孟廣達，霍瑞云，王潤華

(1.鄭州大學，河南 鄭州 450001；2.河南財政金融學院，河南 鄭州 450046)

0 引言

不知從什么時候起，人們使用“狹義相對論”這個術語時，其含義是有差別的。大多數(shù)人還是僅限于慣性參照系；有些人，特別是一些造詣較深的學者，把加速參照系也包括在內(nèi)了。這個差別并不影響對時鐘佯謬的討論，但必須明確交代，不然會帶來毫無價值的爭議。我們所說的狹義相對論只限于慣性系。本文中如果不作說明，時鐘A總是指相對慣性系不含加速階段的。

1 問題

20世紀60年代，對時鐘佯謬的討論相當熱烈，不少人想在狹義相對論范圍內(nèi)把該佯謬解決，這樣的探討也是有益的，可以加深對相對論中諸多概念的理解。但是，導致出現(xiàn)時鐘佯謬的根源是時鐘B經(jīng)歷了加速階段。如果不針對根源而只關心它導致的結果，就不可能順理成章地解決問題，有關這方面的討論我們已經(jīng)闡明過看法[1-2]，本文不再涉及。

長期以來，大多數(shù)人容易接受的時鐘佯謬的解是：在與時鐘B相關聯(lián)的參照系中岀現(xiàn)了引力場。據(jù)說這種解是愛因斯坦提出的。初看起來很難理解，這么簡單的一句話，既無運算，又無公式，也無結果，怎么能是問題的解答。冷靜一想就恍然大悟了：給出(或求出)時鐘B的運動狀況，找出與此相應的坐標變換，從而得出時鐘B參照系中的度規(guī)，代入公式問題就解決了[3]。時鐘B的運動狀態(tài)五花八門，每種狀態(tài)都有與它相應的坐標變換，不同的坐標變換不可能用幾個式子表達岀來。所以時鐘佯謬的“通解”就只有這么一句話。對它可作解釋，無須增添。

如果深信這個“通解”正確，那就沒有必要選擇時鐘B的某種運動狀態(tài)進行詳細的完整運算。這種運算沒有什么價值,充其量也不過可以作為一道習題讓學生做。極可能就是由于這個原因，愛因斯坦本人沒有給出一個實例來。

對時鐘佯謬感興趣的人對此“通解”并不滿足。有相當多的人，總想找個實例。出人意料的是，直到今天，一個多世紀過去了，能給出結果的人屈指可數(shù)。即使非常著名的學者也只是給出了近似解[4]，近似解價值不大。據(jù)我們所知，只有M?LLER C對一個實例作出了完整的解答[3]。

為何找一個實例這么困難？因為遇到的一些問題難以解決：例如什么是勻加速參照系，如何找出加速參照系與慣性系之間的變換關系。加速參照系中的引力場為何會在全區(qū)域同時發(fā)生突變而無傳播過程……現(xiàn)在看來，愛因斯坦之所以沒有給出一個實例，除了上面已經(jīng)提到的可能之外，也很有可能他本人也難找到一個。試想，時鐘佯謬關系到相對論的自洽性，受到廣泛的關注[4]，難道他不想給出一個盡量圓滿的解答？

MΦLLER C給出的解可能是最好的一個實例，但其中也存在問題有待商榷，只是不容易澄清，很難取得共同的看法。利用他的解法，我們推出了時鐘佯謬的解中普遍存在的一個離奇結果：時鐘A的讀數(shù)增量在整個過程的某一階段是負值，把它通俗化就是“返老還童”[2]，如何處理這個離奇結果有待進一步討論。

2 時鐘佯謬的現(xiàn)代解

為了表述方便，下文中把上述的傳統(tǒng)的愛因斯坦解簡稱為“愛氏解”。

所謂時鐘佯謬的現(xiàn)代解，按照文獻[5]中的介紹，只有一句話:“時鐘記錄的是自己的世界線長度?！蔽覀儾恢肋@個解是哪位學者在什么地方首先提岀的，也沒見到過該解的原始表述。我們對它的了解大都來自文獻[5]。我們覺得該文寫得非常出色，讀后受益匪淺，可以信賴。如果有引用不妥當，甚至有理解錯誤之處，敬請指正。

對于接觸過相對論，但了解并不多卻對時鐘佯謬很感興趣的人，見到現(xiàn)代解會覺得太玄了，所以現(xiàn)代解引不起廣泛關注；另一方面，不少相對論方面的專家對它推崇備至，甚至有些學者感概道：“相對論時鐘是類時世界線上的里程表，假如人們對于這一事實有過更多的關注,那么在所謂時鐘佯謬上付出過的很多努力就可以省略掉了?！盵5]如果現(xiàn)代解果真是時鐘佯謬的最精辟完美的解，那么愛因斯坦應該太遺憾了。完成了狹義相對論，獨自一人創(chuàng)立了引力理論，可惜沒有能夠完滿解決質疑狹義相對論自洽性的時鐘佯謬。難道他不知道時鐘記錄的是自己的世界線長度，不知道長度是坐標變換下的不變量，不知道時鐘A的世界線長度比時鐘B的長嗎?在這些方面誰能比他更熟悉？對于幾何學，如果他達不到登峰造極爐火純青的地步，怎么可能創(chuàng)立他的引力埋論。我們認為不論從哪方面講，在長達數(shù)十年的時間內(nèi)他不會想不到這樣的解。那么他為什么沒給出這樣的解?難道不值得深思嗎？與愛因斯坦解相比現(xiàn)代解還是有些遜色，特別是負面影響嚴重。

下面我們用甲、乙兩方對話的形式把這兩種解作一比較。

乙：你為何不支持愛氏解而支持現(xiàn)代解？

甲：首先，現(xiàn)代解簡單明了，短短一句話就可以表達清楚：時鐘記錄的是自己的世界線長度。

乙：是的，一句話內(nèi)行就明白了。但是愛氏解也不需要兩句：引力場的影響。用字更少而且容易被較多的人理解。

甲：這一句話怎么能是一個解，它沒給出結果。

乙：現(xiàn)代解的那句話也沒有給出結果。

甲：結果非常明顯，不必交代。只要在時鐘A參照系中畫出兩個時鐘的世界線就一目了然了。

乙：愛氏解也是如此。只要在時鐘A參照系中算岀結果即可，而且計算簡單，甚至不加思考就可以寫出結果。

甲：你沒有用到引力場的影響。

乙：同樣，你沒有在時鐘B參照系中畫圖。

甲：不必在時鐘B參照系中畫圖。世界線長度是坐標變換下的不變量，再畫圖仍然是時鐘A的長，何必徒勞。

乙：同樣，我也不必在時鐘B參照系中計算，代入公式即得結果,何必徒勞。

甲：你能確保所得結果與時鐘A參照系中的結果相同？

乙：你能確保在時鐘B參照系中畫出的兩條世界線的長度之差一定與時鐘A參照系中的相同？

甲：可以確保。世界線長度是不變量。

乙：同樣，我也可以確保。所用公式正確，怎么不能確保！

甲：用公式計算太難，遇到的問題幾乎束手無策，以致于直到現(xiàn)在也沒能作出幾個解。

乙：難道在時鐘B參照系中畫出世界線就容易嗎？我們還沒有見到過這樣的圖。試問：得出時鐘B參照系中的度規(guī)容易？不知道度規(guī)如何畫圖？從畫出的圖判斷世界線的長短容易？

讓我們選用最簡單的實例試想一下吧。

T=0時，時鐘B從原點出發(fā)沿x軸正方向以速度v勻速運動(圖1)。t=T時瞬間反向，沿原路返回到原點。對于這個過程，在時鐘A參照系中畫出的圖與文獻[5]中的圖相似:時鐘A的世界線是一條沿時間軸的直線；時鐘B的世界線由兩條相交的直線構成。兩條世界線的起點和終點分別重合(見圖1)。在時鐘B參照系中兩個時鐘的世界線是什么樣呢？除了一段無限短的時間外，時鐘B參照系也是慣性系，在此時空區(qū)域內(nèi)時鐘A以速度v勻速運動瞬間反向后沿原路返回到原點。因此，在時鐘B參照系中畫出的兩個時鐘的世界線與在時鐘A參照系中畫出的非常相似(見圖2)。差別是：沿時間軸的直線是時鐘B的世界線；不相交的兩條直線是時鐘A的世界線上的兩段,這兩條直線的端點無限接近,間隙處為時間無限短的非慣性時空區(qū)域，此處的世界線我們畫不出，所以是空白。

圖1 正向

圖2 反向

根據(jù)所畫的世界線可以推出的結論是:在慣性區(qū)域內(nèi)，時鐘B的世界線比時鐘A的長,因此，如果能得到時鐘A的世界線的總長度比時鐘B的長。那么在無限小的非慣性時空區(qū)域內(nèi)，時鐘A的這一段世界線必需比時鐘B的長，而且二者之比為無限大。試問有可能畫出時鐘A的這一段世界線嗎？你能補上嗎？

甲：不必畫，想象即可。因為世界線的總長度是不變量，所以在這個無限小的時空區(qū)域內(nèi)，時鐘A的一定比時鐘B的長。

乙：你的回答不合邏輯。討論實例的目的就是要用實例證實從圖上的確可以得出兩個時鐘的世界線長度都是不變的。怎么能用需要證明的對象作為論證的依據(jù)。其實，不是不必畫，可能是你根本無法畫出來，就是憑想象我們也想象不出。

這樣看來，愛氏解就勝過你所支持的現(xiàn)代解。愛氏解不僅可以算出這段世界線的長度，而且可以給岀這個令人驚奇的結果的根源——引力場的影響[3]。

人們對傳統(tǒng)的愛氏解不滿足，所以總想用實例證實。同樣，人們對你稱贊的現(xiàn)代解也是不會滿足的，必需用實例證實。如果一個實例沒有，怎能令人置信。上述實例是極限下的情況，要求在無限小的時空區(qū)域畫圖可能強人所難了，改換成一個加速區(qū)域為有限大小的過程吧。我們建議采用文獻[3]討論時鐘佯謬時選用的那個實例。如果把文獻[2]中涉及時鐘讀數(shù)增量為負值的過程也包含進去就更好了，顯示一下幾何圖中如何表示時鐘讀數(shù)的負增量。

從以上的對話可見，現(xiàn)代解絕對不可能是時鐘佯謬的最精辟完美的最終解。它與愛氏解各有所長，相比之下還是不如愛氏解。對于具體的實例愛氏解的確遇到了很大困難，以至直到現(xiàn)在，據(jù)我們所知，所有已經(jīng)討論過的實例沒有一個不存在需要商榷、有待進一步討論的地方。在相當長的時間內(nèi)人們熱衷于在狹義相對論范圍內(nèi)解決時鐘佯謬。之所以如此，一個主要的原因就是愛氏解遇到的困難太大，幾乎束手無策。事實上遇到困難并不是壞事而是好事，對于深入理解相對論十分有益?，F(xiàn)代解用幾何語言回避困難，看似十分巧妙、精彩地解決了問題，事實上不僅沒有把問題解決，而且還有很不好的影響。試問，遇到困難不認真思考產(chǎn)生困難的原因，不尋找克服困難的辦法而是設法回避困難，難道不妨礙對相對論的深入理解嗎？想出的回避辦法越是看似十分巧妙、十分精彩、十分高深，造成的負面影響就越嚴重。我們之所以對現(xiàn)代解發(fā)表點看法就是這個緣故。

現(xiàn)代解流行之前有一種解與它很相似，也許它就是由這種解演變而來的。簡單講，這種解也可以用一句話表述：固有時是不變量。對于這種解我們曾作過評論[2]。這里順便再強調(diào)一點，固有時是不變量不能確保可以解決時鐘佯謬，例如討論過程中會出現(xiàn)時鐘讀數(shù)的負增量這一離奇的結果，就是一個很難處理的問題。

引力理論方面著名的物理學家FOCK V的時鐘佯謬解，也與現(xiàn)代解很相似[6]。他做了一個實例，可惜是個近似解，而且只做了一半，人們最關心的另一半他略去了，很讓人失望。他不認為討論時鐘佯謬有很大價值。他之所以討論它,是由于它受到了非常廣泛的關注而且有些解是不能令人滿意的,然而十分遺憾的是,他的解基本上沒有引起人們的興趣。