張 琳，黃學軍

（南京郵電大學通信與信息工程學院，江蘇 南京 210003）

大規(guī)模多輸入多輸出（Multiple?Input Multiple?Output，MIMO）技術(shù)在基站（Base Station，BS）側(cè)部署大量天線，通過空間多路復用，采用簡單的最大比合并和最大比傳輸技術(shù)顯著提高系統(tǒng)的吞吐量、可靠性和頻譜效率［1-2］。為了實現(xiàn)這些優(yōu)勢，需要在BS端精確地獲取到信道狀態(tài)信息（Channel State Information，CSI）［2］。隨著天線規(guī)模的增大，采用傳統(tǒng)的CSI估計方法，例如，最小二乘（Least Square，LS）［3］和 最 小 均 方 誤 差 （Minimum Mean?Squared Error，MMSE）［4］會浪費大量的導頻資源。如何在降低系統(tǒng)導頻開銷和計算復雜度的同時準確有效地獲取CSI是一個大規(guī)模MIMO系統(tǒng)相關(guān)研究中亟待解決的重要挑戰(zhàn)。

為解決導頻開銷問題，通?？紤]信道在角度域的稀疏性，利用壓縮感知（Compressed Sensing，CS）技術(shù)進行有效的CSI估計［5-13］。文獻［8-9］采用貪婪稀疏恢復算法進行CSI估計，這類算法相比傳統(tǒng)的LS算法在低導頻開銷情況下具有更好的CSI估計性能，但沒有考慮信道的聯(lián)合稀疏性。文獻［10-11］考慮信道矩陣在虛擬角度域中的聯(lián)合稀疏性，進一步提高低導頻開銷下的CSI估計精度，但上述方法需要獲取信道稀疏的先驗信息，這在實際通信環(huán)境中不易實現(xiàn)。文獻［12-13］提出一種稀疏自適應(yīng)的CSI估計算法，適合信道角度域稀疏度未知的情況，但該算法對稀疏度變化敏感，且計算復雜度較高。上述基于CS的稀疏CSI估計方法雖然可以有效降低導頻開銷，改善CSI估計精度，但BS和用戶之間的角度域稀疏性在實際環(huán)境中不易控制，并且在求解信道矩陣過程計算復雜度較高，限制了稀疏CSI估計在實際大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中的應(yīng)用。除了稀疏重構(gòu)信道矩陣外，Candès等人提出當矩陣的秩較小時，通過凸優(yōu)化的方法可以有效重構(gòu)原始矩陣［14-15］。這類方法不需要考慮矩陣的稀疏性，直接利用低秩性進行矩陣恢復。文獻［16-17］將低秩矩陣完整化的思想應(yīng)用于大規(guī)模MIMO信道估計中，分別采用半定規(guī)劃（Semidefinite Programming，SDP）和混合奇異值投影（Hybrid Singular Value Projection，SVP?H）算法在低訓練開銷情況下精確估計CSI。雖然上述兩種算法CSI估計精度較高，但在求解信道矩陣的過程中都涉及矩陣求逆運算，計算復雜度較高。

為了提高低訓練開銷、低計算復雜度情況下的CSI估計性能，受物理有限散射信道模型中［16-17］信道矩陣秩較小的啟發(fā)，本文考慮將低秩矩陣近似的方法應(yīng)用到CSI估計中，采用非凸的γ?范數(shù)近似信道矩陣的秩函數(shù)來提高信道矩陣秩近似的精度。利用交替方向乘子（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）算法進行CSI估計，對信道矩陣進行隨機采樣，選擇其中較少的信道參數(shù)，有效降低訓練開銷。變量交替迭代更新的過程中采用梯度下降法避免了求逆運算，有效降低算法復雜度，通過選擇較小的迭代步長，提高CSI估計精度。

1 系統(tǒng)模型

考慮一個由BS和K個單天線用戶（UE）組成的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，BS配備M根均勻線性天線陣列（Uniform Linear Array，ULA），假設(shè)系統(tǒng)在頻分雙工（Frequency Division Duplex，F(xiàn)DD）模式下運行，BS在訓練階段通過下行信道發(fā)送長度為L的訓練序列，K個UE接收到的信號Y∈CK×L表示為

式中，信道向量 hk∈ C1×M，k＝1，2，…，K?？紤]有限散射的物理信道模型［16-17］，在此模型中，角度域劃分為有限的P個方向，該方向數(shù)目是固定的，且P與BS天線和UE數(shù)目無關(guān)［16-17］，BS和第k個用戶之間的信道向量hk表示如下

式中，G∈ CK×P，設(shè)其為加性復高斯矩陣，且G（k，p）＝gk，p。

A＝［（α（θ1）T，α（θ2）T，…，α（θp）T）］T∈CP×M，根據(jù)式（5）可知，rank（H）≤min（rank（G），rank（A）），即rank（H）≤min（M，K，P）。由于基站天線位置較高，周圍散射體較少，因此角度域方向數(shù)目P ＜ min（M，K），故rank（H）≤P，即信道矩陣的秩遠小于信道矩陣的維數(shù)。本文考慮在BS側(cè)聯(lián)合恢復CSI，用戶反饋給BS的信號Z表示為

2 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)低秩信道估計

2.1 低秩信道矩陣表示

由式（5）可知，信道矩陣H的秩較小，因此本文考慮將CSI估計問題轉(zhuǎn)化為低秩信道矩陣完整化問題。為了便于求解信道矩陣的秩函數(shù)，文獻［16］利用核范數(shù)近似信道矩陣的秩函數(shù)，BS側(cè)聯(lián)合信道估計問題轉(zhuǎn)化為信道矩陣核范數(shù)最小化問題，即

2.2 基于ADMM算法的低秩信道恢復

根據(jù)式（9）的約束條件，采用正則化的方法，將式（9）轉(zhuǎn)化成無約束優(yōu)化問題，信道估計矩陣滿足

本文采用ADMM方法簡化其求解步驟，引入新變量S，將式（10）目標函數(shù)中的一個變量分解成兩個變量，進行并行計算。此時式（10）變?yōu)?/p>

根據(jù)式（11），可以得到增廣拉格朗日函數(shù)為

式中，λ＞0，Λ為拉格朗日乘子矩陣，〈Λ，H-S〉＝tr（ΛT（H-S）），μ 為ADMM 算法的罰參數(shù)。ADMM算法中各個參數(shù)的更新公式分別為［20］

根據(jù)式（13）至（16）可知，ADMM算法更新變量包括更新H，S，Λ和μ 4個步驟。更新乘子矩陣Λ時利用罰參數(shù)μ作為步長，s為迭代次數(shù)。

首先求解H，H的迭代公式為

對式（17）中的 H求微分，‖H‖γ的微分定義為［19］

式中，U為H的左奇異值矩陣，V為H的右奇異值矩陣。

結(jié)合式（17）和（18），可得

通過上述分析，可以得到式（19）中H的梯度為

令式（21）中?H＝0，最終得到H的迭代公式為

接下來求解S，S的迭代公式為

等號左右兩邊分別求微分，得到

通過交換矩陣乘法和逐元素乘法，得到

這里注意，Ω⊙Ω＝Ω，因此

最后得到

式（23）中S的梯度為

如果令式（29）中?S＝0，求解S會涉及對X的求逆運算，計算復雜度會增加M3。為了減小計算復雜度，本文考慮采用梯度下降法更新S，梯度下降法公式為

式中，η表示每次的迭代步長（0＜η ＜1），?S則是由式（29）求出的S的梯度。

根據(jù)上述分析，基于ADMM的信道估計見算法1。

算法1 基于ADMM的低秩信道矩陣恢復

2.3 參數(shù)設(shè)置

2.4 算法復雜度分析

算法1的計算復雜度主要取決于基站端天線數(shù)目M、用戶數(shù)目K、信道矩陣的秩r、導頻開銷L以及最大迭代次數(shù)smax，ADMM算法在求解Hs+1的過程中需求解 ?‖Hs‖γ，該過程需對 Hs進行奇異值（Singular Value Decomposition，SVD）分解，計算復雜度為Mr2，求解Ss+1時需要求解S的梯度，該過程僅涉及矩陣乘法運算，求解式（29）的計算復雜度為MKL+MK，更新Λ，μ的過程中是各個矩陣之間的加減運算，計算復雜度忽略不計。所以ADMM算法的計算復雜度為 O（Mr2smax+KMLsmax+MKsmax），ADMM算法將目標函數(shù)中的一個變量分解成兩個變量，并且對兩個變量進行并行計算，程序運行所需時間少。文獻［17］提出的SVP?H算法的計算復雜度為 O（M2L+M3+KMLsmax+Mr2smax）。文獻［18］提出的軟閾值（Singular Value Thresholding，SVT）算法計算復雜度為 O（2KMLsmax+M（2P2+r2） +M3）。通過比較可知SVP?H和SVT在求解信道矩陣過程中都涉及矩陣求逆，而本文提出的ADMM算法不涉及矩陣求逆過程，計算復雜度相對較低。

3 仿真結(jié)果與性能分析

圖1 估計性能隨迭代次數(shù)的變化

圖2比較了信噪比SNR對CSI估計性能的影響，SNR 分別取5，10，15，20 和25 dB，最大迭代次數(shù)smax＝50，其余參數(shù)取值與不同迭代次數(shù)s中的參數(shù)相同。由圖2可知，SNR的大小對CSI估計性能影響較大，在SNR較小的情況下，噪聲占據(jù)主導地位，CSI估計對噪聲較敏感，SNR＝5 dB時，各個算法的CSI估計誤差較大，當SNR增大時，各個算法的CSI估計性能有所提升。當SNR取值相同時，基于低秩矩陣恢復的SVP?H、SVT、ADMM算法的CSI估計性能優(yōu)于LS算法，其中本文提出的ADMM算法在較低SNR情況下的CSI估計性能最佳。

圖2 估計性能隨SNR的變化

圖3比較了CSI估計的NMSE隨著信道開銷L的變化情況，信道開銷L分別取為30、40、50、60和70，最大迭代次數(shù) smax＝50，SNR＝20 dB，其余參數(shù)取值與不同迭代次數(shù)s中的參數(shù)相同。由圖3可知，當L＝30時，LS算法的 NMSE＝0.8，SVT算法的NMSE＝0.05，ADMM 算法的 NMSE＝0.007，比較可知，LS在較少開銷情況下的CSI估計性能較差，而文獻［18］中的SVT算法和本文提出的ADMM算法的CSI估計性能優(yōu)于LS，這是因為SVT和ADMM都是基于低秩矩陣恢復的算法，通過采樣值對信道矩陣進行隨機采樣，利用其中較少的值進行CSI估計，因此可以在較少L的情況下得到較好的CSI估計性能。隨著L的增加，各個算法的CSI估計性能均隨之增加。在相同 L的情況下，本文提出的ADMM算法性能最佳，因此ADMM算法僅需較少的導頻開銷即可得到較好的CSI估計性能。

圖3 估計性能隨信道開銷的變化

圖4比較了信道矩陣在不同采樣率samplerate和不同SNR情況下ADMM算法的CSI估計性能，信道矩陣的采樣率是指矩陣中非0元素的比例。其中M＝100，K＝80，smax＝50。由圖 4可知，隨著 SNR 的增加，各個采樣率的CSI估計性能都隨之增加，噪聲對CSI的估計性能影響較大，當samplerate＝10%，SNR＝5 dB時，CSI估計誤差為0.3，當 SNR＝25 dB時，NMSE＝0.003。SNR相同的情況下，不同采樣率對CSI的估計性能影響較小，當SNR＝5 dB，samplerate＝50%時，NMSE＝0.1，與 samplerate＝10%的估計性能相差0.2，當SNR＝25 dB，samplerate＝20%時，NMSE＝0.002 5，samplerate＝30%時，NMSE＝0.001 9。通過比較可知，SNR對CSI估計誤差影響較大，不同采樣率對CSI估計誤差影響較小。

圖4 所提算法的信道估計性能隨采樣率和信噪比的變化

4 結(jié)束語

為了減少大規(guī)模MIMO系統(tǒng)CSI估計過程中的訓練開銷，提高CSI估計性能，本文利用信道矩陣的低秩特性，提出低秩矩陣近似的CSI估計方法，采用非凸的γ?范數(shù)精確近似信道矩陣的秩函數(shù)，改善了信道矩陣奇異值較大時，核范數(shù)近似信道矩陣秩函數(shù)的缺陷。采用ADMM算法進行CSI估計，大大降低了計算復雜度，與 LS、SVP?H、SVT算法相比，所提算法在低訓練開銷、低信噪比情況下具有較好的CSI估計性能。