王世軍,楊昭,吳敬偉,李鵬陽

(1.西安理工大學機械與精密儀器工程學院,710048,西安;2.西安昆侖工業(yè)(集團)有限責任公司技術部,710043,西安)

在結合面的接觸剛度研究中,通常將微凸體之間的接觸視為峰對峰的正接觸,這種方法的缺點是不能充分考慮到微凸體側接觸對于整個結合面接觸剛度的影響。結合面中的微凸體之間的接觸,大多為側接觸,而非正接觸[1],通過只考慮微凸體正接觸獲得的兩個結合面之間的接觸剛度模型,與實際有一定差別。

在微凸體側接觸研究中,Gorbatikh假設了接觸角度θ的分布函數(shù)[1]。Sepehri和Farhang(SF模型)將微凸體假設為橢球體,研究了微凸體之間側接觸對結合面接觸特性的影響[2-3]。莊艷和朱林波補齊了微凸體接觸狀態(tài)中的彈塑性階段,并對基于不同模型下的微凸體側接觸狀態(tài)進行了對比[4-5]。ZHAO等基于微凸體側接觸模型,通過模擬微凸體真實接觸,再結合統(tǒng)計方法,得到兩個接觸面的法向接觸剛度[6]。高志強(GZQ模型)基于Gorbatikh提出的接觸角度分布規(guī)律,構建了結合面間的接觸能耗模型[7]。

圖1 微凸體側接觸模型Fig.1 Side contact model of asperities

上述研究都存在一個問題:如圖1所示的微凸體側接觸模型,微凸體中心水平距離s和接觸角θ并不是單獨存在,兩者之間應該有一定的關系。在目前的研究中,都是將參數(shù)設為固定值來研究結合面之間的接觸特性,這顯然不符合實際。在結合面中的微凸體中心水平距離s并不是定值分布,接觸角度θ也不是定值,而是跟s的變化有關系。雖然Gorbatikh假設了接觸角度θ的分布函數(shù),并沒有給出理論依據(jù),也未曾做過試驗來證明假設的分布函數(shù)的合理性和正確性。

綜上,本文采集了接觸試樣的表面輪廓,分析了微凸體水平距離的分布規(guī)律,并提出了一種考慮微凸體水平距離分布的側接觸結合面的法向剛度建模方法。

1 微凸體中心水平距離分布規(guī)律

通過圖2所示的Keyence的超景深三維顯微系統(tǒng)VHX-5000獲取磨削試樣的三維輪廓數(shù)據(jù),采樣間隔在x、y方向均為1 μm,對獲取的數(shù)據(jù)進行處理,使得高度方向的均值為0,圖3和圖4為樣本表面的輪廓。

圖2 超景深顯微系統(tǒng)VHX-5000Fig.2 Ultra-depth of field microscopy system VHX-5000

圖3 上試樣表面輪廓圖Fig.3 Surface profile of the upper sample

根據(jù)獲取的三維輪廓數(shù)據(jù),在上、下試樣分別選取6個斷面上的二維輪廓數(shù)據(jù)點,采樣長度為1 000 μm,如圖5～圖16所示。

圖4 下試樣表面輪廓圖Fig.4 Surface profile of lower sample

圖5 上試樣第1組隨機二維輪廓線Fig.5 First set of random two-dimensional contours of upper sample

圖6 下試樣第1組隨機二維輪廓線Fig.6 First set of random two-dimensional contours of lower sample

圖7 上試樣第2組隨機二維輪廓線Fig.7 Second set of random two-dimensional contours of upper sample

圖8 下試樣第2組隨機二維輪廓線Fig.8 Second set of random two-dimensional contours of lower sample

圖9 上試樣第3組隨機二維輪廓線Fig.9 Third set of random two-dimensional contours of upper sample

圖10 下試樣第3組隨機二維輪廓線Fig.10 Third set of random two-dimensional contour lines of lower sample

圖11 上試樣第4組隨機二維輪廓線Fig.11 Fourth set of random two-dimensional contours of upper sample

圖12 下試樣第4組隨機二維輪廓線Fig.12 Fourth set of random two-dimensional contours of lower sample

圖13 上試樣第5組隨機二維輪廓線Fig.13 Fifth group of random two-dimensional contours of upper sample

圖14 下試樣第5組隨機二維輪廓線Fig.14 Fifth group of random two-dimensional contours of lower sample

圖15 上試樣第6組隨機二維輪廓線Fig.15 Sixth group of random two-dimensional contours of upper sample

圖16 下試樣第6組隨機二維輪廓線Fig.16 Sixth group of random two-dimensional contours of lower sample

采用“一峰對兩峰”的形式,獲取微凸體中心水平距離,如圖17所示。

圖17 采用“一峰對兩峰”的形式獲取微凸體中心水平距離Fig.17 The horizontal distance of the center of the micro convex body is obtained in the form of “one peak to two peaks”

采用“三點峰”[8]的形式讀取各斷面上的二維輪廓峰值點及其坐標。以上試樣的峰為基準,采取下、上試樣離該峰最近的一左一右的兩個峰值點及其坐標,則上試樣峰與下試樣的兩個峰之間的橫坐標差值就是兩個微凸體中心的水平距離。根據(jù)3個峰的坐標點數(shù),左邊兩個微凸體之間的水平距離s1為正值,右邊的微凸體距離s2為負值,正、負號只代表距離方向。

得到6組微凸體中心距離之后,對距離分布圖進行數(shù)據(jù)擬合,發(fā)現(xiàn)近似呈正態(tài)分布,如圖18～圖23所示。

圖18 第1組微凸體中心距離分布Fig.18 Center distance distribution of first group of asperities

圖19 第2組微凸體中心距離分布Fig.19 The distance distribution of the center of the second group of asperities

圖20 第3組微凸體中心距離分布Fig.20 Third group of micro convex center distance distribution

圖21 第4組微凸體中心距離分布Fig.21 Center distance distribution of fourth group of asperities

圖22 第5組微凸體中心距離分布Fig.22 The center distance distribution of the fifth group of asperities

圖23 第6組微凸體中心距離分布Fig.23 Center distance distribution of sixth group of micro-convex bodies

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為[9]

(1)

式中:σ′為微凸體中心水平距離的標準偏差,分布曲線的幅度由其決定;μ′為微凸體中心水平距離的均值,決定著分布曲線的位置。

從圖18～圖23可以看出,微凸體中心水平距離分布并不是呈左右對稱的,而是向某一側有偏斜,這種不對稱用偏斜度Rsk來度量,計算公式[10]如下

(2)

式中:n為樣本個數(shù);σs為微凸體中心水平距離的標準偏差;μs為微凸體中心水平距離平均值。

偏斜度Rsk可以為正值也可以為負值,如果偏斜度為0,說明微凸體水平距離分布對稱且均勻。如果粗糙表面?zhèn)冉佑|的微凸體水平距離分布不對稱或者不均勻,微凸體水平距離的分布曲線的偏斜度Rsk就是正值或負值。

峰度是反映一組數(shù)據(jù)的平均值所處的峰值高低,公式[9]為

(3)

峰度和偏斜度是檢驗一組分布數(shù)據(jù)跟正態(tài)分布之間的偏離程度,也是判斷該組數(shù)據(jù)是否近似正態(tài)分布的重要判斷依據(jù)。

偏度系數(shù)和峰度系數(shù)檢驗公式如下[11]

(4)

(5)

當zsk、zku絕對值小于1.96時,即顯著等于0,也就是該組數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布,正態(tài)分布假設得到驗證。

由式(4)(5)計算得出,采樣間隔為1 μm的微凸體水平距離分布曲線的偏斜度系數(shù)和峰度系數(shù)如表1所示。由表中數(shù)據(jù)可以看到偏度系數(shù)為0.634,峰度系數(shù)為0.576,因此可以認為微凸體中心水平距離分布近似呈正態(tài)分布。

表1 采樣間隔為1 μm微凸體中心水平距離分布統(tǒng)計

2 微凸體側接觸模型

將結合面的微凸體等效為球體,在法向力P作用下,接觸情況如圖24所示。其中Z1和Z2為兩微凸體的高度,R1和R2為兩微凸體的曲率半徑,s為兩微凸體的中心水平距離,θ為微凸體之間的接觸角,d為結合面的平均間距。將兩個微凸體的接觸表面作為一個基準,建立OX′Y′Z′坐標系,以Z′方向為法向,以Y′方向為切向,則法向作用力可以分解為沿Z′方向的Pn和沿X′方向的Pτ。在Pn作用下,微凸體在Z′方向發(fā)生變形,變形量為δZ′;在Pτ作用下,微凸體在X′方向發(fā)生滑移,滑移量為ζX′。將結合面當做一個基準,建立OXYZ坐標系,令結合面法向為Z軸,結合面切向為X軸。ζZ為ζX′相對在Z軸上的變形量,δZ為δZ′相對在Z軸上的變形量,則在Z軸的總變形量為δ。

圖24 微凸體側接觸示意圖Fig.24 Schematic diagram of side contact of asperity

根據(jù)幾何關系,可知

(6)

(7)

δZ=δZ′cosθ

(8)

ζZ=ζX′sinθ

(9)

(10)

式中:Rs=R1+R2。微凸體上的受力滿足

Pτ=Pntanθ

(11)

P=Pncosθ+Pτsinθ

(12)

2.1 彈性階段

在Z′方向,當微凸體變形量0≤δZ′<δZ′ec時,進入彈性階段,δZ′ec為臨界變形量,表達如下

(13)

式中:E為當量彈性模量;K=0.454+0.41ν,其中ν為泊松比;H為硬度。E、H都取材料中相對較軟的一方的值。

根據(jù)赫茲理論[12],法向分力Pn與Z′方向上變形量δZ′之間的關系為

(14)

切向分力Pτ為

(15)

則法向合力為

Pe=Pnecosθ+Pτesinθ=

(16)

根據(jù)Pn=Pcosθ,可獲得彈性階段Z′軸方向的變形量相對與Z軸方向的總變形量δZ′e=δecos3/2θ,則法向合力為

(17)

微凸體在該階段內(nèi)接觸剛度為

(18)

2.2 塑性階段

根據(jù)文獻[12]可知,當微凸體變形量δZ′<110δZ′ec,進入塑性階段。此時,單對微凸體的法向分力與變形之間的關系為

Pnp=2πHRδZ′

(19)

切向分力為

Pτp=Pnptanθ=2πHRδZ′tanθ

(20)

法向合力為

Pp=Pnpcosθ+Pτpsinθ=

2πHRδZ′(cosθ+tanθsinθ)

(21)

根據(jù)Pn=Pcosθ,可獲得彈性階段Z′軸方向的變形量相對與Z軸方向變形量的關系δZ′p=δpcosθ,則法向合力為

Pp=Pnpcosθ+Pτpsinθ=

2πHRδZ′(cosθ+tanθsinθ)=

(22)

則在塑性階段微凸體的接觸剛度為

(23)

2.3 彈塑性階段

根據(jù)KE模型[13],當微凸體變形量δZ′ec≤δZ′<110δZ′ec,微凸體進入彈塑性階段。

文獻[13]中,當δZ′ec≤δZ′<6δZ′ec時,彈塑性區(qū)分為Ⅰ區(qū),有

(24)

當6δZ′ec≤δZ′<110δZ′ec時,彈塑性區(qū)又可分為Ⅱ區(qū),有

(25)

本文彈塑性Ⅰ區(qū),法向分力為

(26)

Pτep1=Pnep1tanθ=

(27)

則在彈塑性Ⅰ區(qū)的法向合力為

Pep1=Pnep1cosθ+Pτep1sinθ=

(28)

根據(jù)Pn=Pcosθ,可獲得彈性階段Z′軸方向的變形量相對Z軸方向變形量的關系δZ′ep=δepcos1/1.425θ,則法向合力

Pep1=Pnep1cosθ+Pτep1sinθ=

(29)

彈塑性Ⅰ區(qū)的接觸剛度為

(30)

同理,可得彈塑性Ⅱ區(qū)的接觸剛度為

(31)

3 結合面間的法向接觸剛度

根據(jù)研究表明[10],粗糙峰高度z在接觸面上近似呈正態(tài)分布

(32)

則結合面間接觸的微凸體數(shù)量為

(33)

式中:N=Anη;η為粗糙峰密度;An為名義接觸面積。

兩粗糙表面接觸時,微凸體水平距離s分布可以近似看成正態(tài)分布,即

(34)

則根據(jù)統(tǒng)計理論,可以得到結合面間所有微凸體在3種不同接觸狀態(tài)下的法向接觸力,分別為

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

則總的接觸載荷P為

P=Pe+Pep1+Pep2+Pp

(40)

結合面在不同狀態(tài)下的法向接觸剛度為

(41)

(42)

(43)

(44)

總的接觸剛度K為

K=Ke+Kep1+Kep2+Kp

(45)

為了方便后期模型的計算及驗證,需要對建立的新模型進行無量綱化。無量綱化接觸載荷P*為

(46)

(47)

式中

(48)

(49)

(50)

4 理論結果與分析

對式(46)(47)進行仿真,并且與GZQ模型和KE模型對比。表面形貌參數(shù)β、σ/R都與塑性指數(shù)ψ[14]相關,塑性指數(shù)ψ是判斷微凸體接觸變形的重要依據(jù)。假設接觸面為兩鋼制物體,所用材料參數(shù)[15]分別為E1=E2=207 GPa,H=1.96 GPa,v1=v2=0.29;表面形貌參數(shù)為R=2.5 μm,σ′=1.2 μm,ψ與參數(shù)β、σ/R之間的關系見表2[16]。

表2 表面形貌參數(shù)和可塑性指數(shù)

如圖25所示,各模型在3種塑性指數(shù)下的趨勢都是一樣的,因為隨著d*的增大,兩接觸表面的距離增大,結合面間接觸微凸體數(shù)量會減少,因此P*會變小。

(a)ψ=0.7

GZQ模型、KE模型和本文模隨著ψ的增加,P*也隨之增大。這是因為ψ的增加,越來越多的微凸體會處于彈塑性和完全塑性狀態(tài),致使P*增加,這跟實際情況相符。從圖25還可以看出,隨著結合面平面間距d*的增加,本文模型和KE模型的無量綱法向接觸載荷相差越來越大,而在結合面平均間距較少時,兩者相差越來越小。這是因為:間距較小時,結合面間接觸的微凸體變多,而且接觸狀態(tài)也大多都進入了彈塑性和塑性階段;隨著接觸狀態(tài)由彈性向塑性過渡,微凸體接觸角度會越來越接近90°,角度對接觸載荷的影響在下降,表現(xiàn)出的就是在間距為0時,兩者的接觸載荷相差較小。

GZQ模型和本文模型與沒有考慮微凸體側接觸的KE模型比較,無量綱接觸載荷ψ*都較大。這是因為側接觸中,微凸體接觸面不僅存在法向載荷,還存在切向載荷,兩者合力為結合面法向接觸總載荷。在塑性指數(shù)ψ=1.5、d*=0.8時,本文模型、GZQ模型和KE模型預測的P*分別為2.817×10-4、7.364×10-3和1.127×10-4,可以看出,本文模型的預測結果比KE模型別大了149%,比GZQ模型小了161%。

如圖26所示,隨著d*的增大,K*越來越小,各模型在不同塑性指數(shù)下的趨勢都是一樣的,結合面間接觸微凸體數(shù)量會減少,結合面的無量綱法向接觸剛度變小。

(a)ψ=0.7

在不同塑性指數(shù)下,本文模型、GZQ模型都與KE模型在不同的d*下的無量綱接觸剛度K*相等。這是因為GZQ模型和本文模型考慮了微凸體側接觸,微凸體側接觸是跟角度和微凸體中心水平距離有關系的,在90°和中心水平距離為Rs時,微凸體側接觸跟微凸體正接觸表現(xiàn)一樣。即在某個d*下,無量綱接觸剛度K*相等。與KE模型相比,GZQ模型和本文模型在d*較小時,接觸剛度小于KE模型的接觸剛度;在d*較大時,呈現(xiàn)出接觸剛度大于KE模型的接觸剛度。

在塑性指數(shù)ψ=1.5、d*=1.6時,本文模型、GZQ模型和KE模型預測的K*分別為5.43×10-5、6.666×10-5和4.430×10-5,可以看出,本文模型的預測結果分別比KE模型別大了22.5%,比GZQ模型小了22.6%。

5 有限元仿真與試驗驗證

試驗裝置如圖27所示,由兩個半環(huán)試樣組成。兩個半環(huán)試樣在端面上通過M10螺栓聯(lián)接起來,形成一個完整的圓環(huán),端面的法向接觸壓力由螺栓預緊力提供。兩個半環(huán)試樣尺寸相同,內(nèi)徑為275 mm,厚度為35 mm。試驗過程中,在兩個試樣的外圓上布置加速度傳感器,通過錘擊法獲得結構的振型及固有頻率。

圖27 結合面固有頻率測定試驗裝置Fig.27 Test device for natural frequency measurement of joint surface

在端部結合面上分別施加法向接觸載荷0.6、0.8和1 MPa,然后記錄試樣在3種不同接觸載荷下的前三階振型和固有頻率。

圖28為通過ANSYS軟件建立的有限元模型。為了引入新的接觸剛度解析模型,應用虛擬材料法[17-21]模擬結合面之間的接觸特性,在半環(huán)的接觸區(qū)域構建一個含有虛擬材料的薄層。半環(huán)試樣模型選取solid185單元,總數(shù)為99 866個。由不同的理論接觸模型計算出接觸剛度,再通過參數(shù)設計語言APDL語言導入虛擬材料中,供有限元分析使用。有限元分析中的材料參數(shù)和試驗材料參數(shù)保持一致,如表3所示。

圖28 包含結合部的有限元模型Fig.28 Model including joints

表3 接觸試樣的材料參數(shù)

根據(jù)文獻[22-24]方法得到的接觸表面的輪廓統(tǒng)計參數(shù)為:表面輪廓高度偏差σ=1.01 μm,曲率半徑R=4.3 μm,微凸體中心水平距離分布偏差σ′=12.1 μm,塑性指數(shù)ψ=40。根據(jù)這些統(tǒng)計參數(shù)和所施加的法向面壓力,利用本文模型就可以計算出表4所示的法向接觸剛度Kn。為了對比,表4中也列出了KE模型和GZQ模型的法向接觸剛度。

表4 結合面接觸剛度

采用文獻[25]所建立的切向剛度模型獲得切向接觸剛度Kτ。通過功率譜密度法獲取本文試樣表面輪廓的分形參數(shù),試樣的分形參數(shù)D為1.809,G為1.302×10-11,將其代入文獻[25]的切向剛度模型,即可獲得表4所示的切向剛度Kτ。

法向面壓力為0.6 MPa時,本文模型與試驗模型固有頻率的對比見圖29。

(a)一階振型

如表5所示,在不同法向面壓力下,本文模型仿真得到的固有頻率與試驗固有頻率之間的最大相對誤差為8.2%,GZQ模型仿真的最大相對誤差為17.64%,KE模型仿真的最大相對誤差為18.9%。

表5 不同模型的仿真和試驗固有頻率對比

6 結 論

(1)微凸體側接觸中,微凸體中心水平距離分布規(guī)律影響著最終擴展到結合面上的接觸特性。本文對接觸表面的微觀形貌進行的研究表明,微凸體中心水平距離近似呈正態(tài)分布。

(2)基于統(tǒng)計理論和微凸體水平分布規(guī)律建立的本文模型與其他兩種模型進行的對比發(fā)現(xiàn),本文模型相較于KE模型,法向接觸剛度呈現(xiàn)出先減小后增加的趨勢,相較于GZQ模型,法向接觸剛度則小于GZQ模型。

(3)有限元分析和試驗結果顯示,本文模型與GZQ模型和KE模型相比,固有頻率與試驗值的相對誤差最小,證明本文模型更符合實際,能更準確地預測結合面間的法向接觸特性。