程 鵬，陳 偉

(華北水利水電大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 河南 鄭州 450046)

0 引言

圖像分割與修復(fù)是圖像識別的關(guān)鍵步驟，圖像修復(fù)技術(shù)的應(yīng)用已經(jīng)遍布各個領(lǐng)域。隨著圖像修復(fù)應(yīng)用技術(shù)的適用范圍越來越廣，人們對圖像修復(fù)效果及質(zhì)量的要求也在不斷提高。而在圖像技術(shù)不斷發(fā)展的今天，圖像修復(fù)技術(shù)仍有很多問題是傳統(tǒng)修復(fù)算法難以處理和解決的。因此學者不斷探索將新興理論與圖像修復(fù)相結(jié)合的方法。本文探究特征值反問題下的圖像修復(fù)，首先介紹關(guān)于實對稱帶狀矩陣相關(guān)的研究。

給定

r>0是一個整數(shù)，|i-j|>r時aij=0，i=1,2,…,n;j=1,2,…,n。在(i,i+r)元素所在的對角上至少有一個元素非零，則稱A(r)為帶寬為2r+1的實對稱帶狀矩陣。

(1)

1984年BOLEY D L等[1]對問題1給出了r=2時、n為偶數(shù)、公式(1)僅為嚴格不等式的情形，采用塊Lanczos方法，給出問題1的解。隨后BOLEY D L 等[2]在r能整除n的情況下給出了問題1的解。FRIEDLAND S[3]對r=n-1給出問題1的一個解。1989年，殷慶祥[4]給出了擬Lanczos方法，取消了r能整除n的限制。1987年，戴華[5-7]采用廣義塊Lanczos方法，不僅取消了r能整除n的限制，且不必所有特征值滿足公式(1)嚴格不等式的情形。其中戴華的方法靈活性更強且受限制更小，能解決問題的范圍更加廣泛。隨后諸多學者對于此類相關(guān)的特征值反問題進行了不同的研究[8-25]。

本文建立在圖像數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上進行探索，也就是說，本文所研究的實對稱帶狀矩陣假設(shè)一定存在，且實對稱帶狀矩陣的各元素滿足取值范圍為1～255。為此提出問題2、問題3兩個關(guān)于圖像修復(fù)的新問題。

1 預(yù)備知識

βi≤αi≤βi+1,i=1,2,…,n-1,

R(λ)=(T(λ),S(λ))表示T(λ)和S(λ)的首項系數(shù)是1的最大公因式，

其中

νi≤μi≤νi+1,i=1,2,…,k-1，

(2)

I(z)={j|αj=z,j=1,2,…,n-1}，

則(bn1,bn2,…,bnn)為矩陣B的最后一行的充分必要條件是bni(i=1,2,…,n)滿足方程組

(3)

方程組(3)有有限個解的充分必要條件是：當αi(i=1,2,…,n)是S(λ)的m>1重零點時，αi是T(λ)的至少m重零點，這時方程組(3)恰有2k-1個不同的解。

2 問題2的求解

由引理1和引理2可知實對稱帶狀矩陣加邊構(gòu)造的過程，但在加邊構(gòu)造過程中難以保持矩陣帶寬不變。本文是建立在實對稱帶狀矩陣已經(jīng)存在的基礎(chǔ)上進行研究的，為此需要維持所加的邊使矩陣始終保持帶狀形式，并且這樣的構(gòu)造是唯一的。

令

(4)

的解。

(5)

tPi=0,i=1,2,…,k-r

(6)

定理1由上述方法構(gòu)造的實對稱帶狀矩陣A(r)是唯一的。

dk+1≠bk+1,

(7)

(8)

G1=f1G2+…+fk-1Gk,

(9)

(10)

將公式(10)帶入公式(9)可以推出公式(9)不成立,所以dk+1=bk+1，構(gòu)造的實對稱帶狀矩陣A(r)是唯一的。

3 問題3的求解

給出Jacobi 矩陣

這里ai,bi∈R，且bi>0，Ji是Jn的順序主子矩陣,i=1,2,…,n。

證明略(當然可以檢驗它的正確性)。

令

D(r-1)和Tn中所有的元素未知。滿足

D(r-1)·Tn=A(r)。

(11)

故由公式(11)知

(12)

(2k-r-1)r+k≥r(r+1)/2+(k-r)r+r-1+2k,

由引理3知，當

(13)

則Tk=Jk。

4 算法步驟

4.1 問題2的算法

4.2 問題3的算法

1)通過公式(11)確定建立方程組；

2)由公式(12)和公式(13)求出Jk；

3)由文獻[18]或[13]結(jié)合已知條件構(gòu)造Jn；

5 圖像的修復(fù)

本文通過特征值反問題處理圖像，要保證圖像的對稱性，對于普通圖像可以通過中心對稱得到一個對稱圖像，下面對兩類問題進行不同的分析。

5.1 問題2下的圖像修復(fù)

圖1是原始黑白圖像。這是一個對稱圖像，通過MATLAB軟件對其逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到圖2，提取圖2數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)圖2是在方陣中，白色位置分元素值為255，為體現(xiàn)本文的研究需要，對其空白部分數(shù)據(jù)進行適當改變。

圖1 原圖

圖2 旋轉(zhuǎn)后圖像

矩陣A轉(zhuǎn)換成的圖像就是圖3，此時矩陣A滿足實對稱帶狀矩陣的條件，對圖3所生成的矩陣A各階順序主子矩陣的特征值進行提取，使其滿足問題1的條件，圖4是損壞的圖像，可用問題2的解法修復(fù)圖4。

圖3 填充后的圖像

圖4 損壞的圖像

圖5是修復(fù)后的圖像，圖6是對圖5圖像的截取，也是修復(fù)后的圖像，對比圖1可以發(fā)現(xiàn)圖像是相同的，數(shù)據(jù)分析得到問題1的解法在圖像數(shù)據(jù)的還原上基本誤差在1范圍內(nèi)，所呈現(xiàn)的圖像效果也是良好的。

圖5 修復(fù)后的圖像

圖6 圖像的截取

從問題2的解法可以看出，只能修復(fù)圖像的3/4，如果是另外1/4受損時，可以在保留數(shù)據(jù)時對圖像所生成的矩陣旋轉(zhuǎn)180°，保留旋轉(zhuǎn)后所生成矩陣的各階順序主子矩陣的特征值。

5.2 問題3下的圖像修復(fù)

圖7是隨機生成矩陣所呈現(xiàn)的圖像，圖8是去除矩陣一部分數(shù)據(jù)后得到的圖像，圖9是修復(fù)后的圖像?？梢姲咨珔^(qū)域數(shù)值十分龐大，數(shù)據(jù)的變換從圖像中很難看出差距，白色區(qū)域的數(shù)值在構(gòu)造矩陣過程中數(shù)值十分不穩(wěn)定,數(shù)值往往會改變很大，但在圖像上依舊呈現(xiàn)白色。但如果是普通圖像滿足問題3的條件，那么它的值在計算過程中改變是十分小的，對于成像過程基本上不會出現(xiàn)太大差距。如果能夠改變上下三角矩陣的像素大小使其可以一直滿足問題3的條件，那這個解法適用性就很廣泛了。相關(guān)的結(jié)論在今后的研究中會繼續(xù)探討。

圖7 原圖

圖8 損壞的原圖

圖9 修復(fù)后的圖像

5.3 圖像的還原

設(shè)B=(bij)是任意一個n階實對稱矩陣，取變換H1使

通過此方法還原圖1，圖10是還原后圖像，圖11是對圖10中圖像的截取。

圖10 還原后的圖像

圖11 圖像的截取

6 總結(jié)

從文章可以看出兩類特征值反問題對于圖像的修復(fù)都是可行的，問題2方法的優(yōu)越性在于其修復(fù)的圖像與原圖像幾乎一模一樣，它們所生成的矩陣忽略像素值千分位時兩者的像素值基本是相同的。問題3的精確性取決于Jacobi構(gòu)造時的精確性，而相關(guān)的Jacobi矩陣構(gòu)造證明是相當成熟的，所以問題3的方法也是可行的。對于圖像的還原是關(guān)于圖像修復(fù)的另類探索，可以看出本文還原的圖像效果是很好的。圖像的數(shù)據(jù)在矩陣領(lǐng)域討論，特征值反問題無疑是最好、最方便的方法，結(jié)合高斯云模型的圖像分割技術(shù)可以完整地研究圖像識別技術(shù)中最重要的兩個部分。