甘肅省清水縣第六中學(741400)何少杰

2021年新高考全國Ⅰ卷壓軸題中又出現(xiàn)了極值點偏移問題,追溯起來的話近十年高考壓軸題中反復出現(xiàn)極值點偏移問題,分別在2010年天津卷、2011年遼寧卷、2013年湖南卷、2016年全國Ⅰ卷.而各地?？贾写祟悊栴}更是層出不窮,作為壓軸題自然綜合性強、難度大,多數(shù)考生難以突破,在考試過程中會直接放棄,而要突破這一難題就要掌握解決此類問題的通性通法.何為通性通法? 文[1]中章建躍先生認為:“通性”就是概念所反映的數(shù)學基本性質(zhì);“通法”就是概念所蘊含的思想方法.我們從極值點偏移問題說起.

一、極值點偏移問題的通性

1.極值點偏移問題產(chǎn)生的背景

當二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a /= 0)的圖象與直線y=m交于A(x1,m)、B(x2,m)兩點時,線段AB的中垂線必過f(x)的極值點,即當f(x1)=f(x2)時,恒有,則稱極值點無偏移.因為二次函數(shù)的軸對稱性,二次函數(shù)的極值點無偏移,但對多數(shù)給定區(qū)間內(nèi)的單極值點函數(shù)f(x)而言,因在極值點兩側(cè)函數(shù)的“增減速率不同”,圖象就不是軸對稱的.即當f(x1)=f(x2)時,常有,則極值點發(fā)生偏移.

2.極值點偏移的定義

一般地,若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]有唯一的極值點x0,對于任意的x1,x2∈[a,b],當f(x1)=f(x2)時,有,則稱函數(shù)f(x)極值點偏移.

3.極值點偏移的類型及圖示

圖1

圖2

圖3

圖4

4.極值點偏移問題在高考題中的設(shè)問形式及推廣

高考題中出現(xiàn)最多的是形如“x1+x2＞2x0(或＜2x0)”的設(shè)問形式,比如2010年天津卷、2013年湖南卷、2016年全國Ⅰ卷以及2021年新高考全國Ⅰ卷;2011年遼寧卷中出現(xiàn)了形如“＞0(或＜0)”的設(shè)問形式,除以上設(shè)問形式外,還可將設(shè)問形式推廣為證明:

(3)f′(x1)+f′(x2)＞0(或＜0);

(4)x1x2＞某常數(shù)(或＜某常數(shù));

(5)lnx1+lnx2＞某常數(shù)(或＜某常數(shù));

(6)ex1+ex2＞某常數(shù)(或＜某常數(shù));

二、極值點偏移問題的通法

極值點偏移問題是近年高考考查的熱點問題,經(jīng)過大量的研究應(yīng)用,破解此類問題的技巧已經(jīng)成為通法,下面舉例進行闡述.

1.構(gòu)造對稱函數(shù)法

我們有這兩點基本的認識:第一,如果函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2a-x),則f(x)圖象關(guān)于直線x=a自對稱;第二,函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a互對稱.這里要構(gòu)造對稱函數(shù)依據(jù)的是第二點.

要判斷函數(shù)f(x)是否關(guān)于直線x=a自對稱,可以通過構(gòu)造f(x)關(guān)于直線x=a的對稱函數(shù)f(2a-x),然后比較兩函數(shù)在極值點同側(cè)是否完全相同即可作出判斷.基于此,可以得到極值點偏移問題最基本、最奏效的破解策略——構(gòu)造對稱函數(shù)法.

例1(2021年新高考Ⅰ卷第22 題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx),設(shè)a,b為兩個不相等的正數(shù),且blna-alnb=a-b,證明:.

解析可知f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,x= 1 為f(x)的極值點.blna-alnb=a-b可變形為不妨設(shè)且x1＜x2,易知0＜x1＜1＜x2＜e,則f(x1)=f(x2).下證2＜x1+x2＜e.

先證x1+x2＞2.構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(2- x)=(2-x)(1-ln(2-x)),(x ＜2)(如圖5 虛線所示),下面比較f(x)與g(x)在極值點左側(cè)的大小,令h(x)=f(x)-g(x),(0＜x ＜1),h′(x)=-lnx-ln(2-x),h′(x)＞0,故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.則h(x)＜h(1)= 0,即當0＜x ＜1時,f(x)＜g(x).因為0＜x1＜1,由f(x1)＜g(x1)得f(x2)＜f(2-x1),又x2＞1,2-x1＞1,函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故x2＞2-x1,即x1+x2＞2 得證.

圖5

在極值點偏移問題中,構(gòu)造對稱函數(shù)解設(shè)問形式形如“x1+x2＞2x0(或＜2x0)”的題目時非常有效,它的實質(zhì)是利用原函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式,所以對原函數(shù)做到“心中有圖”,是順利解題的不二法寶.需要注意的是,通過高考題及?？碱}的廣泛運用,這種技巧已經(jīng)被固化成了一種通法,要明確構(gòu)造的目標是解抽象不等式,所以當題目出現(xiàn)形如的設(shè)問形式,也就不難想到應(yīng)該構(gòu)造函數(shù)類比以上解法破解題目.

類題演練(2016年高考全國Ⅰ卷第21 題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點x1,x2.證明:x1+x2＜2.

2.比值換元法

對于含對數(shù)式的極值點偏移問題,可以考慮依據(jù)已知條件f(x1)=f(x2)列方程組,尤其當原函數(shù)中含有參數(shù)時,通過兩方程作差或求和可消去參數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為只含x1,x2的雙變量問題,再利用比值換元(即),構(gòu)造關(guān)于t的

再證x1+x2＜e.構(gòu)造函數(shù)u(x)=f(e- x)=(e-x)(1-ln(e-x)),(x ＜e)(如圖6 虛線所示),下面比較f(x)與u(x)在左側(cè)的大小.

圖6

令m(x)=f(x)- u(x),m′(x)=-ln(ex - x2),易知函數(shù)m′(x)在上單調(diào)遞減.又由零點存在性定理,存在使得m′(x0)= 0,則m(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又x →0+時,m(x)→0,故當時m(x)＞0,即f(x)＞u(x),因為由f(x1)＞u(x1)得f(x2)＞f(e-x1),又x2＞1,e-x1＞1,函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故x2＜e-x1,即x1+x2＜e 得證.

點評通過上例,可以歸納出構(gòu)造對稱函數(shù)法的具體解法步驟:

(1)求f(x)在[a,b]的極值點x0;

(2)構(gòu)造f(x)關(guān)于直線x=x0的對稱函數(shù)g(x)=f(2x0-x);

(3)比較直線x=x0一側(cè)f(x)與g(x)的大小(常作差比較,有時也可利用不等式直接比較),得到抽象不等式f(x)＜f(2x0-x)(或f(x)＞f(2x0-x));

(4)利用f(x)在極值點一側(cè)的單調(diào)性,去掉符號“f”,得到結(jié)論.函數(shù)解題.

例2(2011年高考遼寧卷第21 題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x,若函數(shù)f(x)的圖象與x軸交于A、B兩點,線段AB中點的橫坐標為x0,證明:f′(x0)＜0.

解析不妨設(shè)A、B兩點橫坐標分別為x1,x2,且x1＜x2,則要證f′(x0)＜0,即證2ax+2-a,故只需證因為f(x1)=f(x2)= 0,所以兩式相減得故所以需證即證令只需證g(t)＞0,因為故g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,即g(t)＞g(1)=0.

類題演練已知函數(shù)f(x)= lnx-ax,若x1,x2是函數(shù)的兩個零點,且x1＜x2,證明:x1x2＞e2.

3.差值換元法

對于含指數(shù)式的極值點偏移問題,可以考慮依據(jù)已知條件f(x1)=f(x2)列方程組,與比值換元法相仿,將問題轉(zhuǎn)化為只含x1,x2的雙變量問題,再利用差值換元(即t=x2-x1),構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)解題.

例3(2019年武漢調(diào)研第22 題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=x-aex+1(a ∈R)有兩個零點x1,x2,且x1＜x2,證明:ex1 +ex2＞2.

解析由題意可得兩式相減得,兩式相加得故x2+要證只需證即證x1+x2＞0,令t=x2- x1(t ＞0),即證即證(t-2)et+t+2＞0,構(gòu)造函數(shù)g(t)=(t-2)et+t+2(t ＞0),g′(t)=(t-1)et+1,g′′(t)=tet ＞0,故g′(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.g′(t)＞g′(0)=0,即g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,得證.

點評上述兩種解法如出一轍,都是利用題設(shè)條件列出方程組,通過對兩方程作差或求和,得到含參數(shù)及x1,x2的方程,利用該方程消參得到只含x1,x2的不等式,消參規(guī)避了對參數(shù)的分析,簡化了問題,同時從結(jié)論入手,結(jié)合分析法證明.而最后利用比值或差值進行換元,其實是一種常見的減元思想,通過換元將雙變量問題成功轉(zhuǎn)化為單變量問題,進一步簡化了問題.此解法沒有分析原函數(shù)的圖象與性質(zhì),而是另辟蹊徑構(gòu)造了關(guān)于參數(shù)的函數(shù)進行分析.這兩種解法的亮點是將雙變量x1,x2轉(zhuǎn)化為單變量t,但同時也存在一定的局限性,有些題目是無法順利轉(zhuǎn)化的.

類題演練已知函數(shù)f(x)= ex -ax+3a(a ∈R),其圖象與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點,且x1＜x2,證明:.

4.對數(shù)平均值不等式法

例4已知若f(x)=a有兩個不等實根x1,x2,求證:.

解析令則g(t)=a有兩個不等實根t1,t2,(不妨設(shè)t1＜t2),又g′(t)=,故g(t)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,方程g(t)=a有兩個不等實根,則且即要證即證只需證由g(t1)=a,g(t2)=a得即兩式相減得:lnt1-lnt2= 2a(t1-t2),故即證(化為對數(shù)平均值不等式模型),其余步驟同例2.

點評通過適當變形將原問題化為對數(shù)平均值不等式模型,將不同的問題化歸為同一類型,這樣縮短了思維路徑,解題過程充分展現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.

類題演練(2010年高考天津卷第21 題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=xe-x,如果且證明:x1+x2＞2.

三、極值點偏移問題的演變與延伸

通過演變延伸,在模考試題中已經(jīng)出現(xiàn)了單調(diào)函數(shù)拐點偏移的身影,那么什么是拐點偏移?

1.拐點的定義

設(shè)曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處有穿過曲線的切線,且在該點近旁,曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴格凸和嚴格凹的,則該點為曲線y=f(x)的拐點,其必要條件為f′′(x0)=0.

2.拐點偏移產(chǎn)生的背景

極值點偏移與函數(shù)圖象的軸對稱性相關(guān),而拐點偏移與函數(shù)圖象的中心對稱性相關(guān),比如三次函數(shù)圖象具有中心對稱性,其對稱中心恰是拐點,我們就稱三次函數(shù)拐點不偏移.當函數(shù)(本文只針對單調(diào)函數(shù))拐點不是其對稱中心,即拐點兩側(cè)函數(shù)的“凸凹程度”不同,函數(shù)的拐點就會發(fā)生偏移.

3.拐點偏移的定義

一般地,若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]有唯一的拐點x0,對于任意的兩個x1,x2∈[a,b],當時,有則稱函數(shù)f(x)的拐點偏移.當時,拐點x0在[a,b]內(nèi)向左偏移(如圖7);當時,拐點x0在[a,b]內(nèi)向右偏移.

圖7

4.拐點偏移問題示例

例5(2019年深圳市一模改編)已知函數(shù)f(x)=其定義域為(0,+∞),若函數(shù)f(x)為定義域上的增函數(shù),且f(x1)+f(x2)=-4e,證明x1+x2≥2.

分析可求得(1,-2e)為函數(shù)的拐點,由題設(shè)f(x1)+f(x2)=-4e 知該題是拐點偏移的判斷問題.文[2]給出了拐點偏移的判定方法,但對未學習高等數(shù)學知識的高中生而言,站位高,可操作性尚欠缺.既然極值點偏移問題可以構(gòu)造對稱函數(shù)破解,而作為極值點偏移問題的延伸,拐點偏移是否也可以通過構(gòu)造對稱函數(shù)破解呢?

極值點偏移是構(gòu)造原函數(shù)關(guān)于直線的對稱函數(shù),究其原因是極值點偏移與函數(shù)的軸對稱性相關(guān),而拐點偏移與函數(shù)的中心對稱性相關(guān),不妨構(gòu)造原函數(shù)關(guān)于拐點的對稱函數(shù)一試.

解析,易知當a=1 時f(x)為定義域上的增函數(shù),故則f′(x)=由f′′(x)= 0,得x= 1,知f(x)的拐點為(1,-2e),構(gòu)造f(x)關(guān)于拐點的對稱函數(shù)h(x)=-4e-f(2-x)(x ∈(0,2))(如圖8 虛線所示).

圖8

欲證x1+x2≥2,需證x2≥2-x1,即證f(x2)≥f(2-x1),由f(x1)+f(x2)=-4e,即證-4e-f(x1)≥f(2-x1),即證-4e-f(2-x1)≥f(x1),即證h(x1)≥f(x1)在(0,2)上恒成立.即證即證由基本不等式可知

證畢.

類題演練設(shè)函數(shù)證明:當且f(x1)+f(x2)=-1 時,x1+x2＞2.

四、幾點思考

研究分析高考試題既能促進教師對之前的教學進行反思,又能指引教師今后教學的方向,《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確要求:數(shù)學高考命題應(yīng)注重數(shù)學本質(zhì)、通性通法,淡化解題技巧.所以高中數(shù)學教學應(yīng)該深入數(shù)學問題的本質(zhì),圍繞解決問題的通性通法展開,以下是筆者的幾點思考.

1.注重通性通法就要回歸問題本源,揭示問題的本質(zhì)

筆者曾了解過多個班級的學生,學生普遍認為通性通法就是解決問題最一般的思想方法,顯然,他們對通性通法的認識已經(jīng)被局限在了“通法”也就是解題的層面了,其實對通性通法的認識,更多要回歸到“通性”上來,只有知“通性”才能會“通法”.數(shù)學概念是數(shù)學知識的源頭,只要回歸到問題的本源,充分咀嚼數(shù)學概念與定義,認清知識間的規(guī)律與聯(lián)系,解決問題就會變得水到渠成.在教學中最不可取的是,為了讓學生少走彎路,急功近利地追求“短期效益”,不揭示題目的本源,不尋找解題思路的邏輯性,簡單粗暴地講“你該怎么怎么做”,并不講“為什么這樣做”,這樣的舍去分析過程,直接進行演繹推理的速成式教學,雖節(jié)省了時間,學生只機械地學習了解法,卻沒有理解問題的本質(zhì),不光阻礙了學生數(shù)學思維的發(fā)展,也將學生推進了題海的深淵,學生對知識的理解成了“夾生飯”,對知識的持續(xù)性遷移應(yīng)用更成了一句空話.就如極值點偏移問題中的構(gòu)造對稱函數(shù)法,只要通過對“通性”的學習,學生會意識到極值點偏移問題與函數(shù)的軸對稱性相關(guān),他們自然會理解構(gòu)造對稱函數(shù)的原因,也自然而然地會歸納出利用構(gòu)造對稱函數(shù)法解極值點偏移的一般步驟,這樣學習的知識就活了起來,在處理與之相關(guān)的拐點偏移問題時也就不難想到再次利用構(gòu)造對稱函數(shù)法了,這樣的教學真正使學生得到了“長期利益”.

2.通性通法不是只見樹木,不見森林

“巧技”與“通法”之間真的那么涇渭分明嗎? 其實不然,任何問題的通性通法都不是靜止不變的,隨著學生知識與經(jīng)驗的積累與上升,往日學生認為的“巧技”也就成了“通法”,教師絕不能固步自封,抱守題目所謂的標準解法,不做更深入的探究,更不能無視學生的思路與想法,完全否定學生的思維成果,即便學生的想法還不是那么的嚴謹甚至是錯誤的.教師要把學生的思維引向更深處,并適時地糾正他們的錯誤,對學生思維中的閃光點給予高度的評價,經(jīng)歷了知識的螺旋上升之后,晦澀難懂的“巧技”自然會變成“通法”.比如上文中提到的比值換元法與差值換元法,學生在理解構(gòu)造對稱函數(shù)法的基礎(chǔ)上,進一步認識到極值點偏移問題多涉及多元變量,減元消參思想應(yīng)運而生,當原函數(shù)中有指數(shù)式,借助同底數(shù)冪的運算性質(zhì)am÷an=am-n,想到采用差值換元法減元;當原函數(shù)中有對數(shù)式,借助對數(shù)的運算性質(zhì),想到采用比值換元法減元.

3.注重通性通法的教學始終著力與提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)

忽略通性通法的解題教學,教師忽視過程只強調(diào)結(jié)果,這樣的教學讓學生失去了接近問題真相——本質(zhì)的機會,讓解題只是停留在解題層面上,在訓練學生思維,提升核心素養(yǎng)方面徒勞無益.而相反,在注重通性通法的數(shù)學教學中,通過對問題通性的學習及典型例題通法的訓練,學生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、以及基本活動經(jīng)驗(“四基”)都得到了落實,在通性通法的歸納及應(yīng)用過程中,學生常會歷經(jīng)“體悟、推理、質(zhì)疑、反思、分析、聯(lián)想、思辨、比較、綜合、概括、歸納、演繹”等思維活動,教學過程始終圍繞著培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學學科素養(yǎng)進行,學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(“四能”)會逐步得到提高.