【摘 要】 文章在探究性學習的導引下踐行了“三個理解”，基于三個理解的內(nèi)涵在教師的組織下學生自主完成了一道矩形章節(jié)復習題的知識建構，通過探究幫助學生內(nèi)化了基礎知識及知識間的聯(lián)系，優(yōu)化了知識結構，強化了解題的基本技能，深化了問題解決的基本數(shù)學思想方法，積累了基本活動經(jīng)驗，提升了數(shù)學素養(yǎng).

【關鍵詞】 三個理解;探究性學習;合作交流

“三個理解”是指理解數(shù)學、理解教學、理解學生，它是伴隨課改產(chǎn)生的一個教學理論，距章建躍博士首次提出已十年有余，但卻歷久彌新，對中學數(shù)學教學發(fā)揮著指導作用.探究性學習是學生在數(shù)學學科領域內(nèi)自行選取或教師幫助選取某個具體問題作為突破點，通過質(zhì)疑發(fā)現(xiàn)問題，借助調(diào)查研究、小組合作交流分析研討問題，依托表達與操作解決問題等探究活動獲得知識并掌握方法的一種學習方式，它能成為當下一種流行的學習方式主要因為它可以盡最大程度的體現(xiàn)學生角色的主體性、自主性、開放性，重視知識內(nèi)化的過程性、實踐性，同時還關注學生思維形成的深刻性、靈活性與廣闊性;而復習題作為將數(shù)學基礎知識、基本技能與基本數(shù)學思想方法系統(tǒng)化的有效載體有著不可替代的作用，筆者在平行四邊形章節(jié)復習時遇到了一道涉及“中點”的矩形綜合題，采取探究性學習的方式實施了教學，并在教后產(chǎn)生了探究性學習在促進“三個理解”教學的一些體會，現(xiàn)將授課實錄與教后思考整理成文與讀者交流.

1 試題的呈現(xiàn)

如圖1，在矩形ABCD中，點E在CB的延長線上，且AC=EC，連接AE，點F為AE中點，連接BF與DF，求證：DF⊥BF.

2 教學過程

片段一

師：同學們，認真分析題目的條件并觀察圖形，你能得到哪些有用信息？

（小組合作交流，時間3分鐘）

生1：第一個條件是四邊形ABCD為矩形，所以矩形的性質(zhì)是解決本題的必要條件.

師：矩形有哪些性質(zhì)？

生1：矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)，例如對邊平行且相等，此外矩形的四個角均為直角，對角線相等且平分.

師：很全面，已知條件還有其它信息嗎？

生1：第二個條件為AC=EC，說明△ACE是等腰三角形，還應使用等腰三角形的性質(zhì).

師：如何使用呢？

生1：結合第三個條件點F為AE中點，所以連接CF后由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知CF⊥AE，同時BF為Rt△ABE斜邊上中線，也可得到BF=AF=EF=12AE.

師：很好，生1給出第一種思路，大家看圖2，思考如何證明∠DFB=90°？

（小組合作交流，教師給出圖2）

設計意圖 問題是數(shù)學的心臟，探究性學習應在教師預設的問題下引導進行，否則學生就會漫無目的地討論、交流，甚至偏離解題的主題，這就需要教師課前細致的預設問題，“形成并改進預設”比“善待生成”更重要;同時也需要學生認真讀題從已知條件中挖掘有用信息，進而發(fā)現(xiàn)解題的大致方向，這也是對學生解題的初級要求，這里經(jīng)過師生互動后教師通過簡單點播很快將學生帶入解題情境.

師：同學們，通過觀察圖形又有新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：我們由BF=AF發(fā)現(xiàn)∠1=∠2，結合生1同學的思路容易得出△ADF≌△BCF，所以∠3=∠4，同時由CF⊥AE知∠5=90°-∠3，∠6=90°-∠4，所以∠5=∠6，要證∠DFB=90°只需證∠4+∠5=90°.

師：很好，結合∠3=∠4，∠5=∠6怎么找∠4和∠5的關系呢？

生眾：∠3+∠4+∠5+∠6=180°，只需將∠3和∠6分別代換成∠4和∠5就可以了.

師：太好了，從邊的等量關系找角的關系體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，這樣就解決了問題，哪位同學板演一下過程.

（學生板演后師生共同查漏補缺并規(guī)范過程）

設計意圖 在教師的引導下學生從長時記憶中聯(lián)系中點、等腰三角形、矩形等相關知識，借助圖形、文字、符號等形式對信息進行加工，在合作交流中確定題目的已知條件、相關知識、待證結論之間的相互聯(lián)系，并作出解決問題的基本判斷從而解決了問題.要說思維活動是解決問題的前提那么實際操作是檢驗學習效果的重要方式，通過板演可以發(fā)現(xiàn)思維的漏洞，教師通過指導書寫的規(guī)范性就可避免學生只會說不會寫的尷尬局面.

片段二

師：同學們，上面我們用到了等腰三角形、直角三角形與中點相關的性質(zhì)，除此之外點F為AE中點還可以與誰結合使用？例如與平行線.

生3：本章“中點”碰到“平行線”往往會出現(xiàn)“對頂”的兩個三角形全等.

師：對！這是一個重要數(shù)學模型，根據(jù)這一思路同學們思考如何作出輔助線.

生3：延長DA與BF延長線交于點G，易得△AFG≌△EFB，進而AG=EB，BF=GF.

（教師畫出圖3，學生看圖交流）

師：很好，利用這一結果怎么解決DF⊥BF問題？請同學們認真觀察圖形并認真思考.

生4：因為點F為BG中點已證，由“三線合一”只需證明DG=BD，借助矩形的對角線相等這一性質(zhì)我們不難發(fā)現(xiàn)BD=AC，再結合已知條件AC=EC，只要DG=EC就可以了，進一步對AG=EB與AD=BC使用等式性質(zhì)不難得出.

師：非常棒，我們對平行線搭配中點的模型與等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的組合使用也解決了問題，利用同一思想我們還可以延長DF與CB的延長線交于點G，課后同學們可類比完成.

（學生整理思路與過程，查漏補缺）

設計意圖 多角度的思考問題可以提高學生思維的靈活性、廣闊性，這里從不同的方面處理信息加深了學生對矩形等新授知識的理解度，也鞏固了學生對等腰三角形等固有知識的認識，并體會了幾者之間的相互聯(lián)系.預設的問題跨度不宜太大，以免超越學生的思維層次，這里教師在引導“中點”的使用方向時故意將問題指向“平行線”，就是在目的明確的前提下發(fā)散思維并解決問題.類比推理是合情推理的一種重要表達形式，受課堂容量、剩余時間等因素的制約，最后給出與生4類似的思路，學生可以在課后以作業(yè)等形式檢測學習的效果.

片段三

師：我們再來思考還有哪些與中點相關的定義與性質(zhì)？

生眾：三角形的中位線.

師：三角形的中位線需要兩個中點，點F是一個，還有其它中點嗎？

（小組交流，尋求另一個中點）

生5：矩形的對角線相互平分，所以可以連接對角線BD交AC于點O，點O為另一個中點，連接OF.

（教師畫出圖4，學生結合圖形思考）

生6：此時OF為△AEC的中位線，則OF=12CE，易知OF=12CE=12AC=12BD，直角三角形斜邊上中線為斜邊一半，所以DF⊥BF.

師：生6的想法很好，但“直角三角形斜邊上中線為斜邊一半”是在直角三角形條件下找線段間的關系，他好像本末倒置了，如何證明∠BFD=90°，大家能幫助他嗎？

學生帶著問題在OF=OB=OD已證的條件下思考如何證明∠BFD=90°的方法，很快，很多同學發(fā)現(xiàn)與生1類似的方法，得出∠1=∠2，∠3=∠4，再結合三角形內(nèi)角和定理進行角的代換解決了問題.

設計意圖 聯(lián)想與類比是學生學習的基本要求之一，生1借助平角180°的概念，隨之生6就利用了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，他們的解決方法有異曲同工之妙，這種對方法的遷移潛移默化的影響著學生分析問題的能力.

片段四

師：上面的方法都是從條件與中點相關的知識出發(fā)向結論拼湊，而從待證結論出發(fā)向上追溯有哪些思路方法？垂直可以結合平角、內(nèi)角和等知識進行角的代換，也可以運用等腰三角形的性質(zhì)解決，那大家想想還有哪些與垂直相關的方法？友情提示一下可以給直線穿上表達式的“外衣”.

生眾：兩條一次函數(shù)的垂直往往通過它們k值的關系來完成.

師：太棒了，如何給直線穿上“外衣”呢？

生眾：建立平面直角坐標系.

師：建系需要遵循簡單原則，怎么建系最簡單？

（學生活動，交流心得探究建系的最簡方案）

生7：以點B為原點，以BC，BA所在的直線分別為x軸，y軸，需要設矩形的長BC=x，寬BA=y，表示各點坐標最簡單.

解 以點B為原點，以BC，BA所在的直線分別為x軸，y軸，需要設矩形的長BC=x，寬BA=y，則B（0，0），C（x，0），A（0，y），D（x，y）.

因為CE=AC=x2+y2，所以BE=CE-BC=x2+y2-x，

可知E的坐標為（x-x2+y2，0），點F的坐標為（x-x2+y22，y2），

則kDF=y-y2x-x-x2+y22=yx+x2+y2，kBF=y2x-x2+y22=yx-x2+y2

有kDF·kBF=yx+x2+y2·yx-x2+y2=y2x2-x2+y22=y2-y2=-1，

所以DF⊥BF.

（受時間和學生基礎的制約，教師給出圖5，通過投影展示參考答案，作為補充供學生賞析）

設計意圖 解決很多數(shù)學問題都需要轉(zhuǎn)化與化歸的思想，而復雜問題簡單化，抽象問題具體化，幾何問題代數(shù)化是轉(zhuǎn)化的重要手段，華羅庚先生說過“數(shù)缺

形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”.建系法不僅是聯(lián)系代數(shù)與幾何的紐帶之一，對培養(yǎng)學生數(shù)學思想方法也不可多得.“斜率”在初中蘇教版鮮有人提，但k值之積等于-1證垂直已然成為學生的共識，解決問題后部分學生又給出了坐標系條件下的勾股定理的逆定理證明垂直的方法，因此教師可以在不超越學生認知水平的條件下適時地、有意識地發(fā)散點播，這樣不僅可以優(yōu)化學生的知識結構，還可以拓寬他們的思維.

3 三點思考3.1 理解數(shù)學：探究可以發(fā)掘每一道試題的深度、廣度與價值

何為理解數(shù)學？理解數(shù)學主要是對數(shù)學思想、方法及其精神的理解，對數(shù)學知識中凝結的數(shù)學思維活動方式和價值觀資源的理解[1].結合本節(jié)課的探究活動筆者從以下幾個維度踐行了“理解數(shù)學”.

首先，理解數(shù)學的前提是教師對教學內(nèi)容所涉及的知識點應有深刻的理解.課中教師引導學生從矩形的性質(zhì)作為題根，借助與中點相關的數(shù)學模型作為生長點，發(fā)生發(fā)展形成了完整的知識結構，學生清晰地掌握了涵蓋的多種知識，并將它們串聯(lián)起來.筆者認為復習課中題目的講解不應是簡單的就題論題，而現(xiàn)實中很多課堂都是機械的逐題羅列式的一題一解，看似完成了教學任務，實則教學效果大打折扣，教師只給出一種方法，學生的收獲也是片面的.

其次，理解數(shù)學是教學對數(shù)學思想方法的理解.很多學生經(jīng)常抱怨平時學的都會，但一碰到綜合題就無從下手，原因是多方面的.對知識的聯(lián)想與遷移認識不深刻是大部分學習能力偏弱的學生與優(yōu)等生的主要差距.集合論的創(chuàng)始人德國數(shù)學家康托爾說過：“數(shù)學是絕對自由發(fā)展的學科，它只服從于明顯的思維.就是說它的概念必須擺脫自相矛盾，并且必須通過定義而確定有秩序地與先前已建立和存在的概念相聯(lián)系.”這就告訴我們學生認知中已有的概念、定理、性質(zhì)等通過數(shù)學思想方法的連接必然存在某種聯(lián)系，它們中的任一個都不是孤立的，數(shù)學思想方法具有將各知識點聯(lián)系在一起的紐帶作用，本節(jié)課矩形問題與中點問題能建立多種聯(lián)系就依賴于轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結合等數(shù)學思想.在探究活動中還運用了大量的歸納、類比、演繹等推理形式，同時運用了分析法、綜合法等數(shù)學分析方法，這些數(shù)學思想方法有的是從圖形角度向數(shù)與式轉(zhuǎn)化，有的從數(shù)與式向圖形轉(zhuǎn)化，有執(zhí)因溯果，也有執(zhí)果溯因，借助這些基本思想方法，學生收獲了成功的喜悅，思想更開闊了，進而積累了豐富的解題經(jīng)驗，這都為學生以后解決其它問題掃清了障礙.

最后，理解數(shù)學體現(xiàn)在數(shù)學實質(zhì)與問題解決的價值上.陜西師范大學羅增儒教授說：“我有幸經(jīng)常聽到一些中學、大學優(yōu)秀教師的講課，感覺并非總是一樣的.有些學者型的課語調(diào)平緩，沒有一句渲染的話，但對數(shù)學實質(zhì)的揭示入木三分，實在令人為之傾倒;有些激情的課抑揚頓挫，高潮迭起，為知識插上了翅膀，講授披上了藝術的靈光.聽起來是一種享受.另有一些課表演的挺熱鬧，但信息量不足，深刻度不夠，缺少思維落差，形同原地踏步，每到關鍵處總有一些實質(zhì)性的要害說不出來.學生倒是挺高興的，而我卻感到壓抑.”[2]由此筆者認為，教師應深度挖掘問題的數(shù)學實質(zhì)，不僅“深”在知識與技能上、“深”在思想方法上，更重要的是“深”在教學規(guī)律里、“深”在思維習慣養(yǎng)成與思維層次的提高上，進而幫助學生由一般的“學會數(shù)學的思維”過渡到“通過數(shù)學學會思維”，長此以往學生能從數(shù)學特有的角度認識問題，能潛移默化的運用數(shù)學思維分析問題、解決問題，最終形成嚴謹?shù)睦硇跃?

3.2 理解教學：探究可以體現(xiàn)學習過程中學生的主體性

理解教學主要體現(xiàn)在理解教學的規(guī)律與特點.數(shù)學是思維的學科，只有理解了教學的規(guī)律與特點，教學質(zhì)量才能得到保證.“學生是主體、教師是主導”的教學規(guī)律已成為大家普遍的共識，傳統(tǒng)的“教師講+學生聽”“學生講+老師寫”是教師一廂情愿的越俎代庖.許多教師都有這樣的困惑：為什么同樣的題目做了很多遍，還有很多人不會？為什么條件稍作變化就不會了呢？原因或許是學生的熟練度不夠與基本概念不清晰，也或許是學生接受了被動的教學方式而失去了探究、參與的機會，失去學習熱情的同時也造成思想的惰怠.錢守旺老師說過：“課堂上盡可能給學生多一點思考的時間、多一點活動的余地、多一點表現(xiàn)自己的機會、多一點體驗成功的愉悅，讓學生自始至終參加到知識形成的全過程中.”基于這四個“多一點”，教師應適時地將課堂上屬于學生的時間還給學生，只有以學生為中心讓學生動起來才算是一定程度上理解了教學.

3.3 理解學生：探究可以面對不同學生實現(xiàn)教學目標的達成

理解學生主要是教師要尊重學生認知結構、個體差異以及不同年齡、不同層次的學生學習的思維規(guī)律.教師在教學設計時應該“蹲下身來”，站在學生的高度平視學生而不是高高在上的俯視他們.筆者所帶班級的學生思維層次參差不齊，接受能力也有強與弱，所以教師應從整體上把握知識，面對大部分學生要立足教材、突出重點、突破難點，實現(xiàn)教學目標的達成，還要針對優(yōu)生啟發(fā)思維，培養(yǎng)表達能力、遷移能力、探究能力.本節(jié)課借助“坐標系”與“斜率”解題不是本章的教學重點，教師僅僅是分析方法展示過程而已，其它的方法又要不遺余力.因此課前教師應將教材中的相關知識進行了整合、拆分、再加工，借助精心設計的問題層層遞進，使每一位學生均有所收獲.

4 結束語

近幾年“一課一題”逐漸成為專題或章節(jié)復習課的熱門話題，即一節(jié)課只探究一兩道題目，這樣就有足夠的時間幫助學生全面關注知識的重現(xiàn)與知識間的內(nèi)在聯(lián)系，關注題型與數(shù)學模型的總結，關注已知條件、待證結論表征分析的方法，關注思想方法的訓練，更可以突出思維層次與核心素養(yǎng)的提升.因此課前教師應了解哪些是富含思想又兼顧知識的骨架題，經(jīng)過教師對骨架題精心的預設與基于“三個理解”的探究積累教會學生可以舉一反三、減負增效.

參考文獻

[1]章建躍.中學數(shù)學課改的十大論題[J].中學數(shù)學教學參考（上旬），2010（3）：2-5.

[2]羅增儒.中學數(shù)學課例分析[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.7：97.

作者簡介 崔道永（1981—），男，江蘇沛縣人，中學一級教師;主要研究中學數(shù)學課堂教學與解題;發(fā)表文章10余篇.

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