鄧皓月 仲秀英

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)抽象是在具體情境中從數(shù)量關(guān)系與空間形式的角度抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象.數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果反映出不同水平的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 彰顯數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用全過(guò)程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)抽象;數(shù)學(xué)應(yīng)用;數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、理性思考、智力發(fā)展、科學(xué)探究和實(shí)踐應(yīng)用中具有重要的作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù). 了解數(shù)學(xué)抽象的基本過(guò)程，明晰數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平，能為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)提供參考依據(jù).

數(shù)學(xué)抽象的基本過(guò)程

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)是由表達(dá)空間形式和數(shù)量關(guān)系及其特點(diǎn)的數(shù)學(xué)概念、公式、法則、性質(zhì)與思想方法組成的.哲學(xué)家康德認(rèn)為人類的一切知識(shí)都從直觀開(kāi)始[1]，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成亦如此，始于直觀，成于抽象. 通過(guò)觀察直觀事物或現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律、特點(diǎn)、屬性，得到符號(hào)化、形式化對(duì)象，建構(gòu)出數(shù)學(xué)概念、公式、法則等數(shù)學(xué)知識(shí)，這是一種“直觀化”的數(shù)學(xué)抽象. 例如，畢達(dá)哥拉斯在參加宴會(huì)時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)地磚之間的數(shù)量關(guān)系，從而得到所有的直角三角形斜邊的平方都等于兩直角邊平方之和，形成勾股定理，這就是建立在直觀經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的抽象，可以稱之為“直觀化”抽象.通過(guò)對(duì)已經(jīng)抽象出的數(shù)學(xué)符號(hào)、公式與法則等進(jìn)行拓展與延伸得到更形式化的對(duì)象，是一種“形式化”抽象. 例如，將勾股定理進(jìn)一步延伸可以得勾股數(shù)組及其性質(zhì)、不定方程x2+y2=z2，xn+yn=zn等數(shù)學(xué)模型，這是建立在對(duì)對(duì)象表達(dá)形式化、符號(hào)化基礎(chǔ)之上的抽象.兩種形態(tài)的數(shù)學(xué)抽象的基本過(guò)程都包括了感知對(duì)象、探索發(fā)現(xiàn)、概括共性與形成數(shù)學(xué)模型等四個(gè)基本環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)抽象是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，直觀化抽象基于經(jīng)驗(yàn)直觀，形式化抽象基于一定的邏輯推理，但兩者都是從形和量及其關(guān)系的角度抽取研究對(duì)象的本質(zhì)屬性以建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征.

數(shù)學(xué)抽象的基本結(jié)果

通過(guò)對(duì)研究對(duì)象的形和量及其關(guān)系的抽象，其結(jié)果在數(shù)學(xué)上主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)思想方法、問(wèn)題解決模型等基本形式.

數(shù)學(xué)概念是對(duì)事物或現(xiàn)象的規(guī)律、性質(zhì)和特點(diǎn)的高度概括，具有高度抽象性、邏輯性與系統(tǒng)性[2]. 它的產(chǎn)生和形成有兩種基本途徑：其一是基于對(duì)現(xiàn)實(shí)事物或者現(xiàn)象的觀察、分析，概括出本質(zhì)屬性，形成概念;其二是對(duì)已有的概念進(jìn)一步限制或者拓展，得到新概念. 形成數(shù)學(xué)概念一般包括感知情境、發(fā)現(xiàn)共性、概括本質(zhì)屬性、給概念下定義等四個(gè)基本環(huán)節(jié).

與數(shù)學(xué)概念類似，數(shù)學(xué)命題也是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果. 數(shù)學(xué)命題是數(shù)學(xué)定理、公式、法則的統(tǒng)稱. 數(shù)學(xué)命題的形成也表現(xiàn)為兩種基本途徑：一是在具體情境中，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探索與發(fā)現(xiàn)，抽象出關(guān)于某個(gè)研究對(duì)象的性質(zhì)或判斷，形成命題;二是在已有命題基礎(chǔ)之上，對(duì)這些命題進(jìn)行分析和演繹，提出一個(gè)新的命題.形成數(shù)學(xué)命題的過(guò)程可以概括為問(wèn)題情境、提出猜想、驗(yàn)證猜想、形成命題等四個(gè)基本環(huán)節(jié).

在運(yùn)用數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題的過(guò)程中，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，形成了諸多的數(shù)學(xué)模型，例如數(shù)學(xué)中的化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想、函數(shù)思想以及具體的問(wèn)題解決模型等. 這些方法、思想和數(shù)學(xué)模型反過(guò)來(lái)又在數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中發(fā)揮著作用，影響著人們的思維與決斷.

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的水平

數(shù)學(xué)抽象的類型不同，抽象的結(jié)果也不盡相同.不同的結(jié)果反映出不同水平的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 例如，從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，在直觀的情境中抽象出函數(shù)概念：“在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù).”這是用變量的觀點(diǎn)定義函數(shù)，反映出借助直觀情境建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).從集合與映射的觀點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)用對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)定義函數(shù)：“設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，按照確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，如果對(duì)于集合A中任意一個(gè)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，則稱f是從集合A到B集合的函數(shù)”，這是在多個(gè)概念之間建構(gòu)出內(nèi)在的數(shù)學(xué)關(guān)系，能反映出相關(guān)概念之間的邏輯聯(lián)系，是一種形式化抽象.顯然，后者的抽象程度更高，所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)也更高.數(shù)學(xué)抽象程度的高低，反映出數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的高低.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》[3]中對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)從情境、知識(shí)、技能和應(yīng)用”四個(gè)方面進(jìn)行了水平劃分（見(jiàn)表1），成為目前我國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者評(píng)判學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展的重要依據(jù).

培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)舉措

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是指在具體情境中能夠從數(shù)量關(guān)系與空間形式的角度抽象出數(shù)學(xué)對(duì)象，并能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技能進(jìn)行解釋與應(yīng)用的關(guān)鍵能力.

表1中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)呈現(xiàn)出的不同水平表明，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是在不同情境中抽象、解釋與應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能時(shí)加以體現(xiàn)并逐步養(yǎng)成的. 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的養(yǎng)成依托于情境，是一個(gè)不斷經(jīng)歷抽象、反省抽象的過(guò)程，是個(gè)體在數(shù)學(xué)建構(gòu)、數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中反復(fù)修煉、自主生成數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，也是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)不斷積累、自我反省、反復(fù)練習(xí)的過(guò)程[4]. 因此，彰顯數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用全過(guò)程，遵循數(shù)學(xué)抽象產(chǎn)生與應(yīng)用的內(nèi)在機(jī)制，按照感知情境、數(shù)學(xué)探究、適度形式化、數(shù)學(xué)應(yīng)用的環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、形成與應(yīng)用的全過(guò)程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1. 感知情境：創(chuàng)設(shè)適于數(shù)學(xué)抽象的環(huán)境

數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)研究者在特定的環(huán)境下數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，其存在的形式往往已經(jīng)剝離了原有的具體情境而顯現(xiàn)出符號(hào)化、形式化的特征. 如果直接呈現(xiàn)這些知識(shí)，學(xué)生不僅難以理解與接受，也缺失了抽象素養(yǎng)養(yǎng)成的環(huán)境基礎(chǔ). 創(chuàng)設(shè)一個(gè)有利于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的情境，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的基本前提.

從數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)抽象的情境主要有現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、文化情境三種基本類型. 能夠促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的現(xiàn)實(shí)情境往往是學(xué)生熟悉的、感興趣的、有意義的生活情境. 例如在初中黃金分割教學(xué)中，可以學(xué)生熟悉的斷臂維納斯圖片為例，固定維納斯的身高，創(chuàng)設(shè)一個(gè)通過(guò)幾何畫(huà)板不斷改變維納斯上半身長(zhǎng)與下半身長(zhǎng)變化的情境，讓學(xué)生在感知情境的變化中抽象出“比”“黃金分割比”“黃金分割數(shù)”等概念. 教師教學(xué)中，假定肚臍點(diǎn)以上為上半身，肚臍點(diǎn)以下為下半身，運(yùn)用幾何畫(huà)板，上下拖動(dòng)維納斯的肚臍點(diǎn)，維納斯的上半身與下半身的長(zhǎng)度隨著點(diǎn)的拖動(dòng)不斷變化. 學(xué)生在這樣動(dòng)態(tài)的情境中感受維納斯美感的變化，認(rèn)識(shí)到維納斯從美到不美的原因是上下身長(zhǎng)的“比”值在變化，抽象出從“比”的角度去刻畫(huà)維納斯美的變化，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到當(dāng)比值在某一固定值時(shí)，維納斯才具有美感，從而抽象出黃金分割比和黃金分割數(shù)的概念. 當(dāng)學(xué)生知道黃金分割數(shù)之后，又可以創(chuàng)設(shè)具有現(xiàn)實(shí)意義的情境讓學(xué)生進(jìn)行解釋與應(yīng)用，例如創(chuàng)設(shè)在一棟30層樓高的大廈買一套理想樓層的房子，應(yīng)該選擇多少層的問(wèn)題情境，或者創(chuàng)設(shè)在某景點(diǎn)的一座塔上修建一個(gè)觀光臺(tái)，請(qǐng)學(xué)生建議如何確定觀光臺(tái)位置的情境，引導(dǎo)學(xué)生將情境中的問(wèn)題抽象為求線段的黃金分割點(diǎn)的問(wèn)題. 學(xué)生主動(dòng)探究并對(duì)新學(xué)概念加以解釋與應(yīng)用的過(guò)程，有助于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)情境往往是學(xué)生在學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題的情境. 這種情境可以是對(duì)原有的現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行變式，也可以是純粹從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部提出問(wèn)題的情境. 例如，教學(xué)“圓”的定義可以創(chuàng)設(shè)的現(xiàn)實(shí)情境是在一個(gè)平面上，固定一根細(xì)繩的一個(gè)端點(diǎn)，拉直這根細(xì)繩，探究另一個(gè)端點(diǎn)在這個(gè)平面上繞著前一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周形成的圖形. 將此情境進(jìn)行變式：在一個(gè)平面上有一根細(xì)繩，固定這根細(xì)繩的兩個(gè)端點(diǎn)，用一支鉛筆在這個(gè)細(xì)繩中間的任一點(diǎn)拉直這根細(xì)繩并旋轉(zhuǎn)一周，探究該點(diǎn)形成的軌跡，這就創(chuàng)設(shè)了探究橢圓定義的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境.學(xué)生在探究過(guò)程中逐漸抽象出“平面上，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和為定值，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和與兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離之間的關(guān)系”等數(shù)學(xué)屬性，從而抽象出橢圓的概念. 當(dāng)然，也可以直接類比圓的定義創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，在圓錐曲線教學(xué)伊始，教師可以提問(wèn)：如果平面上到一定點(diǎn)的距離為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，那么平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離的和、差、積、商為定值的點(diǎn)的軌跡分別是什么？這樣就創(chuàng)設(shè)了探究橢圓、雙曲線以及其他圖形的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，學(xué)生可以在這樣的問(wèn)題情境中直接抽象出變化的量和不變的量及其之間的關(guān)系，建構(gòu)新的數(shù)學(xué)概念.

數(shù)學(xué)知識(shí)在形成的過(guò)程中不乏很多具有教育意義的數(shù)學(xué)史料和數(shù)學(xué)故事. 能夠促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的文化情境主要是指將具有啟發(fā)意義的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)故事作為情境，以及以與其他學(xué)科相聯(lián)系為特征的情境，例如通過(guò)講解畢達(dá)哥拉斯學(xué)派與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的背景，創(chuàng)設(shè)出“無(wú)理數(shù)”概念教學(xué)的情境;引入李白詩(shī)句“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見(jiàn)長(zhǎng)江天際流”，創(chuàng)設(shè)出“極限”概念教學(xué)的情境;引入古語(yǔ)“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，創(chuàng)設(shè)出“無(wú)窮小”概念教學(xué)的情境等等. 這種蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)關(guān)系能夠引起學(xué)生情感共鳴的文化情境，有助于激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)情境，用數(shù)學(xué)的知識(shí)和技能去思考與探究情境.

2. 數(shù)學(xué)探究：經(jīng)歷知識(shí)形成與抽象的全過(guò)程

好的情境能夠有效激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，數(shù)學(xué)探究便是滿足好奇心與求知欲的主要數(shù)學(xué)活動(dòng).數(shù)學(xué)探究是學(xué)生針對(duì)情境中的現(xiàn)象或問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)、運(yùn)用數(shù)學(xué)技能進(jìn)行思考、計(jì)算、作圖、假設(shè)、猜想、推理與證明的數(shù)學(xué)活動(dòng). 數(shù)學(xué)探究并非是一個(gè)獨(dú)立的教學(xué)活動(dòng)，它是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)基本環(huán)節(jié)，它和情境相銜接. 情境是探究的前提，例如，黃金分割教學(xué)設(shè)計(jì)中，在教師呈現(xiàn)給學(xué)生舉世聞名的雕塑——斷臂的維納斯的圖片的情境中，提出“若維納斯的高度不變，將其腿部拉長(zhǎng)或縮短，則這幅圖是否還美”的問(wèn)題，會(huì)促使學(xué)生產(chǎn)生好奇心并主動(dòng)去探究. 學(xué)生通過(guò)觀察、試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，假設(shè)維納斯頭頂用點(diǎn)A表示，腳底用點(diǎn)B表示，維納斯的身高就可用線段AB表示，以圖片中維納斯的肚擠為分割點(diǎn)，記為點(diǎn)C，這樣維納斯被分成了上半身AC和下半身BC，假設(shè)AB=1，BC=x（x>0），則AC=1-x，通過(guò)探究與對(duì)比，發(fā)現(xiàn)斷臂維納斯最美時(shí)上半身和下半身的比例滿足=，代入未知量，列出等式=，解得x=≈0.618. 由此，在用線段表示維納斯身高、建立等式尋求最美比值的探究活動(dòng)中，黃金分割點(diǎn)、黃金分割比、黃金分割數(shù)等概念呼之欲出.

3. 適度形式化：表征數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果

形式化是指將抽象出的結(jié)論、規(guī)則用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)加以表述.形式化是數(shù)學(xué)抽象中重要的一步，通過(guò)探究活動(dòng)所得到的特征、關(guān)系、規(guī)律、性質(zhì)等內(nèi)容，經(jīng)過(guò)“形式化”處理，轉(zhuǎn)變成某個(gè)數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理或者某個(gè)問(wèn)題解決模型，從而具有了數(shù)學(xué)形態(tài). 例如在黃金分割教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生探索維納斯上半身與下半身長(zhǎng)度的比例關(guān)系其實(shí)就是線段AB上有一個(gè)點(diǎn)C，使得=，這就得到了分割比，設(shè)AB長(zhǎng)度為1，得到AC∶BC=≈0.618，這就是分割數(shù)，線段AB被點(diǎn)C分割，所以點(diǎn)C為分割點(diǎn).由于此比例下的物體在視覺(jué)上給人一種舒適的美感，故這個(gè)數(shù)被公認(rèn)為最具審美意義比例的數(shù)字，像黃金一樣珍貴. 在此基礎(chǔ)上，世人將滿足=的比稱為黃金分割比，將或0.618稱為黃金分割數(shù)，C點(diǎn)稱為線段AB的黃金分割點(diǎn).

4. 數(shù)學(xué)應(yīng)用：數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的核心載體

經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，能在相關(guān)情境中抽象出數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)命題，這僅是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)形成與體現(xiàn)的中間層次. 能在綜合的情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，創(chuàng)造性地使用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解釋社會(huì)和自然現(xiàn)象，這是形成較高水平數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的體現(xiàn)和保障，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的高層次教學(xué)目標(biāo). 從數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)不同水平要求的描述中可以發(fā)現(xiàn)，情境、抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、應(yīng)用數(shù)學(xué)方法、應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言成了關(guān)鍵詞組. 其中，“數(shù)學(xué)應(yīng)用”將這些關(guān)鍵詞組有機(jī)地結(jié)合在一起，從而“數(shù)學(xué)應(yīng)用”成了培養(yǎng)和評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的核心載體，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的基本途徑. 數(shù)學(xué)應(yīng)用是指在具體情境中用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法解決具體問(wèn)題的過(guò)程. 在此過(guò)程中，個(gè)體需要不斷地對(duì)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能進(jìn)行反省、抽象與重組，抽象出更一般的解題方法或問(wèn)題解決模型，最終使問(wèn)題得到解決. 例如，要在一座塔上找到修建觀光臺(tái)的黃金位置，如何去尋找這個(gè)黃金位置呢？由于黃金分割數(shù)是一個(gè)無(wú)理數(shù)，在現(xiàn)實(shí)情境中精確找到黃金分割點(diǎn)并不容易，這就需要學(xué)生對(duì)黃金分割數(shù)從代數(shù)結(jié)構(gòu)上分析其幾何意義. 欲構(gòu)造黃金分割數(shù)，只需要構(gòu)造出-1;要構(gòu)造-1，就得構(gòu)造. 該如何去構(gòu)造這個(gè)無(wú)理數(shù)呢？我們知道直角邊的邊長(zhǎng)分別為2和1的直角三角形其斜邊為. 現(xiàn)在將塔頂端到塔底部看作線段AB，設(shè)AB為2個(gè)單位長(zhǎng)度，作AD垂直于AB且長(zhǎng)度為1個(gè)單位，連接BD，便構(gòu)造出了BD等于. 以D為圓心、DA為半徑作弧，交BD于點(diǎn)E，便在BD上截取出了BE等于-1. 此時(shí)如何將相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到線段AB上呢？以B為圓心，BE為半徑作弧，交AB于點(diǎn)C，得到BC的長(zhǎng)度為-1，AC的長(zhǎng)度為3-. 現(xiàn)在，線段AC的長(zhǎng)比上線段BC的長(zhǎng)的值等于線段BC的長(zhǎng)比上線段AB的長(zhǎng)的值，為黃金分割數(shù)，由此方法找到的點(diǎn)C即為黃金分割點(diǎn). 其實(shí)，這種作圖方法最早是由古希臘數(shù)學(xué)家海倫發(fā)現(xiàn)并抽象出來(lái)的，因此，該方法又被稱為海倫作圖法. 海倫作圖法將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn).

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