吳兆榮，朱麗芹

（濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022）

引言

“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，是一門大課，分三學(xué)期學(xué)習(xí)，由大一到大二完成，是后繼課“復(fù)變函數(shù)”“實(shí)變函數(shù)”“微分方程”“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”“泛函分析”“計(jì)算方法”等的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)專業(yè)考研的專業(yè)基礎(chǔ)課，因此“數(shù)學(xué)分析”的重要性不言而喻。學(xué)生開學(xué)的第一節(jié)課基本都是“數(shù)學(xué)分析”，接觸大學(xué)專業(yè)課的第一位教師往往就是數(shù)學(xué)分析教師，所以學(xué)生對分析教師印象深刻，意味著分析教師對學(xué)生的影響比較大，在學(xué)生的三觀沒有完全定型前，教師教書與育人同等重要，在傳授知識的同時(shí)加入一些思政元素非常有必要，因此我們對“數(shù)學(xué)分析”做了課程思政[1]研究與實(shí)踐。

1 文化自信

文化自信包括對數(shù)學(xué)文化的自信和對中國文化的自信。

1.1 數(shù)學(xué)文化自信

第一次上課之前把三次數(shù)學(xué)危機(jī)[2]的資料發(fā)到數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)交流QQ 群，在講第一章第一節(jié)實(shí)數(shù)[3]中可以適當(dāng)講一下，我們今天看來很自然很輕松的問題，實(shí)數(shù)由有理數(shù)與無理數(shù)構(gòu)成，但當(dāng)年無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)卻掀起巨大風(fēng)波，導(dǎo)致第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。在講第七章實(shí)數(shù)的完備性時(shí)，適當(dāng)講一下第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，微積分誕生初期解決了很多問題同時(shí)又產(chǎn)生了很多矛盾，引起很大爭論，19 世紀(jì)初期發(fā)現(xiàn)分析學(xué)的不嚴(yán)密性到了非解決不可的地步，經(jīng)過很多數(shù)學(xué)家的努力，發(fā)現(xiàn)研究微積分需要用到極限，而研究極限又要用到實(shí)數(shù)，因此實(shí)數(shù)理論是必須解決的基礎(chǔ)理論。最終確定六大定理，這六個(gè)定理相互等價(jià)，它們都充分體現(xiàn)了實(shí)數(shù)的完備性。有了實(shí)數(shù)理論做基礎(chǔ)，給出極限的嚴(yán)格定義，再用極限給出導(dǎo)數(shù)、積分的準(zhǔn)確定義，這樣微積分的嚴(yán)密化基本完成。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，促進(jìn)了微積分的發(fā)展且完善了數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)。通過適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)危機(jī)與數(shù)學(xué)的發(fā)展，能夠培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的興趣與自信。

1.2 中國文化自信

在講極限時(shí)，先講中國古代對極限思想的描述，如我國莊子《天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。劉徽為《九章算術(shù)》作注時(shí)提出“割圓術(shù)”：用正多邊形逼近圓周。他說“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！边@都是極限論思想的成功應(yīng)用，以此培養(yǎng)學(xué)生民族自豪感和堅(jiān)定的中國文化自信。

2 數(shù)學(xué)中的哲學(xué)思想

2.1 對立統(tǒng)一

在數(shù)學(xué)分析中哲學(xué)思想隨處可見，學(xué)生自學(xué)不一定能悟到，需要教師在講課中給學(xué)生點(diǎn)撥一下，這樣可以有意識地去培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)分析中對立又統(tǒng)一的概念成對出現(xiàn)，如收斂與發(fā)散、無窮小量與無窮大量、連續(xù)與間斷、微分與積分、正常積分與反常積分、一致連續(xù)與非一致連續(xù)、一致收斂與非一致收斂等。其中一致連續(xù)與非一致連續(xù)是比較難掌握的，雖然可以利用數(shù)形結(jié)合形象地解釋，但能夠準(zhǔn)確地理解掌握還是需要用對立統(tǒng)一的思想。

2.2 特殊到一般

牛頓與萊布尼茨是微積分的創(chuàng)始人，牛頓是從力學(xué)角度研究給出導(dǎo)數(shù)概念及其物理意義，萊布尼茨從幾何角度給出導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義，同時(shí)他們又各自研究積分，著名的公式是牛頓-萊布尼茨公式，雖然他們出發(fā)的角度不同，但從最后結(jié)果看是殊途同歸，從本質(zhì)上是研究的一樣的數(shù)學(xué)問題。講導(dǎo)數(shù)定義前，先從兩個(gè)例子出發(fā)，讓學(xué)生在實(shí)例中尋找掩藏在現(xiàn)象背后的規(guī)律，再從特殊到一般，抽象出導(dǎo)數(shù)定義，從理論上系統(tǒng)研究后，再從一般到特殊，講導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義。

2.3 量變到質(zhì)變

有限個(gè)實(shí)數(shù)相加其和一定存在且為一個(gè)實(shí)數(shù)，而無限個(gè)數(shù)相加會出現(xiàn)什么樣的結(jié)果呢？通過舉例引導(dǎo)，提出問題：無限個(gè)數(shù)相加是否存在和，如果存在和，怎么求出和？如果不存在和，原因是什么？顯然無限個(gè)數(shù)相加比有限個(gè)數(shù)相加要復(fù)雜得多，需要進(jìn)一步深入研究。從而引出數(shù)項(xiàng)級數(shù)這一章，通過學(xué)習(xí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，無限個(gè)有理數(shù)相加結(jié)果可能是無理數(shù)，無限個(gè)數(shù)相加結(jié)果也可能是無窮大，無限個(gè)數(shù)相加也可能沒有結(jié)果，充分體會到了量變到質(zhì)變的過程，體會到數(shù)學(xué)中的辯證法思想。

3 科學(xué)精神與科學(xué)方法

3.1 深度思考

第一堂課講到數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)方法，引用我國數(shù)學(xué)家華羅庚先生的名言，要打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有二個(gè)必經(jīng)過程：先學(xué)習(xí)、接受“由薄到厚”；再消化、提煉“由厚到薄”。鼓勵(lì)學(xué)生不僅要多思考，更要深度思考。在后續(xù)講課中，常常用問題導(dǎo)入法引起學(xué)生思考，然后逐步地解決問題，在講課過程中或最后總結(jié)時(shí)，又提出新問題作為思考題留給學(xué)生深度思考。如，在學(xué)習(xí)可積函數(shù)類時(shí)，閉區(qū)間上有界函數(shù)，間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)多少就不影響一元函數(shù)的可積性？平面上有界閉集上的有界函數(shù)，間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)又是多少就不影響二元函數(shù)的可積性？空間中有界閉集上的有界函數(shù)，間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)又是多少不影響三元函數(shù)的可積性？通過學(xué)習(xí)研究得出結(jié)論：一元函數(shù)間斷點(diǎn)集合的長度等于零，二元函數(shù)間斷點(diǎn)集合的面積為零，三元函數(shù)間斷點(diǎn)的體積為零，而且這些間斷點(diǎn)也不影響定積分值、二重積分值、三重積分值。留下思考題“這些問題有相似之處，從高度抽象角度能否變成一個(gè)問題？”讓學(xué)生開拓思維，也為后繼課實(shí)變函數(shù)的學(xué)習(xí)留下伏筆。

3.2 克服學(xué)習(xí)困難

用“ ”數(shù)學(xué)語言敘述極限定義，初學(xué)者往往不好理解，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，但又是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，必須熟練掌握。這種語言表達(dá)形式抽象難懂，怎么讓學(xué)生不畏懼？我們先講用幾何直觀描述極限，有不準(zhǔn)確性，再講這個(gè)問題解決的歷史背景，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯在當(dāng)中學(xué)教師時(shí)，將分析做到“算術(shù)化”，他反對“變量無限趨向于”之類的說法，認(rèn)為變量無非是一個(gè)字母，用來表示某區(qū)間內(nèi)的數(shù)。這一想法導(dǎo)致了變量取值這樣的表示方法。這樣，在他手里，終于得到了現(xiàn)今廣泛采用“ ”的定義，完全擺脫了幾何直觀描述所帶來的模糊概念。讓學(xué)生從思想上認(rèn)識它的重要性，同時(shí)用數(shù)形結(jié)合的方法講解，最后讓學(xué)生感覺不是多么難理解。

3.3 向科學(xué)家學(xué)習(xí)

熟練掌握不定積分與定積分的計(jì)算，需要做很多題加強(qiáng)訓(xùn)練，學(xué)生有點(diǎn)不耐煩，這時(shí)講講我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青先生的故事，蘇步青說他學(xué)微積分時(shí)，做了一萬道題，正是有了這樣的決心和毅力才成就了他后來的成功。還有現(xiàn)在的密碼女神王小云，當(dāng)年是怎樣破譯密碼MD5 的？所有的數(shù)學(xué)模型，有一百多個(gè)方程都是她用手一個(gè)一個(gè)算出來的。這些小故事讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)數(shù)學(xué)做練習(xí)就是練基本功，這個(gè)過程很重要。

3.4 類比與推廣

多元函數(shù)許多概念、性質(zhì)、定理都是在一元函數(shù)的系統(tǒng)理論下，繼承和發(fā)展的基礎(chǔ)上提出來的，但多元函數(shù)的性質(zhì)要比一元函數(shù)復(fù)雜得多。在授課過程中，充分利用類比與推廣的方法，如把多元函數(shù)用點(diǎn)函數(shù)形式表示，這樣多元函數(shù)的極限、連續(xù)的定義及平面上完備性定理的敘述形式，由一元函數(shù)類似地推廣過來，同時(shí)探討哪些方面不同，加強(qiáng)學(xué)習(xí)不同點(diǎn)。再如，數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則類比推廣到函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則；數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則類比推廣到函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則；反常積分收斂的柯西準(zhǔn)則類比推廣到含參量反常積分一致收斂的柯西準(zhǔn)則。通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生感受到，類比與推廣是研究數(shù)學(xué)分析非常重要的方法，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的一種很好的手段。

3.5 數(shù)學(xué)技巧

在數(shù)學(xué)分析中很多稍微難一點(diǎn)的問題或綜合性問題，如果僅僅知道證明方法是證不出來的，原因是里面的技巧不知道。如，應(yīng)用單調(diào)有界定理證明問題，大方法一致但里面技巧不同，技巧不會就導(dǎo)致不會做。再如，關(guān)于二個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等定理的證明，這個(gè)定理證明過程中輔助函數(shù)做得比較巧妙。所以在講課時(shí)提醒學(xué)生要重視這些數(shù)學(xué)技巧，有些技巧不是一時(shí)就能想出來的，但可以慢慢學(xué)習(xí)掌握，遇到類似的問題會用，再慢慢積累達(dá)到能靈活應(yīng)用，將來爭取會創(chuàng)造數(shù)學(xué)技巧解決難題。

3.6 有大局觀

系統(tǒng)的學(xué)習(xí)需要有大局觀，不能整天沉浸在局部問題中。如，講函數(shù)極限時(shí)，提醒學(xué)生從大的方面看，研究問題的思路與數(shù)列極限類似，都是研究極限的概念，極限的性質(zhì)，極限存在的條件。在講導(dǎo)數(shù)的定義、積分的定義、級數(shù)的定義時(shí)，提醒學(xué)生，數(shù)學(xué)分析中重要概念都是以極限形式給出來，所以極限理論是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)。再如，含參變量積分是數(shù)學(xué)分析中比較難懂的一章，學(xué)生往往因?yàn)槟承┘?xì)節(jié)難懂而望而卻步，上課時(shí)可以經(jīng)常提醒學(xué)生從細(xì)節(jié)中跳出來，從大的方面看這一章主要在講用含參變量積分表示的這種新函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性），以及極限運(yùn)算、求導(dǎo)運(yùn)算、積分運(yùn)算任意二種運(yùn)算在滿足一定條件下可以交換順序。并指出最難部分含參量反常積分研究的問題與論證方法上與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)極為相似，這樣大的方面明確清楚了再研究細(xì)節(jié)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來就不會感覺那么難。又如，數(shù)學(xué)分析兩本書，學(xué)習(xí)三學(xué)期，共22 章，內(nèi)容多且瑣碎，為此我把數(shù)學(xué)分析分成五大塊，極限與連續(xù)理論、一元函數(shù)微分學(xué)理論、一元函數(shù)積分學(xué)理論、級數(shù)理論、多元函數(shù)微積分學(xué)理論。上課經(jīng)常說一說，學(xué)生感覺數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容輪廓清晰，所以在學(xué)習(xí)過程中，有時(shí)需要跳出來，從大的方面看問題，思路更清晰，因此學(xué)習(xí)要有大局觀。

4 提高學(xué)習(xí)興趣，熱愛數(shù)學(xué)專業(yè)

課堂上提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的方法多種多樣，不同的內(nèi)容用不同的方法。有時(shí)通過講數(shù)學(xué)概念的背景，很容易吸引學(xué)生，如三重積分背景，講一個(gè)最貼近生活的實(shí)例切土豆丁，把土豆先切成土豆片，再切成土豆條，最后切成土豆丁，想想還原鏡頭，把所有土豆丁加在一起，就是整個(gè)土豆。把每塊土豆的質(zhì)量求出來相加就得到整個(gè)土豆的質(zhì)量。把土豆抽象成空間的一個(gè)立體，如何求這個(gè)立體的質(zhì)量呢？從而引出三重積分的積分和、三重積分的定義。通過這個(gè)貼近生活的實(shí)例激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)更熱愛生活，更熱愛所學(xué)專業(yè)。再如，現(xiàn)代科技發(fā)展離不開數(shù)學(xué)，如華為與數(shù)學(xué)，航天與數(shù)學(xué)等等，這方面文章很多，一般是把資料傳到“數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)交流QQ 群”，讓學(xué)生自己看，在課前說兩句，起到拋磚引玉的作用，因?yàn)檎n時(shí)有限不能占用太多上課時(shí)間。

5 結(jié)語

課程承載思政，思政寓于課程。高校教師的主要責(zé)任和擔(dān)當(dāng)就是為黨育人、為國家育才。不僅要全身心投入到教學(xué)工作中，同時(shí)也要潤物無聲地把積極向上的精神、思想傳遞給學(xué)生。幫助學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀。給學(xué)生打開更多的門、更多的窗，讓他們有機(jī)會去看看更大的世界。希望我們的課不僅能讓學(xué)生收獲專業(yè)知識，同時(shí)還能實(shí)現(xiàn)精神上的進(jìn)步。