揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225002)汪彩虹 陳建華

一、引言

學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)是本學(xué)科核心素養(yǎng)及其表現(xiàn)水平在學(xué)生學(xué)業(yè)成就上的總體刻畫.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)指出“學(xué)業(yè)質(zhì)量是學(xué)生自主學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)、教師教學(xué)活動(dòng)與評(píng)價(jià)、教材編寫的指導(dǎo)性要求,也是相應(yīng)考試命題的依據(jù).”數(shù)學(xué)抽象等六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)按照學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)被劃分成了三個(gè)水平.這三個(gè)水平反映了學(xué)生思維能力由簡單到復(fù)雜的發(fā)展過程,也反映了學(xué)生的認(rèn)知指向深度學(xué)習(xí)的過程,體現(xiàn)了逐級(jí)進(jìn)階的特征.

教育心理學(xué)家比格斯建立的可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)-——SOLO(Structure of the Observed Learning Outcome)分類理論,將思維結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度由低到高分為五個(gè)層次,分別為前結(jié)構(gòu)水平、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和拓展抽象結(jié)構(gòu)水平,這五個(gè)層次用下圖表示:

SOLO 分類理論中的各思維結(jié)構(gòu)水平,是根據(jù)學(xué)生答題時(shí)思維水平從低到高而呈現(xiàn)出逐層遞進(jìn)的關(guān)系,契合《課標(biāo)》中對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分.不同之處在于SOLO 分類理論更側(cè)重于根據(jù)學(xué)生思維操作和信息處理的復(fù)雜程度的不同來決定認(rèn)知水平,在評(píng)價(jià)上具有操作簡單、路徑多元的獨(dú)特優(yōu)勢(shì).

二、劃分標(biāo)準(zhǔn)與研究量表

在本文研究中,筆者對(duì)2021 新高考全國I 卷試題進(jìn)行了SOLO 思維層次的分析,認(rèn)為在同一章節(jié)中的知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)性較強(qiáng),而不同章節(jié)中的知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)性較弱、需要學(xué)生主動(dòng)建構(gòu).

此外,由于處于前結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生頭腦中不具備相關(guān)知識(shí),對(duì)問題常表現(xiàn)為拒絕答復(fù)或瞎蒙,這顯然違背了高考命題中的基本原則,故試題中并未考查該層次.因此,試題中主要包括四個(gè)層次:

(1)單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(U)這一水平的試題問題情境熟悉,學(xué)生只需要回憶某一個(gè)知識(shí)點(diǎn),經(jīng)過簡單的單一推理或運(yùn)算就可以順利解決.

(2)多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平(M)這一水平的試題需要學(xué)生回憶多個(gè)知識(shí)點(diǎn),但無需構(gòu)建它們之間的聯(lián)系,只經(jīng)過多步推理或計(jì)算就能解決.

(3)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R)這一水平的試題需要學(xué)生挖掘題目隱含的信息,聯(lián)想不同章節(jié)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn),并根據(jù)題意構(gòu)建這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,經(jīng)過較復(fù)雜的歸納、類比和推理才能夠得以解決.

(4)拓展抽象結(jié)構(gòu)水平(E)這一水平的試題問題情境較為新穎,能獲取的信息較少,需要學(xué)生深入挖掘題目隱含的知識(shí),利用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并根據(jù)自己的理解對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行創(chuàng)新性的組合和應(yīng)用,經(jīng)過多步復(fù)雜的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算,才能解決.

按教育部2020年頒布的《中國高考評(píng)價(jià)體系》,可以從“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”和“SOLO 思維層次”兩個(gè)維度來解析高考題,為此,制定出指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次評(píng)價(jià)量表,其中,縱向維度包含六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),橫向維度包含SOLO 分類的四個(gè)思維層次.

三、試題分析案例

筆者針對(duì)2021 新高考全國I 卷數(shù)學(xué)試題,采用上述指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次評(píng)價(jià)量表及劃分標(biāo)準(zhǔn),選取其中三道試題作為研究案例進(jìn)行分析.

案例1(第5 題)已知F1,F2是橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為( )

A.13 B.12 C.9 D.6

分析本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用.學(xué)生在解題時(shí)首先根據(jù)橢圓定義得出MF1+MF2= 2a,即為6,然后利用基本不等式或二次函數(shù)的知識(shí)得出MF1和MF2乘積的最大值.主要考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).由于運(yùn)算時(shí)需要將分布在不同章節(jié)的橢圓與基本不等式兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)加以結(jié)合,需要學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建二者之間的聯(lián)系,因此數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)考查SOLO 分類中R 水平;此過程中,只需經(jīng)歷簡單的兩步推理即可解決,因此邏輯推理素養(yǎng)考查SOLO 分類理論中的M水平.如下表所示:

表1 指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次分析案例1

案例2(第16 題)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折,規(guī)格為20dm×12dm 的長方形紙,對(duì)折1 次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm 兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S1=240dm2,對(duì)折2 次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三種規(guī)格的圖形,它們的面積之和S2= 180dm2,以此類推,則對(duì)折4 次,共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為____;如果對(duì)折n次,那么=____dm2.

分析本題以剪紙藝術(shù)為背景考查數(shù)列、數(shù)列求和公式以及錯(cuò)位相減法.第一空中,學(xué)生根據(jù)題目比較容易得出對(duì)折3 次得到的四種規(guī)格的圖形,分別為:d m×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm×dm,對(duì)折4次得到五種規(guī)格的圖形,分別是:dm×12dm,dm×6dm,5dm×3dm,10dm×dm,20dm×dm.主要考查了邏輯推理的核心素養(yǎng),學(xué)生只需知道單一的對(duì)折知識(shí)便可求,因此該素養(yǎng)考查SOLO 分類理論中的U 水平.

第二空中,學(xué)生需要根據(jù)題中所給信息,發(fā)現(xiàn)每次對(duì)折后圖形的面積都減小為原來的一半,由此抽象出數(shù)列問題:每次對(duì)折后的圖形,不論規(guī)格如何,其面積為首項(xiàng)為120(dm2),公比為的等比數(shù)列,因此第n次對(duì)折后的圖形面積為對(duì)于第n次對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù),根據(jù)(1)的過程和結(jié)論,猜想為n+1 種,故得猜想,由此可以表示成等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積之后的前n項(xiàng)和,利用錯(cuò)位相減法便可得出結(jié)果.主要考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).從對(duì)折過程中抽象出單一的數(shù)列問題對(duì)學(xué)生來說比較容易,因此數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)考查SOLO 分類理論的U 水平;學(xué)生在推理和建立模型的過程中只需回憶數(shù)列的多個(gè)相關(guān)知識(shí),如通項(xiàng)公式與數(shù)列求和,方法是比較常規(guī)的錯(cuò)位相減法,因此邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)均考查SOLO 分類理論中的M 水平;該題在運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和的過程中,除了數(shù)列相關(guān)公式的運(yùn)用,還需要大量的化簡計(jì)算經(jīng)驗(yàn),因此數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)考查SOLO 水平中的R 水平.如下表所示:

表2 指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次分析案例2

案例3(第22 題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a,b為兩個(gè)不相等的正數(shù),且blna-alnb=a-b,證明:.

分析本題考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用.

第(1)問中,學(xué)生直接通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).根據(jù)求導(dǎo)來求函數(shù)單調(diào)性的推理過程較為簡單,知識(shí)點(diǎn)單一,學(xué)生比較容易想到,因此邏輯推理素養(yǎng)考查SOLO 分類理論的U 水平;而運(yùn)算過程中學(xué)生不僅要正確求出導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式,還要能分別解出導(dǎo)函數(shù)在大于和小于零時(shí)x的取值范圍,因此運(yùn)算素養(yǎng)考查SOLO 分類理論的M 水平.

不妨設(shè)b ＞a ＞0,所以x1＞1,0＜x2＜1.對(duì)于第一個(gè)不等式,當(dāng)x1≥2 等式恒成立,只需證明1＜x1＜2等式成立即可,需構(gòu)造新的函數(shù)g(x)=f(2-x)-f(x),求導(dǎo)知函數(shù)在(1,2)上單調(diào)遞減,g(x)＜g(1)= 0,因此在1＜x ＜2 時(shí),f(x)＞f(2- x),代入x1從而證明f(2-x1)＜f(x1)=f(x2),由于2-x1與x2的范圍都是(0,1),由(1)知在該區(qū)間上單調(diào)遞增,可證2-x1＜x2,即x1+x2＞2,得證;

對(duì)于第二個(gè)不等式,先求出f(x)在(e,0)處的切線方程為y=e-x,構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-(e-x)=x-xlnx-(e-x),即可利用導(dǎo)數(shù)大于0 證明f(x)=x-xlnx ＜e-x對(duì)0＜x ＜e 恒成立,設(shè)f(x1)=f(x2)=t,則即可得到x2+t ＜e,又因?yàn)閠=f(x2)=x2(1-lnx2)＞x2,所以可得x1+x2＜x1+t ＜e,得證.

該題考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).首先,將題目中的已知條件和求證抽象成函數(shù)的過程中,需要學(xué)生聯(lián)想對(duì)數(shù)運(yùn)算法則,思維跨度較大,因此該素養(yǎng)考查SOLO 分類理論的R 水平;其次,邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程中,由于題目中信息量很少,有大量的隱含知識(shí)需要學(xué)生自己深入挖掘,比如日常積累的函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識(shí),學(xué)生必須對(duì)其進(jìn)行創(chuàng)新性的組合與運(yùn)用,通過大量的復(fù)雜推理與運(yùn)算才能使問題得以解決,這對(duì)學(xué)生的思維能力要求非常高,因此邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)考查的是SOLO 分類理論的E 水平.如下表所示:

表3 指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次分析案例3

四、整卷研究結(jié)果

通過對(duì)2021 新高考全國I 卷試題中每一道題考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及最高SOLO 思維層次進(jìn)行深入分析,將各題號(hào)填入量表中,其中對(duì)于設(shè)置了多個(gè)空或者多個(gè)小問的題目,則選擇其考查的所有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和最高思維層次作為該題的最終結(jié)果,得到如下所示的表格:

表4 指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)表

為直觀起見,將試題中六大核心素養(yǎng)和四大SOLO 分類水平的考查比例繪制成如下所示分布圖:

指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的SOLO 思維層次分布圖

從2021 新高考全國I 卷試題對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的情況可以看出,新高考試題雖然涵蓋了所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),但是在分布上卻呈現(xiàn)出失衡現(xiàn)象.邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算作為高考考查的方法素養(yǎng),是學(xué)生解題過程中應(yīng)當(dāng)必備的關(guān)鍵能力,因此,對(duì)這兩個(gè)素養(yǎng)要求會(huì)比較高,二者比重之和幾乎達(dá)到70%.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在新高考試題中占比較低,可見新高考試題在考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力上有所欠缺.數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)主要分布在“概率與統(tǒng)計(jì)”主題中,與其他主題關(guān)聯(lián)度不大,而“概率與統(tǒng)計(jì)”主題在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中分布較窄,這也是高考考查該素養(yǎng)比較少的原因之一.

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所考查的SOLO 水平上,四個(gè)水平都有所涉及,這反映出了高考作為全國選拔性考試,其目的是區(qū)分出不同學(xué)生的思維水平.其中R 水平占比最多,達(dá)到了43.04%,說明試題在注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力的同時(shí),更突出考查的是知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)想與遷移能力;E 水平占比最少,為10.05%,該水平對(duì)學(xué)生的要求比較高,需要學(xué)生有一定的創(chuàng)新思維,以便有效的發(fā)掘出滿足現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展的高水平人才.此外,U、M 水平占比較為適中,對(duì)學(xué)生思維要求都不高,在一定程度上保證了試題的基礎(chǔ)性.

五、對(duì)高中解題教學(xué)的啟示

通過以上對(duì)試題的分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理作為高考中著重考查的兩大核心素養(yǎng),要求教師在解題教學(xué)中不僅要始終聚焦核心素養(yǎng),還要尤其重視學(xué)生的邏輯思維能力和基本的運(yùn)算技能培養(yǎng),重視從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)的數(shù)學(xué)問題,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),從多方位考查并增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí).

教師要完善學(xué)生的知識(shí)體系,加強(qiáng)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性,凸顯高中數(shù)學(xué)知識(shí)的廣度與深度,這不僅是高考對(duì)于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和拓展抽象水平考查的要求,也是提高學(xué)生問題解決能力的重要基礎(chǔ);其次,教師在編制或選擇習(xí)題時(shí)應(yīng)充分考慮到學(xué)生的思維水平發(fā)展,結(jié)合高考試題的層次性、綜合性、靈活性、創(chuàng)新性等特點(diǎn),在考查“雙基”的同時(shí),進(jìn)一步考查學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的遷移能力和創(chuàng)新意識(shí);教師還可以為數(shù)學(xué)習(xí)題制定符合SOLO 分類標(biāo)準(zhǔn)的參考答案,以便教師或?qū)W生對(duì)作答結(jié)果進(jìn)行批改或自評(píng)時(shí),可以根據(jù)參考答案對(duì)其所處的思維結(jié)構(gòu)水平進(jìn)行診斷;或者在習(xí)題講解的過程中,為了給不同思維層次的學(xué)生呈現(xiàn)不一樣的思維方式,可適當(dāng)采用一題多變和一題多解的教學(xué)方式,由此在提高學(xué)生解題興趣的同時(shí)還能實(shí)現(xiàn)教學(xué)“因材施教”.