驗上，費米面附近的電子態(tài)密度可以通過光電子能譜、掃描隧道顯微鏡或電子能量損失譜等方法測量.

由于教學(xué)的需要，在常見的教材中[1-5]對電子態(tài)密度的計算只涉及簡單的模型，如色散關(guān)系具有球?qū)ΨQ性的自由電子氣.而與實際晶體相關(guān)的近自由電子情形只給出了計算結(jié)果，并沒有具體的計算步驟，因此學(xué)生很難對常見的晶格結(jié)構(gòu)進行態(tài)密度計算.本文將詳細介紹如何采用教材中的公式對石墨烯和面心立方晶格的態(tài)密度進行計算，從而得到態(tài)密度隨能量的變化規(guī)律以及態(tài)密度導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的范霍夫奇點.

1 電子能態(tài)密度的計算公式

一般地,在N個電子能級系統(tǒng)中，態(tài)密度的定義為

(1)

其中2源于每個能級可以容納兩個不同自旋的電子.考慮到電子能級的準(zhǔn)連續(xù)性，求和可以轉(zhuǎn)換為積分形式：

(2)

(3)

其中等式右側(cè)指dσ(x)沿g-1(0)的d維曲面積分，三維晶格的電子態(tài)密度可以寫成曲面積分的形式：

(4)

這是大部分固體物理教材中給出的態(tài)密度計算公式，其中dS的積分區(qū)域是在第一布里淵區(qū)內(nèi)的等能面S(E)，E(k)是等能面的梯度，其方向垂直于等能面.積分類型為第一類曲面積分，即標(biāo)量場的曲面積分.由于E(k)在倒空間中是波矢k的周期函數(shù)，在布里淵區(qū)某些高對稱點上E(k)=0，從而導(dǎo)致態(tài)密度的一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，這些發(fā)散點即是范霍夫奇點.

類似地，二維晶格態(tài)密度的一般表達式為

(5)

其中S是二維晶體的面積，dl的積分區(qū)域是第一布里淵區(qū)內(nèi)的等能曲線l(E).

2 二維石墨烯的態(tài)密度

根據(jù)軌道雜化理論，石黑烯的2s軌道和2p軌道形成3個sp2雜化軌道.在緊束縛近似下，二維石黑烯的色散關(guān)系為

(6)

其中ε=εsp+J0，εsp是原子的sp2雜化軌道能量，J0是完全重疊積分，J是最近鄰重疊積分.根據(jù)色散關(guān)系可得能量在等能面上的梯度：

(7)

其中已設(shè)石墨烯的基矢長度a=1.為了計算電子的態(tài)密度，需要在等能曲線上進行積分.等能曲線可以采用下面的方法求得：給定某能量值，讓kx遍歷整個布里淵區(qū)尋找有意義的ky值：

(8)

即ky需要滿足條件：-1≤cos(ky/2)≤1.然后把積分元dl投影到x軸，得到

(9)

從而公式(5)求態(tài)密度的第一類曲線積分簡化為對kx的定積分，積分可以用黎曼和實現(xiàn).同時kx和ky要限定在第一布里淵區(qū)，即

(10)

在進行數(shù)值計算時，kx的取值可以通過循環(huán)語句實現(xiàn),kx和ky限定在第一布里淵區(qū)可通過判斷語句來控制.計算結(jié)果如圖1所示.

圖1 石墨烯的態(tài)密度，其中設(shè)ε=0，J=1

其中E=0對應(yīng)著布里淵區(qū)的狄拉克點(K和K′)，可看出態(tài)密度關(guān)于狄拉克點是對稱的，這是由于能譜的粒子空穴對稱性；此外態(tài)密度的導(dǎo)數(shù)在E=±1和E=±3處不連續(xù)，這分別對應(yīng)石黑烯布里淵區(qū)的兩個高對稱點M和Γ.

3 面心立方晶格的s帶能態(tài)密度

面心立方是一種常見的三維晶格結(jié)構(gòu)，很多元素晶體都屬于面心立方結(jié)構(gòu)，如金、銀、銅等.面心立方晶格s帶能帶態(tài)密度的計算步驟和石墨烯類似，唯一的區(qū)別是二維石墨烯的等能區(qū)域是曲線，面心立方晶格的等能區(qū)域是曲面.在緊束縛近似下，面心立方晶格s態(tài)電子能帶表達式為

(11)

其中ε=εs+J0，εs為原子的s能級，J0是完全重疊積分，J是最近鄰重疊積分，a是面心立方晶格的單胞基矢長度.從E(k)函數(shù)關(guān)系式可知能量在等能面上的變化率為

(12)

類似地，為了計算s帶的態(tài)密度,需要在等能面上進行曲面積分.讓kx和ky遍歷整個布里淵區(qū)尋找有意義的kz值即可確定等能面，有

(13)

即kz要滿足-1≤cos(kza/2)≤1.根據(jù)公式(4)把積分元曲面dS投影到xy平面上,即

(14)

從而公式(4)求態(tài)密度的第一類曲面積分化簡為對(kx,ky)的二重積分，積分可以通過黎曼和實現(xiàn).寫出面心立方第一布里淵區(qū)截角八面體的平面方程后，通過判斷語句可把kx、ky、kz限定在第一布里淵區(qū)內(nèi)[9].面心立方晶格態(tài)密度的計算如果如圖2所示.

圖2 面心立方s帶的態(tài)密度，其中設(shè)ε=0，t=1

可以看出態(tài)密度的導(dǎo)數(shù)在E=-12、0、4處不連續(xù)，這分別對應(yīng)著面心立方布里淵區(qū)Γ、L、M三個高對稱點，其中Г處于能帶底，Μ處于能帶頂.類似地，簡單立方、體心立方、六角密排等三維晶格結(jié)構(gòu)的態(tài)密度也可以通過上述步驟求得.

4 結(jié)論

利用教材中態(tài)密度公式本文計算了石墨烯和面心立方晶格的態(tài)密度.計算過程凸顯了如何把公式程序化，從而進行數(shù)值運算.計算思路也有助于學(xué)生對其它晶格結(jié)構(gòu)的電子態(tài)密度以及聲子態(tài)密度進行計算.