張迪,周艷紅

(中國民用航空飛行學(xué)院 計算機學(xué)院,四川 廣漢 618307)

0 引 言

三角模(triangular norm,通常簡寫為t-模)作為一種二元運算,首先出現(xiàn)在Menger K于1942年發(fā)表的論文“statistical metrics”[1].在上世紀60年代,Berthold Schwerzer和Abe Sklar重新定義了t-模[2-3],從而使這個領(lǐng)域得到飛速發(fā)展.t-模除了應(yīng)用于概率度量空間和模糊邏輯外,還廣泛應(yīng)用于決策支持、函數(shù)方程、博弈理論等諸多領(lǐng)域[4-6].長期以來,三角模理論及其應(yīng)用是人們研究的熱點,三角模作為一種特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu),其構(gòu)造是認識三角模結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵所在.本文基于此,將討論構(gòu)造三角模的充分條件及相關(guān)性質(zhì).

1 基本概念

定義1[7]如果二元運算T：[0,1]2→[0,1]滿足：對ai,bi∈[0,1],有

(1) 單調(diào)性：當(dāng)x1≤x2,y1≤y2時,T(x1,y1)≤T(x2,y2),

(2) 交換律：T(x,y)=T(y,x),

(3) 結(jié)合律：T(T(x,y),z)=T(x,T(y,z)),

(4)邊界條件：T(x,0)=T(0,x)=0,T(x,1)=T(1,x)=x,

則稱T為定義在[0,1]上的t-模.

定義2[7]如果t-模T在[0,1]2上連續(xù),并且在(0,1]2上每個分量都嚴格遞增,即x1

定義3[7-8]若對任意的x,y∈(0,1),存在正整數(shù)m,使得xm

定義4[8]函數(shù)g的右逆就是函數(shù)f,它滿足Domf=Rang,Ranf?Domg且g°f=jRang,即,?x∈Rang,g(f(x))=x.

定理1[8]連續(xù)t-模T是阿基米德的當(dāng)且僅當(dāng)T除0,1以外沒有其他冪等元.特別地,任何嚴格t-模都是阿基米德的.

2 t-模的構(gòu)造

本節(jié)我們將利用一個嚴格遞減的函數(shù)t構(gòu)造t-模T.

定義5[8]設(shè)t:[0,1]→[c,∞]是連續(xù)的嚴格遞減的函數(shù)且t(1)=c>0(c是常數(shù)).t的偽t(-1)逆是函數(shù)

滿足：Domt(-1)=[c,∞],Rant(-1)?[0,1],且

若t是滿射,即t(0)=∞,則t(-1)=t-1.

定理2二元函數(shù)T(x,y) =t(-1)(t(x)+t(y)-c)是[0,1]上的t-模.

證明 1)邊界條件：T(x,0)=T(0,x)=t(-1)(t(0)+t(x)-c)=0,T(x,1)=T(1,x)=t(-1)(t(1)+t(x)-c)=t(-1)(t(x))=x;

2)交換律：T(x,y)=T(y,x)=t(-1)(t(x)+t(y)-c)；

3)單調(diào)性：固定y,不妨設(shè)x1

4)結(jié)合律：若t(x)+t(y)-c∈Ran(t),t(y)+t(z)-c∈Ran(t),這里Ran(t)=[t(1),t(0)],T(T(x,y),z)=t(-1),而(t°t(-1)(t(x)+t(y)-c)+t(z)-c)=t(-1)(t(x)+t(y)+t(z)-2c),T(x,T(y,z))=t(-1)(t(x)+t°t(-1)(t(y)+t(z)-c)-c)=t(-1)(t(x)+t(y)+t(z)-2c).

若x,y,z中至少有一個為0時,不妨設(shè)x=0,

T(T(x,y),z)=t(-1)(t°t(-1)(t(x)+t(y)-c)+t(z)-c)=t(-1)(t°t(-1)(t(0)+t(y)-c)+t(z)-c)=t(-1)(t(0)+t(z)-c)=0,

T(x,T(y,z))=t(-1)(t(x)+t°t(-1)(t(y)+t(z)-c)-c)=t(-1)(t(0)+t°t(-1)(t(y)+t(z)-c)-c)=0.

所以,T(T(x,y),z)=T(x,T(y,z)).

綜上所述,T(x,y)=t(-1)(t(x)+t(y)-c)是[0,1]上的t-模.

定理3[0,1]上的t-模T(x,y)=t(-1)(t(x)+t(y)-c)是阿基米德的.

證明 對?x∈(0,1),t(x)∈(c,+∞),T(x,x)=t(-1)(t(x)+t(x)-c)

是t-模并且是阿基米德的.