湖北省天門中學(431700)代成紅

以極點極線為背景的試題在中學各級考試中屢見不鮮.這一類問題往往算法復雜、計算困難.在教學實踐中,筆者總結(jié)了一些處理極點極線背景試題的計算策略,現(xiàn)在寫出來,求教于方家.

一、設線策略

以極點極線為背景的試題考查的主要是直線與圓錐曲線的位置關系,所以設線策略(設直線方程并與圓錐曲線方程聯(lián)立求解)依然是我們解題中的首選策略.但設線策略在計算過程中經(jīng)常會用到韋達定理,自然需要計算式子是對稱的.如果計算過程中出現(xiàn)不對稱的情況,可以采用以下策略.

(一)同構方程策略

解析幾何中,分析圖形是設計算法的基石.理清圖形含有的元素(點、直線、圓錐曲線)以及它們的相互關系是分析圖形的出發(fā)點.如果圖形中有兩個點從元素間相互關系來看,地位相同,我們圍繞其中一個建立等式,另一個同理可得相似的等式,此時就可以構造方程,簡化計算,提高運算效率.

例1(2020年高考北京卷第20 題)已知橢圓C:過點A(-2,-1),且a=2b.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點B(-4,0)的直線l交橢圓C于點M、N,直線MA、NA分別交直線x=-4 于點P、Q,求的值.

圖2

分析常規(guī)設線法首先是聯(lián)立直線MN與橢圓C方程,得到點M,N的縱坐標yM,yN的關系,然后將點P,Q的縱坐標yP,yQ用yM,yN表示,再消去參數(shù)yM,yN算出答案.但是在直線MN與橢圓C的相交關系中,點M、點N地位相同,這是容易計算出對稱式y(tǒng)M+yN,yMyN的原因;圖1中點P、點Q是直線x=-4 與兩條不同直線MA,NA相交而成,地位并不相同,這是在計算yP,yQ的比值時,算出yM,yN非對稱式的原因.處理非對稱式需要一定運算技巧,運算量大,是常規(guī)設線法難點所在.

圖1

如果仔細分析圖1 中六個點以及它們與其它元素的關系,可以發(fā)現(xiàn):點M是橢圓與直線MN、PA的公共點,點N是橢圓與直線MN、QA的公共點,它們的地位相同.如果我們以點M代入橢圓方程得到一個等式,用點N同理可得到完全類似的等式,從而可以構造二次方程,使用韋達定理.這樣處理,回避了非對稱式,極大地減少運算量.

分析圖3 中包含一個橢圓,四條直線,六個點,從它們相互關系來看,點A是兩直線MA、AB與橢圓的公共點,點B是兩直線MB、AB與橢圓的公共點,地位是相同的,因此可從點A、B入手構造同構方程來簡化計算,提高運算效率.

圖3

圖4

(二)非對稱式消元策略

當用設線法求解極點極線背景試題時,很容易碰到計算非對稱式的情形.在這種情形下,最直接的思路是消元.只不過在消元的時候一是要打破思維桎梏,敢于把使用韋達定理得到的對稱式拆開;二是消元前根據(jù)解題要求確定好消那個元,一消到底.

評注①如圖5,點Q在點P的極線xP x= 1 上,因此②在例3 中,因為xP與k有關,因此計算x0時應保留k繼續(xù)參與運算,所以選擇消去x1(或x2),消元時要敢于破壞x1+x2的對稱性,將x2(或x1)一消到底,留下x1(或x2),k進行運算.

圖5

(三)非對稱式轉(zhuǎn)化為對稱式策略

在很多極點極線為背景的試題中,遇到計算非對稱式的情況,可以先分析圖形中的各個元素,尋找它們之間的數(shù)量關系,如果能利用這些關系將非對稱的式子轉(zhuǎn)化成對稱的式子,就可以用常規(guī)的方法解決問題了.

例4(2020年高考全國卷Ⅰ理科第20 題)已知A、B分別是橢圓E:1(a ＞1)的左、右頂點,G為E的上頂點,為直線x=6 上的動點,PA與E的另一個交點為C,PB與E的另一個交點為D.(1)求E的方程;(2)證明:直線CD過定點.

圖6

二、設點策略

設線策略在進行計算時,直線與圓錐曲線的交點總是成對出現(xiàn),單獨計算其中某一點坐標,計算較為繁瑣,實際運算中很少這樣算.在解決極點極線背景的問題時,常常需要由一個點的坐標求出另一個點的坐標,然后再進行下一步的計算,因此我們大可放下設線聯(lián)立的套路,采用設點法來進行運算.在教學實踐中,如果面對的是拋物線中的問題,由于拋物線方程簡單,引入?yún)?shù)描述拋物線上的點,用設點法來解決問題經(jīng)常是師生的首選.橢圓、雙曲線標準方程比拋物線標準方程復雜一點,所以容易形成一個錯誤認知,橢圓、雙曲線的問題設點法計算困難,只能選擇設線法來解.其實設點與設線,只是思考問題時出發(fā)點不一致,從原理上講,能用設線策略解決的問題,設點策略也可以解決.在極點極線背景的試題中,以下兩種情形如果用設點策略,運算效率比設線法要高出不少:

圖7

圖8

三、向量策略

極點極線涉及的是圖形的射影性質(zhì).在中學范圍內(nèi),射影性質(zhì)往往表現(xiàn)為點在直線上、直線過定點這類與結(jié)合性相關的性質(zhì),因此極點極線背景的試題,經(jīng)常要根據(jù)點共線的條件求點的坐標.處理共線問題,向量是一個有效的工具,因此向量策略在極點極線問題的求解中也是常用策略.使用向量處理點共線問題時,常會用到以下與共線有關的結(jié)論:

A、B、C三點共線?存在三點共線?存在其中O是平面內(nèi)任意一點.

例6(2015年高考北京卷文科第20 題)已知橢圓x2+ 3y2= 3,過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線與橢圓C交于A、B兩點,直線AE與直線x=3 交于點M.

(1)求橢圓C的離心率;

(2)若直線AB垂直于x軸,求直線BM的斜率;

(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關系,并說明理由.

分析觀察圖形易得直線BM與直線DE平行,于是考慮證明,因此可以選擇向量法完成證明.

圖9

圖10

四、幾何策略

解析幾何問題終究是幾何問題,因此利用幾何知識探究圖形性質(zhì),配合解析法解決問題是解析幾何中非常自然的策略,處理極點極線背景的問題亦是如此.

例7如圖11所示,已知橢圓E:過點P(2,1)的直線交橢圓于M、N兩點,過N作斜率為的直線交橢圓于另一點Q,求證:直線MQ過定點.共點,因此MQ過GP與P∞B的交點A.理清例7 背景,就不難作出例7 輔助線,減少運算量.如果沒有這些輔助線,一味硬算,計算量會非常巨大.

圖11

圖12

五、曲線系策略

因為平面上五個點(其中無三點共線)唯一確定一條非退化二次曲線,所以二次曲線上如果有三個或者四個不共線的點,我們就可以引入二次曲線系方程來表示這條二次曲線,再比較方程的系數(shù)得到參數(shù)間的關系,這就是所謂曲線系策略.曲線系策略是解決極點極線問題的一種非常有效的策略.

例8已知橢圓E:A,B分別為橢圓E的上頂點和右頂點,與AB平行的直線MN與橢圓E相交于M、N兩點,記k1,k2分別為AM與BN的斜率,求證:k1k2為定值.

圖13

圖14