張 征,虞筱琛,孫 敏,吳化平,姜少飛

(浙江工業(yè)大學 機械工程學院，浙江 杭州 310014)

0 引言

碳纖維復合材料層合結(jié)構有兩種不需要外力維持的穩(wěn)定構型，同時擁有力學性能優(yōu)異、輕質(zhì)、高強等一系列特性，在智能可變形、能量收集、仿生及其他領域具有廣泛的應用前景[1]。

目前根據(jù)初始構型，國內(nèi)外研究中的雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合結(jié)構主要分為平板型和圓柱殼型。平板型復合材料層合結(jié)構主要由特殊正交鋪設的層合板在平板型模具上經(jīng)高溫、高壓固化后，自然冷卻至室溫得到[2]；圓柱殼型復合材料層合結(jié)構主要由反對稱鋪設的層合板在圓柱形鋼制模具中保壓固化并冷卻至室溫后得到[3]。兩種類型的雙穩(wěn)態(tài)復合材料層合結(jié)構呈現(xiàn)的雙穩(wěn)態(tài)特性均為比較規(guī)則的圓柱形，區(qū)別在于平板型非對稱正交鋪設層合板所示的兩種穩(wěn)態(tài)具有不同的曲率方向，而圓柱型反對稱鋪設圓柱殼所示的兩種穩(wěn)態(tài)具有相同的曲率方向。其中對平板型復合材料層合結(jié)構的研究比較集中，基于瑞利里茲法，DANO等[2]提出一個經(jīng)典的14參數(shù)理論模型；PIRRERA等[4]建立了最高達11階的高階理論模型，通過無量綱化處理并采用路徑跟隨算法求解非對稱鋪設層合板的穩(wěn)態(tài)構型。對于圓柱型復合材料層合結(jié)構，GUEST等[5]提出一種雙參數(shù)模型，也稱不可伸展變形均勻曲率模型(Inextensible Uniform Curvature Model，IUCM)，用于復合材料圓柱殼的不同穩(wěn)態(tài)構型；文獻[6-8]在考慮溫度、濕度等因素對圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的影響下，研究幾何參數(shù)的影響，同時提出兩點加載法探究兩種穩(wěn)態(tài)構型之間的突變載荷；吳耀鵬等[9]和楊留義[10]也對雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼結(jié)構進行了相應研究。上述復合材料圓柱殼的理論模型均基于經(jīng)典層合板理論和不可伸展變形假設，即假設層合圓柱殼各處變形一致且其第二穩(wěn)態(tài)構型仍為圓柱形。SEFFEN[11]基于可伸展變形假設，綜合考慮拉伸應變能和高斯曲率，提出可伸展變形均勻曲率理論模型(Extensible Uniform Curvature Model，EUCM)，系統(tǒng)地探究初始曲率與材料屬性對結(jié)構雙穩(wěn)態(tài)特性的影響；VIDOLI等[12]對SEFFEN的模型進行了改進，發(fā)現(xiàn)了第3種穩(wěn)態(tài)構型，并進行了定性討論。

除了理論模型，利用有限元模擬分析也能夠有效預測復合材料圓柱殼的雙穩(wěn)態(tài)特性，然而當圓柱殼的材料參數(shù)或幾何參數(shù)發(fā)生改變時，往往需要改變其有限元模型，重復的手工操作需花費大量時間，降低了仿真效率。同時，手工操作產(chǎn)生的模型可能存在差異，導致仿真結(jié)果出現(xiàn)誤差。目前，雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼主要通過手動建模的方法分析參數(shù)，尚無有關其參數(shù)化建模及后處理的文獻報道。從軟件開發(fā)的角度，有限元仿真工具的二次開發(fā)需考慮可擴展性和實用性[13]。

因此，面向復合材料圓柱殼提出基于可伸展變形均勻曲率模型的簡化理論模型，并基于Abaqus二次開發(fā)功能建立了復合材料圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性分析插件，實現(xiàn)了其快速、參數(shù)化建模與自動后處理；其次，利用理論和有限元模型對影響復合材料圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的因素進行分析；最后通過實驗驗證了所提設計模型的有效性和準確性。

1 理論模型

通過建立復合材料圓柱殼的理論模型求解穩(wěn)態(tài)曲率來判斷其是否具備雙穩(wěn)態(tài)特性，通常將圓柱殼的第二穩(wěn)態(tài)主曲率作為評價圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的指標。為便于分析，在研究圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性時作如下假設：①圓柱殼為薄殼結(jié)構，滿足直法線假定；②圓柱殼處于平面應力狀態(tài)，中面無應變，且任意時刻中面內(nèi)各點的曲率均相同；③復合材料為理想線彈性材料；④圓柱殼曲率均勻變化。

基于可伸展變形假設，可將總勢能U表示為僅與曲率相關的無量綱表達式，其為彎曲應變能(第1項)和拉伸應變能(第2項)之和[12]，即

(1)

(2)

K=R0k,H=H0+Hi=R0(h0+hi)。

(3)

式中：k為計算的曲率矩陣；h為初始曲率矩陣，分為初始自然曲率h0和初始非彈性曲率hi，初始無量綱高斯曲率僅與初始自然曲率有關，初始非彈性曲率由溫度、濕度等引起的非彈性變形產(chǎn)生；下標x，y，xy分別表示兩個方向的曲率和扭曲率，殼結(jié)構的初始曲率和幾何參數(shù)的定義如圖1所示。R0為無量綱系數(shù)，

(4)

式中：S為殼體的俯視面面積；t1為殼體的等效厚度；ψ為拉彎系數(shù)，用于衡量拉伸應變能與彎曲應變能之間的比例，僅與拉伸剛度矩陣和俯視面形狀有關，

(5)

(6)

(7)

式中：div，curl分別為散度和旋度運算；n為邊界處的法線，為二階對稱張量形式。偏微分方程(7)實際上是一個標準平面彈性問題，divTk和-Tkn分別表示平面受到的體力和剪切面力。采用自動求解偏微分方程的軟件FEniCS[14]計算偏微分方程(7)，可得Th，而Tk為滿足偏微分方程的近似函數(shù)。

當不考慮初始非彈性曲率時，即圓柱殼的初始曲率為Hy=H0，代入式(1)后，根據(jù)最小勢能原理可得方程組?U/?K=0，穩(wěn)態(tài)曲率的平衡解通過求解下式獲得：

(8)

所得平衡解還需要通過穩(wěn)定性判斷，即滿足海塞矩陣?2U/?2K的正定性，代入圓柱殼后簡化為：

2γd-KxKy>0。

(9)

當考慮初始非彈性曲率時，即圓柱殼的初始曲率為Hy=H0+Hi，首先通過經(jīng)典層合板理論得到初始非彈性曲率[7]

(10)

式中：εi，ki，Ni，Mi表示由溫度或濕度產(chǎn)生的應變、曲率、內(nèi)力和內(nèi)力矩。特別地，對于反對稱鋪設的殼結(jié)構，溫度或濕度主要導致扭曲率發(fā)生變化，x，y方向的曲率的變化可以忽略不計。將得到的初始非彈性曲率代入式(3)進行無量綱化，隨后將初始曲率代入式(1)，因為其無法得到簡便的數(shù)學表達式，所以根據(jù)上述過程直接采用數(shù)學計算軟件(如MATLAB)得到穩(wěn)態(tài)曲率。

2 仿真模型

本文所研究的復合材料圓柱殼二次開發(fā)分為兩部分：①參數(shù)化建模，包括建立幾何模型、賦予材料屬性、裝配模型、設置邊界條件和接觸條件、劃分網(wǎng)格，其中參數(shù)化建模包括穩(wěn)態(tài)突變的兩個過程，snap-through表示初始構型至第二穩(wěn)態(tài)構型，snap-back表示其逆過程；②自動后處理，包括穩(wěn)態(tài)構型、穩(wěn)態(tài)曲率和載荷位移曲線的輸出。整體流程如圖2所示。

2.1 參數(shù)化建模

本文基于兩點加載法[7]建立復合材料圓柱殼的仿真模型(如圖3)，模型由圓柱殼、支撐平板和壓頭3部分組成，且與實際的實驗環(huán)境相同。

圖3中壓頭根據(jù)實際尺寸簡化為半徑為5 mm的半圓柱剛體，長L=100 mm，支撐平板簡化為長、寬均為100 mm的剛性板，兩平板之間的距離參照實際間距，壓頭與圓柱殼的初始間距為10 mm。圓柱殼有矩形和橢圓形兩種，其中橢圓圓柱殼的俯視面為橢圓形，通過裁剪矩形圓柱殼得到，其幾何參數(shù)由圓心角γ、縱向長度L和初始曲率h0定義，與理論模型的幾何參數(shù)關系有b=2sin(γ/2)/h0，a=L/2。圓柱殼的材料屬性和鋪層設置采用一般復合材料設置方法，E1和E2為單層板在材料主方向上的彈性模量，G12為單層板在材料1-2平面的剪切彈性模量，v12和v21為泊松比，因為假設復合材料為橫向各向同性，所以有G12=G13=G23。模型采用S4R單元對圓柱殼進行劃分，通過設定線段數(shù)目(number)或網(wǎng)格尺寸(size)調(diào)整網(wǎng)格數(shù)目。整體的邊界條件設置包括溫度場變化、平板間距和壓頭位移。模型建立了3個靜態(tài)分析步，求解方法為完全牛頓法，分析步設置如下：

(1)溫度變化過程 分析溫度對復合材料圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的影響，可以通過等效熱膨脹系數(shù)分析濕度對復合材料圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的影響[7]。該步需要開啟非線性大變形選項，同時開啟自動穩(wěn)定功能，按照默認的參數(shù)采用偽動態(tài)的非線性計算使結(jié)果更容易收斂。

(2)加載過程 對壓頭施加適當?shù)奈灰戚d荷，支持平板完全約束，圓柱殼的中心點僅放松對z方向位移的限制。

(3)卸載過程 將壓頭移回原位而其余均不變，可得突變至第二穩(wěn)態(tài)的復合材料圓柱殼。

根據(jù)以上步驟中的參數(shù)，設定用于Abaqus二次開發(fā)的關鍵詞，如表1所示。

由此開發(fā)了相關的插件界面，如圖4所示。通過輸入相關參數(shù)，能夠建立矩形或橢圓圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性分析的snap-through有限元模型。經(jīng)過設置重啟動，可將突變至第二穩(wěn)態(tài)的圓柱殼重新導入新的模型中，重復設置上述裝配、邊界條件和接觸條件，得到snap-back有限元模型。

表1 關鍵詞設定

2.2 自動后處理

當snap-through和snap-back有限元模型均計算完成后，通過Python腳本能夠直接讀取odb.文件中的數(shù)據(jù)。針對復合材料圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性，需要得到其兩個穩(wěn)態(tài)構型、穩(wěn)態(tài)曲率及兩種穩(wěn)態(tài)互相轉(zhuǎn)化過程中的載荷信息，即載荷位移曲線，從而得到其突變載荷。其核心代碼和程序如下：

for i in range(number_nodes): #根據(jù)節(jié)點數(shù)量循環(huán)得到坐標

808 Influencing factors of treatment compliance to automatic continuous positive airway pressure for obstructive sleep apneahypopnea syndrome

xyz0=nn[i].coordinates

initial_labels.append(nn[i].label) #得到節(jié)點編號

initial_xyz.append(list(xyz0))

#獲得Step-3中的最后frame信息

frames=o.steps[o.steps.keys()[-1]].frames[-1]u=frames.fieldOutputs['U'] #獲得位移信息

fsk=frames.fieldOutputs['SK'] #獲得曲率信息

for i in range(number_element):

fsk1=fsk.values[i].data[0]

sumsk1=sumsk1+fsk1

finalsk1=sumsk1/number_element

…

for i in range(len(o.steps[stepname].frames)):

u2=o.steps[‘Step-2’].frames[i].fieldOutputs['U'].values[indentnumber].data[1] #獲得壓頭位移信息

rf2=o.steps[‘Step-2’].frames[i].fieldOutputs['RF'].values[indentnumber].data[1] #獲得壓頭支反力信息

…

3 參數(shù)分析

利用插件能夠方便地進行參數(shù)分析，同時通過制備相應的試件驗證上述理論模型中簡化后的EUCM以及有限元仿真插件的準確性，本文進行了矩形及橢圓形雙穩(wěn)態(tài)復合材料圓柱殼的相關實驗。實驗所用復合材料的材料屬性如表2所示，其中t為單層材料的厚度。實驗樣本如圖5所示，具體參數(shù)如表3和表4所示。

表3中，字符串“C-h0-α-p-t-a-b-L-γ”描述不同規(guī)格試件，其中：C表示圓柱型層合結(jié)構；h0表示初始自然曲率，默認圓柱殼的初始曲率為hx=hxy=0,hy=h0，單位為m-1；α為鋪設角度，單位為(°)；p為鋪層數(shù)，若p為奇數(shù)(如p=5)，則鋪層方式為[α/-α/0/α/-α]，若p為偶數(shù)(如p=4)，則鋪層方式為[α/-α/α/-α]；t表示單層復合材料的厚度，單位為10-2mm；a，b表示尺寸參數(shù)，單位分別為mm，10-2mm；L為縱向長度，單位為mm；γ為圓心角，單位為(°)；樣本編號中RP表示矩形試樣，EP表示橢圓形試樣。

表2 T700/3234單向?qū)雍习宓牟牧蠈傩?/p>

復合材料圓柱殼的雙穩(wěn)態(tài)特性與其幾何參數(shù)、鋪層方式和溫度相關，下面通過對比IUCM與EU-CM的理論預測結(jié)果和模擬結(jié)果探究各參數(shù)對第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2的影響，以及溫度對第二穩(wěn)態(tài)扭曲率kxy2和最大突變載荷的影響。

表3 雙穩(wěn)態(tài)復合材料矩形圓柱殼實驗樣本

表4 雙穩(wěn)態(tài)復合材料橢圓形圓柱殼實驗樣本

3.1 幾何參數(shù)分析

復合材料圓柱殼的幾何參數(shù)包括圓心角γ、縱向長度L和初始曲率h0。在保持鋪層參數(shù)不變的同時，即p=5，α=45°，通過單變量控制研究幾何參數(shù)對圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的影響。

圓心角對圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的影響如圖6所示，保持不變的幾何參數(shù)為L=100 mm，h0=0.04 mm-1；縱向長度對圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的影響如圖7所示，保持不變的幾何參數(shù)為γ=180°，h0=0.033 mm-1；初始曲率對圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的影響如圖8所示，保持不變的幾何參數(shù)為γ=180°，L=100 mm。圖中分別展示了IUCM、EUCM、有限元仿真分析(Finite Element Analysis，F(xiàn)EA)以及Experiment(試驗)的相應結(jié)果。

由圖6～圖8可知，IUCM預測第二穩(wěn)態(tài)主曲率不隨圓心角和縱向長度變化而變化，隨初始曲率增加而線性增長。相反，簡化EUCM能預測第二穩(wěn)態(tài)主曲率隨各參數(shù)變化的趨勢，且與模擬結(jié)果吻合，即第二穩(wěn)態(tài)主曲率均隨圓心角、縱向長度和初始曲率的增加而增加，且其雙穩(wěn)態(tài)消失的趨勢一致。但EUCM對雙穩(wěn)態(tài)臨界值的預測結(jié)果與模擬結(jié)果有一定誤差，圖6～圖8中EUCM預測的雙穩(wěn)態(tài)臨界值為γ=50°，L=26 mm，h0=0.20 mm-1，而模擬所得的臨界值為γ=60°，L=29 mm，h0=0.25 mm-1，誤差來源于理論模型中的簡化假設。除此之外，第二穩(wěn)態(tài)主曲率的實驗結(jié)果與模擬結(jié)果和EUCM理論預測結(jié)果吻合，誤差在10%以內(nèi)。

3.2 鋪設參數(shù)分析

復合材料圓柱殼的鋪設參數(shù)包括鋪設角度α和鋪層數(shù)p。在保持幾何參數(shù)不變的同時，即γ=180°，L=100 mm，h0=0.04 mm-1，通過單變量控制研究鋪設參數(shù)對圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的影響。鋪設角度對圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的影響如圖9所示，保持不變的鋪設參數(shù)為p=4；鋪層數(shù)對圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性的影響如圖10所示，保持不變的鋪設參數(shù)為α=45°。

由圖9和圖10可知，IUCM和簡化EUCM預測的第二穩(wěn)態(tài)主曲率隨鋪設參數(shù)的變化趨勢一致，其隨鋪設角度的增加而增加，而隨著鋪層數(shù)的增加，主曲率可能會減小或增加，展示出奇偶性變化。主要原因是不同鋪層下的材料剛度矩陣不同，具體體現(xiàn)在其拉伸和彎曲剛度矩陣上。當鋪層數(shù)為偶數(shù)時，所得無量綱化的拉伸和彎曲剛度矩陣不變；當鋪層數(shù)為奇數(shù)時，所得無量綱化的拉伸和彎曲剛度矩陣比偶數(shù)時小，且隨層數(shù)增加呈增大的趨勢。因此，無論理論、模擬還是實驗，所得結(jié)果隨鋪層數(shù)的改變均呈現(xiàn)一個交替變化的過程，實驗結(jié)果、模擬結(jié)果和理論結(jié)果的誤差在10%以內(nèi)。

當圓柱殼的形狀為橢圓時，理論、模擬、實驗結(jié)果如表5所示，其中上標a，f，e分別表示理論、模擬、實驗結(jié)果。對比表5中EP1～EP6的理論、模擬、實驗結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，第二穩(wěn)態(tài)主曲率隨著圓心角、縱向長度、初始曲率和鋪設角度的增大而增大，規(guī)律與矩形圓柱殼相同。

表5 雙穩(wěn)態(tài)復合材料橢圓形圓柱殼第二穩(wěn)態(tài)主曲率結(jié)果

3.3 溫度分析

考慮復合材料圓柱殼受溫度的影響，同時材料屬性與溫度相關，根據(jù)測試數(shù)據(jù)[7]擬合可得材料屬性與溫度的關系：

E1=(-1.054×10-7e0.213 3T+110e-0.000 934 4T)×

106MPa；

E2=(31.54e-0.109T+3.73e-0.003 17T)×106MPa;

G12=-2.729×10-5T3+0.004 038T2-0.222 8T+8.23 MPa;

v12=0.31;

α1=(1.25×10-4T2+0.002 5T-2.2)×10-6;

α2=(1.077×10-4T3-0.015 51T2+0.457 7+60.52)×10-6。

(11)

試件的幾何參數(shù)為圓心角180°，縱向長度100 mm，初始曲率0.04 mm-1；鋪層方式為[45°/-45°/45°/-45°]，單層厚度為0.12 mm。利用附帶溫控箱的拉伸試驗機平臺模擬環(huán)境溫度，通過加載使圓柱殼發(fā)生穩(wěn)態(tài)突變，從而得到其最大突變載荷，如圖11所示。通過數(shù)字圖像處理技術獲得試件的曲率信息，具體參見文獻[7]。

模擬中需輸入的參數(shù)已在圖4給出，最終得到的實驗、模擬、理論結(jié)果如表6所示。結(jié)果表明，三者變化趨勢一致，均隨溫度的增加而不斷增加。主曲率的理論和模擬結(jié)果的相對誤差在10%以內(nèi)，然而測量所得實驗結(jié)果偏大，可能的原因有：①實際測量誤差；②實際材料屬性與模擬和理論中輸入的材料屬性有一定誤差。然而三者對扭曲率的預測結(jié)果比較吻合。

試件的最大穩(wěn)態(tài)突變載荷模擬與實驗結(jié)果對比如表7所示，其中下標t，b分別表示snap-through和snap-back模型?？芍瑂nap-through的穩(wěn)態(tài)突變載荷隨溫度上升而減小，snap-back則相反，實驗

表6 圓柱殼第二穩(wěn)態(tài)主曲率kx2與扭曲率kxy2隨溫度變化的情況

與模擬結(jié)果趨勢相符。snap-through過程的實驗和模擬結(jié)果誤差較大，原因可能是模擬過程的加載位移遠大于實驗中所施加的位移，使模擬中壓頭受到的支反力偏大。snap-back過程的實驗和模擬結(jié)果的誤差相對較小。

表7 圓柱殼最大穩(wěn)態(tài)突變載荷對比

4 結(jié)束語

本文基于可伸展變形假設和均勻曲率模型，提出一種適用于復合材料圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性分析的簡化計算模型。該模型與現(xiàn)有IUCM相比適應性更好，預測精度更高，而且相比IUCM，能分析不局限于矩形的其他形狀雙穩(wěn)態(tài)圓柱殼的穩(wěn)態(tài)特性。同時利用Python語言，根據(jù)Abaqus二次開發(fā)功能建立了用于復合材料圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)特性分析的參數(shù)化建模和自動后處理插件。最后，通過實驗驗證了理論和仿真結(jié)果的準確性，三者預測的穩(wěn)態(tài)曲率和最大穩(wěn)態(tài)突變載荷的變化規(guī)律相同，驗證了所提計算模型的可行性。下一步將對更多不同形狀的圓柱殼進行雙穩(wěn)態(tài)特性分析，并開展結(jié)構優(yōu)化及其在仿生智能可變形結(jié)構中的工程應用研究。