趙開琦，范 軍，王 斌

（1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240）

0 引 言

水下潛器的輻射噪聲既是被動聲吶探測的重要信息源，又是影響水下潛器隱身性能的重要因素[1]。水下潛器所處的海洋信道為具有上下界面的水體環(huán)境。界面對聲波的反射作用，不僅導(dǎo)致聲波傳播路徑發(fā)生改變，而且經(jīng)界面一次或多次反射，聲波會入射到結(jié)構(gòu)表面激發(fā)起彈性結(jié)構(gòu)的幾何散射和彈性散射（將經(jīng)過界面二次和多次反射后入射到結(jié)構(gòu)表面引起的聲散射統(tǒng)稱為多次散射），進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)的聲輻射特性及空間聲場分布。處理波導(dǎo)中結(jié)構(gòu)聲輻射的一般方法是利用積分方程法或數(shù)值方法將結(jié)構(gòu)振動和波導(dǎo)環(huán)境進(jìn)行統(tǒng)一建模，得到的結(jié)果最為嚴(yán)格，但是當(dāng)界面對結(jié)構(gòu)的聲源特性（表面振速和聲壓分布）影響可以忽略時(shí)，結(jié)構(gòu)的聲源特性可以用自由空間中的量近似，統(tǒng)一建模方法則會增加不必要的計(jì)算量，因此討論界面對彈性結(jié)構(gòu)聲輻射的影響以及影響可以忽略的條件對研究界面附近或波導(dǎo)環(huán)境中水下潛器的聲輻射特性尤為必要。

界面對水下結(jié)構(gòu)振動和聲特性的影響已有大量研究工作。研究方法主要分為數(shù)值法、實(shí)驗(yàn)法和解析法。于大鵬等[2]、Wu 等[3]采用有限元/邊界元耦合方法對船舶在半無限域和有限水深域中的水下輻射噪聲特性進(jìn)行了討論。Wu[4]提出了射線法和簡正波法相結(jié)合的格林函數(shù)計(jì)算方法，建立了理想波導(dǎo)中聲場計(jì)算的邊界元方法。黎勝等[5]分別利用邊界元法和半空間格林函數(shù)法討論了界面對半空間內(nèi)結(jié)構(gòu)聲輻射的影響。王斌等[6]利用有限元和邊界元耦合方法對半空間中不同下潛深度下二維圓柱殼的振動特性和輻射聲功率進(jìn)行了討論。但上述文獻(xiàn)均基于半空間或波導(dǎo)中的格林函數(shù)，未考慮界面與結(jié)構(gòu)之間的多次散射作用。Chen等[7]、商德江等[8]利用等效源法及有限元法建立了理想波導(dǎo)中結(jié)構(gòu)振動和聲輻射的數(shù)值模型，通過將殼體所處的局部波導(dǎo)環(huán)境進(jìn)行整體有限元建模，在結(jié)果中包含了界面與結(jié)構(gòu)之間的多次散射作用，進(jìn)一步采用拋物方程法計(jì)算外部聲場可提高模型的計(jì)算效率[9]，但對于界面對結(jié)構(gòu)聲源特性可以忽略的情況下，該方法仍存在不必要的計(jì)算量。Zou等[10]利用聲彈性理論建立了理想波導(dǎo)中圓柱殼的聲輻射數(shù)值模型，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Ergin 等[11]基于有限元和實(shí)驗(yàn)方法分析了有限潛深下圓柱殼的自由振動特性，指出自由液面會導(dǎo)致殼體的自由振動頻率增大，但實(shí)驗(yàn)方法耗時(shí)耗力，相關(guān)報(bào)道較少。解析方法主要以基于Graf加法定理的虛源法為主，Gaunaurd 等[12]研究了界面附近球形目標(biāo)的聲散射特性，范威等[13-14]將該方法推廣至平行和楔形理想波導(dǎo)中球形目標(biāo)的散射特性研究；葉文兵[15]、Li 等[16]、Wang 等[17]、Guo 等[18]等對水面附近圓柱殼的振動和聲輻射特性作了討論，其重點(diǎn)關(guān)注界面對殼體振動狀態(tài)的影響，其中文獻(xiàn)[17]忽略了界面反射作用對實(shí)源表面振速的影響；白振國等[19]討論了淺水域中二維圓柱殼的輻射聲場的分布和衰減規(guī)律，利用輻射阻抗建立了振動位移與輻射、散射聲壓間的關(guān)系，使得界面對圓柱殼振動的影響更加明了。

本文以理想界面附近彈性球殼為研究對象，基于Graf 加法定理和虛源法建立了界面附近彈性球殼的振動和聲輻射理論模型。球殼振動和外部聲場分別用薄殼理論和簡正級數(shù)表達(dá)，然后利用表面位移協(xié)調(diào)條件進(jìn)行耦合求解，并推導(dǎo)了界面附近球殼輻射聲阻抗、聲壓及聲功率的解析表達(dá)式。討論了輻射聲阻抗、聲壓隨界面類型、激勵頻率和下潛深度變化的物理規(guī)律。界面與結(jié)構(gòu)之間的多次散射作用以聲輻射互阻抗表示，可方便討論考慮和忽略多次散射作用后的輻射聲壓及聲功率。最后以聲功率為評價(jià)指標(biāo)，討論并給出了界面對球殼聲源特性的影響可以忽略的條件。

1 理 論

考慮軸對稱簡諧力激勵情況，省略時(shí)間因子exp( -iωt)，界面附近彈性球殼的運(yùn)動方程為[20]

式中：系數(shù)矩陣的元素l11～l22如下，

pn為殼體表面聲載荷的勒讓德展開系數(shù)；fRn為激勵力的勒讓德展開系數(shù)，滿足

考慮界面為軟邊界和硬邊界時(shí)，界面上聲壓分別滿足p=0 和?p/?n= 0。流體中的總聲壓為殼體輻射直達(dá)聲波與界面反射聲波的疊加：

式中，

其中，k=ω/c，ω為角頻率，c為流體中聲速，bn,cn為未知展開系數(shù)，hn(kr)為n階球Hankel函數(shù)；pr為輻射直達(dá)波，pi為界面反射波，(r,θ)和(r',θ' )分別為在實(shí)源O和虛源O'坐標(biāo)系中的場點(diǎn)，如圖1所示。

圖1 界面附近球殼坐標(biāo)示意圖Fig.1 Schematic of a spherical shell submerged near the boundary

在界面上，r=r'，θ'=π-θ。當(dāng)界面是軟邊界時(shí)，p=0，當(dāng)界面是硬邊界時(shí)，?p/?r= 0?？蓪?dǎo)出cn與bn的關(guān)系，統(tǒng)一表示為cn=V( -1)nbn，當(dāng)界面為軟邊界時(shí)V=-1，硬邊界時(shí)V=1。將式（4）的第二式中的下標(biāo)n替換為q，利用Graf加法定理[12]得到總聲壓為

式中，D為殼體中心到界面的距離，jn( · )為n階第一類球Bessel函數(shù)，且

上式中第一項(xiàng)即為殼體輻射直達(dá)聲波的貢獻(xiàn)，第二項(xiàng)表示界面反射聲波的貢獻(xiàn)。

利用殼體表面的振速連續(xù)條件

得到殼體第n階徑向振速為

將式（2）、（7）和（9）代入式（1）中并將無窮級數(shù)項(xiàng)n截?cái)酁镹項(xiàng)，得到聲壓展開系數(shù)滿足的方程：

球殼的輻射聲功率由表面振速和聲壓對其表面積分得到

式中，上標(biāo)*表示取共軛。聲功率級為20 lg(W/W0)，其中W0= 0.67×10-18W。

2 方法驗(yàn)證

考慮自由液面附近的外半徑為a=1 m，厚度為hs=0.01 m，密度為ρs=7670 kg·m-3的鋼球殼，楊氏模型為Es=1.85×1011Pa，泊松比為σs=0.3。外部為水，密度為ρf=1000 kg·m-3，聲速為cf=1500 m·s-1，激勵力位于球殼內(nèi)壁（0,0,a-hs）點(diǎn)處（即θ0= 0），幅值為1 N。頻率用無因次頻率ka表示，球殼的下潛深度用無因次深度Hr=D/a表示。本文討論球殼完全浸沒在聲學(xué)半空間中的情形，故歸一化下潛深度的范圍為Hr≥1。

利用Comsol有限元結(jié)果對本文方法的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。有限元模型中彈性球殼和水域分別采用固體力學(xué)模塊和壓力聲學(xué)模塊建模，聲場域的無限遠(yuǎn)輻射條件采用完美匹配層（PML）模擬。圖2（a）所示為球殼表點(diǎn)（0,0,a）處的徑向振速，圖2（b）所示為輻射聲功率，球心與自由液面的歸一化距離為Hr=2。可見解析結(jié)果與有限元結(jié)果吻合很好，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

圖2 本文方法和有限元方法的計(jì)算結(jié)果Fig.2 Calculation results by the method of this paper and FEM

3 界面對球殼聲輻射的影響

界面對球殼聲輻射的影響包含兩方面：（1）聲壓場發(fā)生改變：界面的反射作用導(dǎo)致遠(yuǎn)場接收點(diǎn)處的聲壓為輻射直達(dá)波與界面反射波的相干疊加，導(dǎo)致聲壓頻譜中呈現(xiàn)一系列干涉條紋；（2）聲源特性發(fā)生改變：界面反射作用導(dǎo)致殼體的聲輻射阻抗發(fā)生變化，從而改變殼體表面振動狀態(tài)及輻射聲壓，進(jìn)而引起球殼輻射聲功率的變化，本文以聲功率表示球殼的聲源特性。以下計(jì)算中均將聲壓歸一化到1 m處。

3.1 界面對輻射聲場的影響

首先討論輻射聲阻抗的變化規(guī)律。分別將式（7）和式（9）寫成矩陣形式：

得到模態(tài)聲壓與模態(tài)振速之間的關(guān)系式為

式中，

式中，第一項(xiàng)rnq為聲輻射阻，表示表面聲壓與表面振速的相位相同，代表了向外輻射能量的大??；第二項(xiàng)mnq為聲輻射抗，表示表面聲壓與表面振速相位差90°，因此這一項(xiàng)沒有能量向外輻射，代表聲場的慣性作用，又稱為附加質(zhì)量[20]。圖3和圖4分別給出了界面為軟邊界和硬邊界時(shí)在給定無因次頻率下（ka=1,2,5）模態(tài)比聲輻射阻|rnq/rn|和比聲輻射抗|mnq/mn|隨下潛深度Hr的變化規(guī)律，其中Hr=1～10，rn和mn分別為球殼在自由場中的第n階聲輻射阻和聲輻射抗。

對比圖3和圖4可見，比自輻射阻抗隨著下潛深度的增加而逐漸趨于1，比互輻射阻抗則隨著下潛深度的增加而逐漸趨于0；隨著激勵頻率增加，聲輻射阻抗的波動增強(qiáng)而幅值相應(yīng)減小。因此，界面對聲輻射阻抗的影響隨頻率和下潛深度的增加而逐漸減小。

圖3 軟邊界下球殼的模態(tài)比聲輻射阻|rnq/rn|和比聲輻射抗|mnq/mn|Fig.3 Relative acoustic radiation resistance|rnq/rn|and reactance|mnq/mn|of the spherical shell near the soft boundary

圖4 硬邊界下球殼的模態(tài)比聲輻射阻|rnq/rn|和比聲輻射抗|mnq/mn|Fig.4 Relative acoustic radiation resistance|rnq/rn|and reactance|mnq/mn|of the spherical shell near the hard boundary

互阻抗Zanq由界面與殼體間的多次散射作用產(chǎn)生，通過計(jì)算考慮和忽略互阻抗后的輻射聲壓，可以得到多次散射作用對球殼輻射聲壓的影響規(guī)律。圖5給出了不同界面類型下殼體下潛深度分別為Hr=1、2、3 時(shí)考慮和忽略互阻抗Zanq時(shí)的聲壓隨頻率的變化結(jié)果，激勵點(diǎn)位于θ0= 0。當(dāng)球殼十分靠近界面（例如Hr=1）時(shí)，界面作用不僅影響聲壓幅值，而且會改變共振峰位置，這主要是界面與殼體之間的多次散射的貢獻(xiàn)。對比不同潛深的結(jié)果可知：界面為軟邊界時(shí)，結(jié)構(gòu)與界面之間的多次散射（互阻抗）對聲壓的貢獻(xiàn)比硬邊界時(shí)更大；隨著殼體遠(yuǎn)離界面，忽略與考慮互阻抗的聲壓幅值差別減小（尤其是聲壓共振峰位置的差別明顯減?。?，當(dāng)殼體下潛深度Hr=3 時(shí)，忽略與考慮互阻抗時(shí)的聲壓幅值的差別已很?。ㄗ畲蟛钪禐?.39 Pa）。因此，界面與殼體之間的多次散射作用隨下潛深度增加而逐漸減弱。

圖5 忽略和考慮互阻抗時(shí)的聲壓幅值Fig.5 Sound pressure amplitude with considering and ignoring the mutual impedance

為更加直觀地顯示不同類型邊界對球殼聲輻射的影響，圖6 分別給出軟邊界和硬邊界附近球殼輻射聲壓的頻率—深度譜，橫坐標(biāo)為無因次頻率ka，縱坐標(biāo)為歸一化下潛深度Hr，用顏色代表聲壓幅值（Pa）?？梢娐晧鹤V中出現(xiàn)兩種類型的條紋：一種是隨下潛深度基本不變的豎條紋，由殼體共振產(chǎn)生；另一種是與下潛深度和頻率有關(guān)的明-暗相間的干涉條紋，這些條紋由輻射直達(dá)波與界面反射波之間的干涉形成。此外，干涉作用導(dǎo)致殼體輻射聲壓的共振峰出現(xiàn)明-暗相間的干涉條紋，而共振峰位置并不隨下潛深度發(fā)生明顯變化，這說明當(dāng)殼體下潛深度較大時(shí)界面反射作用對殼體表面振動的影響較弱，可以忽略。

圖6 界面附近彈性球殼輻射聲壓干涉亮條紋的預(yù)報(bào)結(jié)果Fig.6 Predicted interference fringe of the sound pressure radiated from the spherical shell submerged near the boundary

3.2 界面附近彈性球殼聲輻射機(jī)理解釋

忽略界面與球殼之間的多次散射作用時(shí)，球殼的輻射聲場可近似為球殼輻射波與界面一次反射波的疊加場。設(shè)接收點(diǎn)位于( )r,θ處，以球心為等效聲中心，得到直達(dá)波與反射波之間的聲程差為2Dcosθ，則軟邊界反射引起聲波干涉的頻率變化可分別表示為

同樣，硬邊界反射引起的干涉條紋預(yù)報(bào)公式為

式（17）和式（18）預(yù)報(bào)結(jié)果在圖6 中用紅色虛線標(biāo)出，為清晰起見，圖中只給出前10 階亮條紋位置，界面為軟、硬邊界時(shí)的亮條紋預(yù)報(bào)結(jié)果如圖6 所示?？梢婎A(yù)報(bào)結(jié)果與殼體共振峰中亮斑的中間位置及干涉條紋位置吻合很好。對比可知：（1）軟邊界和硬邊界所形成干涉亮條紋的條件不同，經(jīng)過軟邊界反射的聲波相位變化π，形成的聲場干涉條紋中有n=0 階的干涉條紋，而硬邊界導(dǎo)致的聲場干涉條紋最低階為n=1 階；（2）兩種類型的邊界時(shí)，球殼的共振峰均因虛源干涉而形成明-暗相間的干涉條紋。

3.3 定量討論界面對聲源特性的影響

輻射聲壓不僅與球殼特性及激勵頻率有關(guān)，而且是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而聲功率是聲強(qiáng)對空間積分的結(jié)果，能夠綜合評價(jià)界面對球殼聲源特性的影響。為確定界面對球殼聲源特性的影響可以忽略的條件，取界面引起球殼聲功率的變化量

來討論界面的影響，其中W0為自由場中的聲功率。

圖7 所示為軟邊界和硬邊界時(shí)的聲功率差值ΔW隨無因次頻率ka及歸一化下潛深度Hr的等高線圖，圖中只畫出ΔW≥3 dB 的等高線區(qū)域，用顏色表示差值ΔW的大小，單位為dB。從圖7 可知軟邊界對殼體聲功率的影響比硬邊界時(shí)更大，聲功率差值大于3 dB 的區(qū)域集中在低頻（ka＜2）和殼體靠近界面（Hr＜3）的范圍內(nèi)，其他區(qū)域均小于3 dB或無影響。

圖7 界面附近彈性球殼聲功率差值（殼厚hs/a=1%，激勵力位于θ0 = 0）Fig.7 Difference of sound power with hs/a=1%,θ0 = 0

此外，激勵位置和殼體厚度均會影響殼體的輻射聲場，進(jìn)一步給出激勵力位于θ0= π 處、厚度半徑比分別為1%及5%的結(jié)果，分別如圖8 和圖9 所示，其中圖8（a）和圖9（a）對應(yīng)軟邊界，圖8（b）和圖9（b）對應(yīng)硬邊界。激勵力位置不同導(dǎo)致球殼輻射聲場指向性不同，當(dāng)激勵點(diǎn)位于靠近界面一側(cè)（θ0=π）時(shí)，輻射聲場主瓣指向界面，導(dǎo)致輻射聲場受到界面影響比激勵點(diǎn)位于遠(yuǎn)離界面一側(cè)時(shí)更大，因此，圖8中（θ0=π）的界面影響區(qū)域比圖7中（θ0=0）更大。殼體厚度決定其彎曲剛度，當(dāng)厚度增加后彎曲剛度也增大，導(dǎo)致球殼的輻射聲場受到界面影響更小，因此圖9中的界面影響區(qū)域比圖8中更小。

圖8 界面附近彈性球殼聲功率差值（殼厚hs/a=1%，激勵力位于θ0 = π）Fig.8 Difference of sound power with hs/a=1%,θ0 = π

圖9 界面附近彈性球殼聲功率差值（殼厚hs/a=5%，激勵力θ0 = π）Fig.9 Difference of sound power with hs/a=5%,θ0 = π

從上述幾種情況的結(jié)果可見，當(dāng)歸一化頻率和深度滿足ka≥2 和Hr≥3 時(shí)，球殼聲功率的差值小于3 dB，界面對球殼聲源特性的影響可以忽略。因此，滿足上述條件時(shí)界面附近殼體的聲源特性可以用其自由場中的聲源特性近似。

4 結(jié) 論

本文以界面附近的彈性球殼受內(nèi)壁簡諧點(diǎn)力激勵的振動和聲輻射為具體對象，利用Graf 加法定理和虛源法導(dǎo)出界面附近彈性球殼的振動和聲輻射公式，解釋了界面附近球殼輻射聲場的形成機(jī)理，并討論了界面對球殼輻射聲阻抗、聲壓和聲功率的影響規(guī)律，可以得到如下結(jié)論：

（1）界面與球殼之間的多次散射作用產(chǎn)生聲輻射互阻抗，其隨下潛深度和激勵頻率的增加而趨于零，故當(dāng)球殼不十分靠近界面時(shí)（Hr≥3），多次散射作用可以忽略；

（2）界面附近球殼輻射聲場的形成機(jī)理可以解釋為共振和干涉，輻射聲壓的共振峰隨下潛深度呈現(xiàn)為明-暗相間的干涉條紋，但共振峰位置并無明顯變化；

（3）對于界面附近的薄球殼，在本文所討論的殼厚（h/a=1%～5%）范圍內(nèi)，當(dāng)無因次頻率ka≥2且歸一化下潛深度Hr≥3時(shí)，界面對球殼輻射聲功率的影響小于3 dB，可以忽略。