韓雙鋒，夏 亮，王啟星，王江舟

（1.中國(guó)移動(dòng)研究院，北京 100053 2.肯特大學(xué)工學(xué)院，英國(guó) 坎特伯雷 CT2 7NT）

按照無(wú)線通信系統(tǒng)十年一代的發(fā)展規(guī)律，2030年將部署6G網(wǎng)絡(luò)，以滿足不斷飛速增長(zhǎng)的無(wú)線通信業(yè)務(wù)需求。預(yù)計(jì)6G階段的業(yè)務(wù)需求比5G階段會(huì)有大幅度的提升，例如200 Gbit/s的下行峰值速率，用戶面時(shí)延小于0.1 ms，支持1 000 km/h的移動(dòng)速度，至少50%以上的頻譜效率提升，以及100倍的能量效率提升等［1］。為了滿足如此高的業(yè)務(wù)需求，業(yè)界在6G關(guān)鍵技術(shù)方面開(kāi)展了廣泛研究，力求在物理層和網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)等方面取得實(shí)質(zhì)突破［2-5］。尤其是高能效的綠色通信技術(shù)［5］，對(duì)6G和未來(lái)通信系統(tǒng)的可持續(xù)發(fā)展至關(guān)重要。

在傳統(tǒng)通信系統(tǒng)中，為了避免符號(hào)間干擾，通常采用奈奎斯特準(zhǔn)則，確保在不同時(shí)刻的發(fā)送脈沖在采樣點(diǎn)處滿足正交性。超奈奎斯特技術(shù)（Faster than Nyquist，F(xiàn)TN）［6-9］早在 20 世紀(jì) 70 年代就被提出，后來(lái)又?jǐn)U展到頻域，例如 SEFDM（Spectrally Efficient Frequency Division Multiplex）技術(shù)［10-11］。這些超奈奎斯特技術(shù)的特點(diǎn)，是將待發(fā)送的基帶數(shù)據(jù)符號(hào)以大于奈奎斯特采樣的速率，在時(shí)域或者頻域與脈沖成型函數(shù)進(jìn)行卷積后得到待發(fā)送信號(hào)。每個(gè)符號(hào)經(jīng)過(guò)成型濾波器后被調(diào)制到一個(gè)波形，F(xiàn)TN處理后，N個(gè)連續(xù)符號(hào)被調(diào)制到N個(gè)時(shí)域或者頻域波形，波形之間的時(shí)域或者頻域間隔是傳統(tǒng)奈奎斯特系統(tǒng)的1/K。Anderson等［6］推導(dǎo)了FTN技術(shù)的容量界，發(fā)現(xiàn)其高于基于奈奎斯特準(zhǔn)則的信號(hào)方式，并將這一結(jié)果歸因于使用了非Sinc成形濾波器（如根升余弦濾波器）使用的多余帶寬。不同于傳統(tǒng)的正交傳輸，超奈奎斯特采樣技術(shù)利用發(fā)送端的非正交信號(hào)設(shè)計(jì)結(jié)合接收端過(guò)采樣處理，有望提升通信系統(tǒng)容量和頻譜效率，是6G潛在關(guān)鍵技術(shù)方向之一。

超奈奎斯特技術(shù)通過(guò)發(fā)送端傳輸更高速率的非正交信號(hào)，在傳輸時(shí)不可避免地引入符號(hào)間干擾，因此處理系統(tǒng)中的符號(hào)間干擾是一個(gè)重要研究課題。近年來(lái)業(yè)界提出了諸多的解決方案，一個(gè)經(jīng)典的思路是通過(guò)發(fā)送端預(yù)編碼以及接收端的聯(lián)合處理。文獻(xiàn)［9］推導(dǎo)了預(yù)編碼FTN技術(shù)的容量，還給出了最優(yōu)的功率分配策略，結(jié)論表明其方案的頻譜效率超越了香農(nóng)極限，然而此結(jié)果存在很大爭(zhēng)議。文獻(xiàn)［12］提出了基于預(yù)編碼FTN的非正交多址技術(shù)，并和多天線技術(shù)進(jìn)行了結(jié)合。

由于FTN技術(shù)自身的波形非正交特點(diǎn)，其在多徑環(huán)境下的性能備受業(yè)界關(guān)注。文獻(xiàn)［13］推導(dǎo)了預(yù)編碼FTN技術(shù)在多載波系統(tǒng)中的容量，還給出了最優(yōu)的功率分配策略。文獻(xiàn)［14］研究了FTN技術(shù)在多徑信道下的可達(dá)速率，并提出了一種干擾消除方案，以提升在多徑信道的容量。

由于在時(shí)域多徑信道下，F(xiàn)TN技術(shù)中既存在波形之間的干擾，還存在多徑帶來(lái)的嚴(yán)重的多徑干擾，這給相關(guān)的科研工作帶來(lái)很大挑戰(zhàn)，業(yè)界對(duì)于FTN技術(shù)在多徑信道下的容量研究還很不充分。本文研究了FTN技術(shù)在時(shí)域多徑信道下的性能，推導(dǎo)了多徑信道下的符號(hào)間干擾矩陣，并推導(dǎo)了系統(tǒng)的容量和頻譜效率；進(jìn)而通過(guò)數(shù)值仿真，驗(yàn)證了在不同信道環(huán)境下系統(tǒng)容量的變化規(guī)律；此外，還探討了未來(lái)的一些研究方向。

1 系統(tǒng)建模

假設(shè)作用于時(shí)域符號(hào)的成型濾波器函數(shù)為f（t），考慮等間隔符號(hào)的情況（其他不等間隔的情況可以同理推導(dǎo)，不再贅述），相鄰時(shí)域符號(hào)間隔為T(mén)，當(dāng)過(guò)采樣因子為K時(shí)，符號(hào)間隔T是奈奎斯特采樣間隔的 1/K?？紤]連續(xù) N個(gè)數(shù)據(jù)符號(hào)，s＝［s0，…，sN-1］T，F(xiàn)TN 發(fā)送信號(hào)可以表示為

經(jīng)過(guò)匹配濾波器f?（-t）后，等效的總體濾波函數(shù)g（t）是f（t）與 f?（-t）的卷積：

假設(shè)接收端噪聲n（t）是均值為0、方差為σ2的加性高斯白色噪聲（AWGN）。經(jīng)過(guò)匹配濾波器后，噪聲變?yōu)?/p>

當(dāng)考慮L徑多徑信道，相鄰徑之間的時(shí)延也為T(mén)，第l徑的信道系數(shù)為hl，N個(gè)符號(hào)的接收信號(hào)可以表示為

考慮每隔T時(shí)間的采樣，信號(hào)的輸入輸出關(guān)系表示成如下矩陣形式

其中，r為接收端采樣序列，Gc為考慮多徑效果后的符號(hào)間干擾矩陣，nr為采樣點(diǎn)噪聲向量。

基于式（2）得到的AWGN信道下數(shù)據(jù)符號(hào)間的干擾矩陣G是一個(gè)拓普利茲矩陣，第一行為［g（0），g（-T），…，g（-（N-1）T）］。在多徑信道下，接收端看到的符號(hào)間干擾矩陣Gc是由矩陣G的元素和多徑信道的響應(yīng)共同決定的。當(dāng)L＝1，h1＝1時(shí)，Gc和G等效。

由于噪聲不受多徑影響，因此噪聲向量的協(xié)方差矩陣為

2 FTN容量分析

為了獲得信道的容量（單位為bit/s）表達(dá)式，首先分析接收數(shù)據(jù)符號(hào)向量r和發(fā)送符號(hào)序列s之間的互信息，然后用這個(gè)互信息除以發(fā)送N個(gè)波形所需要的時(shí)間。首先，r和s之間的互信息表示如下

其中，h（r） 是向量 r的熵，h（nr） 是向量nr的熵。根據(jù)通信經(jīng)典理論，h（r）和h（nr）可以分別寫(xiě)成如下的形式：

向量r的協(xié)方差矩陣可以表示為

其中，Rx＝E［s sH］，是向量s的協(xié)方差矩陣。根據(jù)式（11）至（13），可以得到互信息 I（r；s） 的表達(dá)式：

可以看出，互信息I（r；s）取決于發(fā)送和接收濾波器共同決定的矩陣G，向量s的協(xié)方差矩陣Rx，以及濾波器和信道信息共同決定的矩陣Gc。不同的多徑功率分布和時(shí)延分布會(huì)產(chǎn)生不同的矩陣Gc，從而影響互信息。對(duì)發(fā)送符號(hào)的不同的功率分配會(huì)影響Rx，進(jìn)而也會(huì)影響互信息。

考慮不同符號(hào)等功率分配的情況，假定奈奎斯特系統(tǒng)的發(fā)送功率為P，為了保證FTN系統(tǒng)的功率相同，每個(gè)發(fā)送符號(hào)滿足均值為0、方差為P/K的高斯分布，顯然 Rx＝E［s sH］＝（P/K）I?；バ畔（r；s） 可以表示為

如果信道為平衰落，G＝Gc。互信息為

式（16）和經(jīng)典信息論的結(jié)論是一致的，也就是說(shuō)，F(xiàn)TN的容量取決于發(fā)送和接收濾波器的特性。然而，由于實(shí)際系統(tǒng)中多徑衰落是普遍存在的，式（16）中的經(jīng)典香農(nóng)公式不能準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的性能，必須要基于式（14）結(jié)合具體的多徑分布和功率分配情況（對(duì)應(yīng)不同的Rx）來(lái)分析FTN系統(tǒng)的性能優(yōu)劣。

得到互信息 I（r；s） 的表達(dá)式（15）后，等功率分配FTN系統(tǒng)的速率表示為

當(dāng)N趨于無(wú)窮大時(shí)，即得到系統(tǒng)的容量C：

對(duì)于嚴(yán)格帶限［-W，W］的系統(tǒng)，每秒發(fā)送的FTN符號(hào)數(shù)為2WK個(gè)，系統(tǒng)的容量可以表示為

其中，N0為噪聲的功率譜密度。系統(tǒng)的頻譜效率SE（Spectrum Efficiency）表示為

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 不同符號(hào)間隔對(duì)頻譜效率的影響

首先驗(yàn)證AWGN信道下FTN系統(tǒng)不同的符號(hào)間隔對(duì)系統(tǒng)頻譜效率的影響?？紤]理想時(shí)域Sinc函數(shù)作為脈沖成型函數(shù)，在仿真中截取1 000個(gè)正常符號(hào)間隔（考慮的時(shí)間范圍為-500 KT～500 KT），信噪比SNR＝P/σ2。如圖1所示，當(dāng)FTN符號(hào)間隔變化時(shí)，例如K從2變化到5時(shí)，系統(tǒng)的頻譜效率和AWGN信道下的香農(nóng)頻譜效率相同。也就是說(shuō)，F(xiàn)TN技術(shù)通過(guò)發(fā)送端更密的波形進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，并沒(méi)有超越傳統(tǒng)香農(nóng)的信道容量界。

圖1 AWGN信道下FTN系統(tǒng)的頻譜效率

3.2 不同多徑環(huán)境對(duì)頻譜效率的影響

考慮理想的時(shí)域Sinc函數(shù)作為脈沖成型函數(shù)，在仿真中截取1 000個(gè)正常符號(hào)間隔（-500 KT～500 KT）?？紤]4種多徑信道，信道1是單徑信道，信道2是3徑信道，信道3是20徑信道，信道4是30徑信道。多徑信道中的每條徑服從瑞利分布且功率相同，每種信道中多徑總功率保持一致。過(guò)采樣因子K為5，相鄰多徑時(shí)延為T(mén)。

圖2 多徑信道下FTN系統(tǒng)的頻譜效率

圖3 FTN系統(tǒng)的頻譜效率隨多徑數(shù)的變化趨勢(shì)

4 結(jié)束語(yǔ)

FTN技術(shù)是未來(lái)6G通信系統(tǒng)的潛在關(guān)鍵技術(shù)。本文研究了FTN技術(shù)在時(shí)域多徑信道下的性能，推導(dǎo)了多徑信道下的符號(hào)間干擾矩陣以及系統(tǒng)的容量和頻譜效率，并通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了不同信道環(huán)境下系統(tǒng)頻譜效率的變化規(guī)律。隨著符號(hào)間隔的變化，F(xiàn)TN的頻譜效率并不發(fā)生變化。在多徑信道中，隨著多徑數(shù)目的增加，F(xiàn)TN頻譜效率也相應(yīng)地增加，在達(dá)到最大值后反而隨著多徑數(shù)目的增加而下降。

為了公式推導(dǎo)和仿真分析的簡(jiǎn)潔，本文的仿真分析假定不同符號(hào)進(jìn)行等功率分配。當(dāng)采用不同的功率分配時(shí)，Rx的取值會(huì)發(fā)生變化，從而影響系統(tǒng)的互信息。給定符號(hào)個(gè)數(shù)、多徑分布、發(fā)送和接收濾波器的參數(shù)后，最優(yōu)的功率分配策略也就被確定下來(lái)。但是求解使得容量最大的功率分配策略非常困難，因?yàn)榉?hào)個(gè)數(shù)要趨于無(wú)窮大。此外，求解使得頻譜效率最大的功率分配策略也非常具有挑戰(zhàn)性，因?yàn)槭紫仁欠?hào)個(gè)數(shù)要趨于無(wú)窮，其次是不同的功率分配策略既影響容量的大小，也會(huì)影響發(fā)送信號(hào)的功率譜分布，從而導(dǎo)致頻譜效率優(yōu)化變得困難。因此，多徑信道下FTN系統(tǒng)在時(shí)域或者頻域的最優(yōu)功率分配策略是重要的研究課題。此外，獲知信道信息以及匹配濾波器參數(shù)的FTN系統(tǒng)可以在發(fā)送端進(jìn)行預(yù)編碼操作，以消除多徑間以及符號(hào)間的干擾，從而提升系統(tǒng)的性能。但是預(yù)編碼方案同樣會(huì)影響容量和發(fā)送信號(hào)的功率譜分布，有效提升FTN系統(tǒng)頻譜效率的預(yù)編碼方案設(shè)計(jì)也是一個(gè)非常重要的研究方向。