林日福

[摘 ?要] 文章以“角的問(wèn)題”一課的教學(xué)為例，通過(guò)課前助學(xué)單助力學(xué)生探究性學(xué)習(xí)、遞進(jìn)式問(wèn)題鏈助力學(xué)生提高問(wèn)題解決能力、結(jié)構(gòu)化教學(xué)板書(shū)讓思維可視，從而促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)，使課堂深度學(xué)習(xí)得以真實(shí)發(fā)生.

[關(guān)鍵詞] 深度學(xué)習(xí);思維生長(zhǎng);角的問(wèn)題;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

對(duì)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的理解

深度學(xué)習(xí)是指，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程. 課堂是教學(xué)的主陣地，倡導(dǎo)深度學(xué)習(xí)或深度教學(xué)的根本目的是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，助力學(xué)生知、情、意的生長(zhǎng). 誠(chéng)如有學(xué)者所言，當(dāng)前大多數(shù)研究都認(rèn)為深度教學(xué)“深在學(xué)生參與，倡導(dǎo)主動(dòng)、積極;深在課程內(nèi)容，倡導(dǎo)知其所以然;深在學(xué)習(xí)任務(wù)，倡導(dǎo)挑戰(zhàn)性、高投入;深在學(xué)習(xí)過(guò)程，倡導(dǎo)問(wèn)題解決、知識(shí)運(yùn)用與創(chuàng)新;深在學(xué)習(xí)結(jié)果走向批判、創(chuàng)造等高階思維，或整合認(rèn)知與非認(rèn)知的割裂，發(fā)展情感、價(jià)值觀或追尋意義.[1]”數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性及應(yīng)用的廣泛性等特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)是極大的挑戰(zhàn)，他們要真正掌握好數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就必須積極主動(dòng)地參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中.與其他學(xué)科的學(xué)習(xí)不同，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)要求學(xué)生積極地全程參與，思維高度集中，在活動(dòng)過(guò)程中積極與所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行對(duì)話(huà)，與自己的思維進(jìn)行對(duì)話(huà)，與學(xué)習(xí)伙伴（包括教師、其他學(xué)生等）進(jìn)行對(duì)話(huà)，并且在對(duì)話(huà)的過(guò)程中積極地對(duì)自己原來(lái)的思維進(jìn)行調(diào)整與完善，以使問(wèn)題得到真正解決或向問(wèn)題解決的方向正確前行，最終形成新的想法、新的問(wèn)題解決思路. 因此，真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，必須是一種深度學(xué)習(xí)，是促進(jìn)學(xué)生高階思維得以發(fā)展的學(xué)習(xí)，是助力學(xué)生思維生長(zhǎng)的學(xué)習(xí). 所以，促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)是數(shù)學(xué)課堂深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生的根本.

對(duì)“角的問(wèn)題”的理解

角是構(gòu)成幾何圖形的基本要素，角的問(wèn)題是常見(jiàn)的幾何問(wèn)題之一.就初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，解決角的問(wèn)題的常見(jiàn)思維有兩種：一是直接從角的內(nèi)部入手，運(yùn)用邏輯推理，從角與角之間的和、差、倍、分等數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)角的位置關(guān)系變換，這種變換沒(méi)有改變研究對(duì)象的本質(zhì)屬性;二是聯(lián)系三角函數(shù)或相似三角形等知識(shí)，通過(guò)研究線段的數(shù)量關(guān)系來(lái)研究角及角與角的數(shù)量關(guān)系，將研究角這個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)化為研究線段這個(gè)新的對(duì)象，研究對(duì)象的改變，意味著思維也需要相應(yīng)地調(diào)整，于是一種具有極大挑戰(zhàn)性的創(chuàng)新性思維——構(gòu)造就油然而生. 運(yùn)用第二種思維來(lái)解決角的問(wèn)題，是近些年中考命題的熱點(diǎn)，常出現(xiàn)在難度較大及區(qū)分度較大的試題中，解決這類(lèi)問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的挑戰(zhàn)性. 文章圍繞運(yùn)用線段的數(shù)量關(guān)系來(lái)解決角的問(wèn)題，嘗試通過(guò)構(gòu)建遞進(jìn)式問(wèn)題鏈來(lái)幫助學(xué)生形成解決這類(lèi)問(wèn)題的一種基本思維經(jīng)驗(yàn)，以實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，助力學(xué)生思維的生長(zhǎng).

課例呈現(xiàn)

1. 課前助學(xué)單

問(wèn)題1：如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l，垂足為D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l，垂足為E. 請(qǐng)寫(xiě)出線段AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系式，并證明.

問(wèn)題2：如圖2所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l，垂足為D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l，垂足為E. 請(qǐng)求出及的值.

解讀 教師以課前助學(xué)單的形式，讓學(xué)生課前在自主、合作學(xué)習(xí)中自覺(jué)鞏固“一線三直角”模型，感受借用“直角”將角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題的基本思想，從而減輕學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的認(rèn)知負(fù)擔(dān)，并激發(fā)他們的課堂參與興趣.

2. 課堂教學(xué)

問(wèn)題3：（2017年深圳中考改編）如圖3所示，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，并與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式;

（2）直線BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后與拋物線交于另一點(diǎn)E，求BE的長(zhǎng).

師：用待定系數(shù)法易求得拋物線的解析式為y=-x2+x+2.對(duì)于第（2）小題，你們有什么想法？

生1：可先求出直線BE的函數(shù)表達(dá)式，然后聯(lián)立二次函數(shù)表達(dá)式，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，繼而求出BE的長(zhǎng).可過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BE，垂足為D，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DM，交MD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，此時(shí)便構(gòu)造了“一線三直角”模型（如圖4所示）. 由△CDM≌△DBN，得DM=BN. 設(shè)DM=m，則BN=OM=m，CM=DN=4-m. 因?yàn)镺C+CM=OM，又OC=2，所以2+4-m=m，解得m=3，所以D（3，3）. 再由B（4，0），D（3，3）， 可得直線BD的解析式為y=-3x+12，聯(lián)立直線BD的解析式和拋物線的解析式后可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，-3），所以BE==.

師：可以看到，構(gòu)造出等腰直角三角形，再構(gòu)造出一個(gè)水平方向的“一線三直角”模型，并引入字母m來(lái)表示線段DM的長(zhǎng)，這些都在解決第（2）小題中發(fā)揮了重要的作用. 你是怎么想到的？

生1：由45°角可以聯(lián)想到等腰直角三角形，畫(huà)出等腰直角三角形BCD后，結(jié)合“問(wèn)題1”我便想到了“一線三直角”模型，由求點(diǎn)D的坐標(biāo)想到過(guò)點(diǎn)D作坐標(biāo)軸的平行線，再分別求出線段的長(zhǎng).

師：的確，45°角是一個(gè)特殊角，構(gòu)造含有特殊角的直角三角形，再以這個(gè)直角三角形為基構(gòu)造“一線三直角”模型，便可以實(shí)現(xiàn)將角的問(wèn)題向線段的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化. 構(gòu)造的方法是作坐標(biāo)軸的平行線，即采用“橫平豎直”的“斜化直”策略. 當(dāng)然，根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，適當(dāng)引入未知數(shù)來(lái)表示線段的長(zhǎng)，并結(jié)合圖形中線段的數(shù)量關(guān)系來(lái)建立方程（組），有助于我們解決問(wèn)題.

分析 解決“問(wèn)題3”可以遷移解決“問(wèn)題1”的經(jīng)驗(yàn)，但需要構(gòu)造出“一線三直角”模型，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的難度. 教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生分享解答過(guò)程，這能促進(jìn)學(xué)生之間的交流. 解答完畢后，教師可以讓學(xué)生分享思維過(guò)程，讓隱性的思維顯化，從而促進(jìn)學(xué)生思維的條理化、邏輯化，助力他們思維的生長(zhǎng).

問(wèn)題4：在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-2，0），B（4，0），C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠ACB=60°，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

師：由條件可知點(diǎn)C的位置是確定的，那如何求出點(diǎn)C的坐標(biāo)呢？

生2：可以想辦法求出OC的長(zhǎng). 由60°角聯(lián)想到含60°角的直角三角形，于是過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，得Rt△ADC，再過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F（如圖5所示）. 易得△AED∽△DFC，且它們的相似比為∶1. 設(shè)OC=m，CF=n，則DE=n，DF=OC-DE=m-n. 所以AE=DF=m-3n. 因?yàn)椤鱀EB∽△DFC，所以=，即=，解得BE=. 因?yàn)镺A+OE=AE，OE+BE=OB，所以2+n=m-3n，n+=4，解得m=±（負(fù)值舍去），所以C（0，+）.

師：可以看到，此題較上題難度有所加大，你是怎么思考的呢？

生2：由60°角想到構(gòu)造含60°角的直角三角形，再運(yùn)用“斜化直”策略構(gòu)造“一線三直角”模型，實(shí)現(xiàn)將角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，接著用字母表示需要的未知線段的長(zhǎng)，建立方程組求解.

師：60°角與45°角都是特殊角，在探索上可以類(lèi)比遷移解決45°角問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn). 此題的數(shù)量關(guān)系更復(fù)雜，因此解決時(shí)可在圖形中標(biāo)出已知線段的長(zhǎng)，以及由已知推理得到的線段的長(zhǎng)，這樣可以讓我們的思維看得見(jiàn)、更直觀，有助于我們快速解決問(wèn)題.

問(wèn)題5：如圖6所示，A，B是反比例函數(shù)y=圖像上的兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，tan∠AOB=2，求點(diǎn)B的坐標(biāo).

師：由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，易得A（1，3），那么由條件tan∠AOB=2，你們能想到什么呢？

生3：（如圖7所示）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，垂足為C，得Rt△OAC，且tan∠AOB==2. 再運(yùn)用“斜化直”策略構(gòu)造出“一線三直角”模型，即過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，再過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. 易得△AEC∽△CDO，且它們的相似比為2∶1. 設(shè)CD=m，則AE=2m. 所以O(shè)D=1+2m. 于是CE=2OD=2+4m. 因?yàn)镃E+CD=DE，所以2+4m+m=3，解得m=. 所以O(shè)D=. 所以C，. 因此直線OC的解析式為y=x. 聯(lián)立y=x與y=后可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，.

師：構(gòu)造以∠AOB為內(nèi)角的直角三角形，進(jìn)而構(gòu)造“一線三直角”模型，這是解答此問(wèn)題的關(guān)鍵. 你是怎么想到的？

生3：由條件tan∠AOB=2聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形，于是得到=2，這樣便和“問(wèn)題4”類(lèi)似了.

師：是的，依據(jù)正切的概念，構(gòu)造出直角三角形后便可以將角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題了.綜上可知，解答單個(gè)角的問(wèn)題，體現(xiàn)了如圖8所示的基本思路.

解讀 “問(wèn)題3”已知45°角、“問(wèn)題4”已知60°角，它們的本質(zhì)都是已知在以該角為一內(nèi)角的直角三角形中兩條直角邊的比值，這與“問(wèn)題5”的已知條件“tan∠AOB=2”類(lèi)似. 同類(lèi)問(wèn)題的解法一般是相似的，可以相互遷移，于是可以歸納出一般的解題思維. 這樣的教學(xué)過(guò)程能提升學(xué)生的概括思維能力，助力學(xué)生思維生長(zhǎng).

問(wèn)題6：（2019年宿遷中考改編）如圖9所示，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）.

（1）求拋物線的表達(dá)式;

（2）連接AC，點(diǎn)P在拋物線上，且滿(mǎn)足∠PAB=2∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

師：易求得拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x-3. 對(duì)于第（2）小題，你們有什么想法？

生4：可求得tan∠ACO=，但不會(huì)求tan2∠ACO的值.

師：可以嘗試構(gòu)造一個(gè)角，使得其為2∠ACO，再求出其正切值.

生5：由已知得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，則D（-1，0）. 又由A（1，0），得∠DCO=∠ACO，于是∠ACD=2∠ACO.

師：不錯(cuò)！利用點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的關(guān)系，構(gòu)造出了2∠ACO. 那接下來(lái)怎么求tan∠ACD的值呢？

生5：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E. 由三角形的面積公式，可得到AD·OC=AC·DE. 因?yàn)锳C==，AD=2，OC=3，所以DE=. 所以CE==. 所以tan∠ACD==.

師：那接下來(lái)怎么求點(diǎn)P的坐標(biāo)呢？

生5：（如圖10所示）由題意知tan∠PAB=tan∠ACD=. 當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為F，于是有tan∠PAB==. 設(shè)P（m，m2+2m-3），則PF=m2+2m-3，AF=1-m. 所以=，解得m=-或m=1（舍去），所以P-，. 當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，同理可得滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P-，-. 綜上可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為-，或-，-.

問(wèn)題7：（2019年達(dá)州中考改編）如圖11所示，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn).

（1）求拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)C的坐標(biāo);

（2）設(shè)D是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)tan（∠CAO+∠CDO）=4時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

師：易求得拋物線的表達(dá)式為y= -x2-2x+3，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）. 對(duì)于第（2）小題，顯然以我們現(xiàn)有的知識(shí)分別求出tan∠CAO與tan∠CDO的值也無(wú)法得到tan（∠CAO+∠CDO）的值，因此應(yīng)找到一個(gè)角——α，使得α=∠CAO+∠CDO，即tanα=4. 觀察圖形及題中條件后，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：（如圖12所示）設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)H，則H（-1，0），CH=4，OH=1. 故tan∠COH=4. 所以∠COH=α. 而∠COH=∠CAO+∠ACO，所以∠ACO=∠CDO.

師：分析得很到位. 這樣問(wèn)題就自然地轉(zhuǎn)化為在x軸上找一點(diǎn)D，使得∠CDO=∠ACO，且原來(lái)的和角三角函數(shù)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系問(wèn)題了. 那接下來(lái)怎么求出點(diǎn)D的坐標(biāo)呢？

生6：當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)時(shí)，如圖12所示. 因?yàn)椤螦CO=∠CDO，∠CAO=∠CAO，所以△AOC∽△ACD. 所以=. 因?yàn)锳O=1，AC==2，所以=，解得AD=20. 所以O(shè)D=19. 所以此時(shí)D（-19，0）. 當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，其與（-19，0）關(guān)于直線x=-1對(duì)稱(chēng)，所以此時(shí)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（17，0）. 綜上可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-19，0）或（17，0）.

師：很好！畫(huà)出圖形后會(huì)發(fā)現(xiàn)，由∠ACO=∠CDO，∠CAO=∠CAO，可以得到一個(gè)“子母型”相似，從而獲得線段的數(shù)量關(guān)系. 解答“問(wèn)題6”和“問(wèn)題7”與解答前面的問(wèn)題，思維方法有什么異同？

生6：它們都是把角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題來(lái)解決，但前面的問(wèn)題是已知角的度數(shù)或三角函數(shù)值，通過(guò)構(gòu)造直角三角形并采用“斜化直”策略，把角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，而“問(wèn)題6”和“問(wèn)題7”的解題關(guān)鍵是構(gòu)造或找到滿(mǎn)足條件的一個(gè)角，求出該角的三角函數(shù)值，再轉(zhuǎn)化為線段的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題.

師：是的. 所以解決與角有關(guān)的問(wèn)題，當(dāng)直接從角的關(guān)系來(lái)解答較為困難時(shí)，可運(yùn)用相似三角形或銳角三角函數(shù)等知識(shí)將角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題.

解讀 “問(wèn)題6”與“問(wèn)題7”均需要先構(gòu)造或找到一個(gè)符合條件的角，然后將角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題. 等學(xué)生解決完這兩個(gè)問(wèn)題之后，教師可要求學(xué)生從整體上比較、歸納、分析解決角的問(wèn)題的一般方法，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓他們的思維得到生長(zhǎng)，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生.

教學(xué)思考

1.運(yùn)用課前助學(xué)單助力學(xué)生探究性學(xué)習(xí)

學(xué)生的學(xué)習(xí)是否真正發(fā)生，判斷的基本標(biāo)準(zhǔn)是在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生是否積極主動(dòng)地投入智力與情感. 實(shí)踐研究表明，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)的相關(guān)知識(shí)的理解水平及對(duì)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的熟悉程度，將直接影響他們課堂投入的時(shí)長(zhǎng)與深度. 課前助學(xué)單是以問(wèn)題的形式呈現(xiàn)，能幫助學(xué)生課前自主復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，激活他們的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，使已有的知識(shí)及認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)順利地遷移并運(yùn)用于課堂的探究性學(xué)習(xí)，從而增強(qiáng)他們課堂學(xué)習(xí)的信心，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣. 另一方面，教師可以結(jié)合學(xué)生完成助學(xué)單的情況，適當(dāng)調(diào)整自己的教學(xué)設(shè)計(jì)，以使課堂教學(xué)更適合學(xué)生的真實(shí)學(xué)習(xí)狀態(tài).

2.運(yùn)用遞進(jìn)式問(wèn)題鏈助力學(xué)生提高問(wèn)題解決能力

數(shù)學(xué)是思維的體操，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，助力學(xué)生思維的生長(zhǎng)，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值追求，也是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的旨?xì)w. 自然界中萬(wàn)物的生長(zhǎng)都需要“根”，思維的生長(zhǎng)也需要“根”，而學(xué)生思維生長(zhǎng)的“根”在于他們已有的知識(shí)基礎(chǔ)與認(rèn)知經(jīng)驗(yàn). 因此，我們需要“創(chuàng)設(shè)基于知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，以及學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的問(wèn)題情境，喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)[1]”. 遞進(jìn)式問(wèn)題鏈，就是以基于學(xué)生已有知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)的源問(wèn)題為起點(diǎn)，在深入研究源問(wèn)題的基礎(chǔ)上，形成思維生長(zhǎng)的“根”，再以遞進(jìn)的問(wèn)題為“肥料”，讓“根”生長(zhǎng)，讓思維逐漸成長(zhǎng)為一棵“思維樹(shù)”. 對(duì)于本課，課前助學(xué)單中的“問(wèn)題1”就是源問(wèn)題，該問(wèn)題不僅是“一線三直角”的基本模型，更為重要的是，它反映了當(dāng)∠BAC=45°，即當(dāng)tan∠BAC==1時(shí)，△ACD與△CBE是全等的關(guān)系，從而得===1，進(jìn)而形成如下思維及經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)已知∠BAC的三角函數(shù)值時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造“一線三直角”模型來(lái)實(shí)現(xiàn)將角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題. 此后，再給出具有內(nèi)在聯(lián)系的問(wèn)題鏈，如“問(wèn)題2”至“問(wèn)題7”，學(xué)生在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中，不斷強(qiáng)化已有的思維及經(jīng)驗(yàn)，并給思維及經(jīng)驗(yàn)已有的“根”不斷“施肥”，助其生根發(fā)芽、不斷生長(zhǎng)，使深度學(xué)習(xí)成為現(xiàn)實(shí).

3.運(yùn)用結(jié)構(gòu)化的教學(xué)板書(shū)讓思維可視

“數(shù)學(xué)的結(jié)果是‘看’出來(lái)的，而不是‘證’出來(lái)的[2]. ”這里的“結(jié)果”當(dāng)然不局限于問(wèn)題的最終答案，更重要的是解決問(wèn)題的思維過(guò)程及方法，思維生長(zhǎng)過(guò)程中的生長(zhǎng)節(jié)，突破解決問(wèn)題瓶頸的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn). 讓解決問(wèn)題的思維過(guò)程可視，就是給“看”構(gòu)建載體，給思維生長(zhǎng)構(gòu)建路徑，讓抽象的思維變得更直觀，從而助力學(xué)生積極主動(dòng)地參與，助力深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生. 對(duì)于本課，每一個(gè)問(wèn)題的解決始終沿著“規(guī)范畫(huà)圖→在圖中標(biāo)記出已知條件→逐步標(biāo)記出經(jīng)過(guò)運(yùn)算后得到的結(jié)論（新的已知條件）→目標(biāo)”的路徑展開(kāi)，讓思維的結(jié)果在圖中逐步呈現(xiàn)出來(lái)，當(dāng)遇到困難時(shí)再“看”圖、“看”條件、“看”結(jié)果、“看”解題目標(biāo)，這樣，解決問(wèn)題的思路就更清晰明了了，學(xué)生也能更好地感悟解決問(wèn)題過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

結(jié)語(yǔ)

運(yùn)用問(wèn)題鏈來(lái)培養(yǎng)學(xué)生“多題一解”的概括思維能力，可以助力學(xué)生思維生長(zhǎng)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)發(fā)生. 當(dāng)然，教學(xué)中教師也可以運(yùn)用另一種教學(xué)策略，那就是組織學(xué)生對(duì)某一個(gè)典型的問(wèn)題從不同的角度深入探索不同的解決方法，培養(yǎng)學(xué)生“一題多解”的發(fā)散思維能力與創(chuàng)新意識(shí). 總之，課堂教學(xué)立足于學(xué)生的思維生長(zhǎng)，為學(xué)生的終身發(fā)展奠基，這才是真正意義上的讓學(xué)生深度學(xué)習(xí)的目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

[1] 張良. 深度教學(xué)“深”在哪里？——從知識(shí)結(jié)構(gòu)走向知識(shí)運(yùn)用[J]. 課程·教材·教法，2019，39（07）：34-39+13.

[2] 史寧中. 數(shù)學(xué)基本思想18講[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

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