余松林，劉海初，潘江如，黃 勇

（新疆工程學(xué)院工程訓(xùn)練中心，新疆 烏魯木齊 830011）

1 引言

機(jī)械采棉已經(jīng)推廣到在我國大部分棉花生產(chǎn)基地，多工位傳動鏈?zhǔn)遣擅迿C(jī)摘錠多工位專用制造裝備的重要組成部分。圖1所示中間小齒輪與兩側(cè)大齒輪多齒耦合是多工位傳動鏈設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。文獻(xiàn)［1］在研究中發(fā)現(xiàn)由于多齒輪嚙合的影響，系統(tǒng)會在非固有頻率區(qū)出現(xiàn)振動的峰值，在傳動設(shè)計(jì)中需要考慮多齒輪嚙合對系統(tǒng)性能的影響。多齒嚙合對系統(tǒng)的影響主要受齒輪相位關(guān)系的影響，行星齒輪傳動就是典型的多齒嚙合。文獻(xiàn)［2］早在1967年都提出行星齒輪的相位與傳動噪聲有關(guān)。文獻(xiàn)［3］提出了嚙合相位關(guān)系由位置角和齒輪齒數(shù)確定。文獻(xiàn)［4］提出了重合度直接反應(yīng)齒輪工作中同時(shí)嚙合齒數(shù)的多少，是齒輪副連續(xù)平穩(wěn)工作的重要條件。文獻(xiàn)［5］提出來高重合度外嚙合齒輪齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算方法進(jìn)行了深入研究。文獻(xiàn)［6］提出了基于遺傳算法的高重合度圓柱齒輪傳動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)思想。文獻(xiàn)［7］提出了瞬時(shí)重合度的概念。

圖1 多齒輪嚙合示意圖Fig.1 More Gear Mesh Diagram

這里在諸多學(xué)者研究的基礎(chǔ)之上，通過對齒輪嚙合區(qū)域瞬時(shí)重合度的分析，推導(dǎo)出主動輪旋轉(zhuǎn)一個(gè)周期，瞬時(shí)重合度的變化頻率ω與Z、N1、N2之間的數(shù)學(xué)關(guān)系（Z為主動輪齒數(shù)，當(dāng)重合度ε為小數(shù)時(shí)，ε介于兩個(gè)正整數(shù)N1和N2之間），得出主動輪圓周均布n個(gè)從動輪的基本條件是ω/n為正整數(shù)，并求得從動輪之間相位角相差2π/n是滿足n對齒嚙合力相等的基本條件。建立高重合度齒輪多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，以理想點(diǎn)法為多目標(biāo)優(yōu)化理論，采用MATLAB遺傳算法直接搜索工具求解齒輪參數(shù)最優(yōu)解，通過Adams仿真驗(yàn)證在相同邊界條件下參數(shù)優(yōu)化后的齒輪嚙合力幅值更小，嚙合力變化更平穩(wěn)。

2 基于瞬時(shí)重合度的多齒嚙合力分析

齒輪嚙合的重合度不僅影響齒輪傳動的效率［8］，而且影響齒輪的平穩(wěn)性、可靠性和使用壽命，因此重合度是影響齒輪傳動性能的關(guān)鍵要素之一。

2.1 嚙合區(qū)域瞬時(shí)重合度分析

重合度是指齒輪嚙合線與基圓齒距的比值，反映的是工作齒輪嚙合輪齒對數(shù)的平均值。但是在實(shí)際傳動過程中，不可能為小數(shù)，齒輪嚙合的齒數(shù)會出現(xiàn)規(guī)律性變化，如圖2所示的齒輪嚙合重合度為1.688，實(shí)際嚙合線兩側(cè)0.668Pb（Pb為基圓齒距）為雙齒嚙合區(qū)域，中間的0.332Pb為單齒輪嚙合區(qū)域，因此齒輪的實(shí)際重合度（瞬時(shí)重合度）是非連續(xù)和交替變化的［9］。

圖2 因重合度變化嚙合剛度變化示意圖Fig.2 Because of Coincidence Degree Meshing Stiffness Changes

齒輪嚙合區(qū)域示意圖，如圖3所示。令齒輪的重合度ε介于兩個(gè)正整數(shù)N1與N2之間（N2=N1+1），Pb為基圓齒距，B1B2為齒輪嚙合線。在實(shí)際傳動過程中瞬時(shí)重合度只可能為N1或N2。結(jié)合齒輪嚙合區(qū)域示意圖經(jīng)分析可知B1C1和C2B2區(qū)間瞬時(shí)重合度為N2，C1C2區(qū)間瞬時(shí)重合度為N1。

圖3 圓柱齒輪嚙合區(qū)域示意圖Fig.3 Cylindrical Gear Meshing Area Map

由重合度的定義可知：

式中：B1B2—齒輪嚙合線長；Pb—基圓齒距；ε—重合度。

由（1）可知：

式中：B1C1和C2B2—重合度為N2嚙合區(qū)域；ε—介于兩個(gè)正整數(shù)N1和N2的重合度（N1＜ε＜N2）則：

式中：C1C2—重合度為N1的嚙合區(qū)域

式中：m—模數(shù)；ɑ—壓力角。

由式（1）～式（4）可知B1C1，C1C2與齒輪壓力角ɑ和模數(shù)m間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

2.2 多齒嚙合力分析

多齒嚙合時(shí)，如果瞬時(shí)重合度不等，則會出現(xiàn)齒輪傳動偏載，傳動失去平衡，增大傳動噪聲，使系統(tǒng)的振動峰值出現(xiàn)在非固有頻率區(qū)［11］。1個(gè)主動輪同時(shí)與2個(gè)相同從動輪均載嚙合傳動平穩(wěn)后，瞬時(shí)重合度不等時(shí)嚙合力變化情況，在同一時(shí)刻兩對齒嚙合瞬時(shí)重合度不等則接觸應(yīng)力不等。因此多齒嚙合瞬時(shí)重合度相等及其重要，尤其是多齒均載荷的工況，會減少輪齒傳動過程中的沖擊，延長齒輪的壽命。

圖4 瞬時(shí)重合度不等嚙合力變化規(guī)律示意圖（ε=1.79）Fig.4 The instantaneous Contact Ratio of Different Contact Force Change Rule

齒輪在嚙合過程中瞬時(shí)重合度是非連續(xù)性規(guī)律變化，當(dāng)一對齒輪進(jìn)入嚙合狀態(tài)時(shí)，N2對齒進(jìn)入B1C1嚙合區(qū)域，隨著時(shí)間的推移，將會有1對齒脫離嚙合，出現(xiàn)N1對齒嚙合進(jìn)入C1C2嚙合區(qū)域。當(dāng)進(jìn)入C2B2嚙合區(qū)域時(shí)，又將會有N2對齒工作，如此往復(fù)循環(huán)。瞬時(shí)重合度變化規(guī)律，如圖5所示。

圖5 瞬時(shí)重合度變化規(guī)律示意圖Fig.5 The Instantaneous Contact Ratio Change Rule

由圖5可知，瞬時(shí)重合度變化一個(gè)周期，嚙合線的長度為N1Pb。由于主動輪旋轉(zhuǎn)一周嚙合線總長度為Z*Pb，則輪齒瞬時(shí)重合度的變化頻率為：

式中：ω—輪齒瞬時(shí)重合度的變化頻率；Z—主動輪齒數(shù)。

為了保證多對齒輪嚙合的重合度時(shí)刻相等，則多個(gè)從動輪必須以相同的步調(diào)與主動輪嚙合。如主動輪圓周均布n個(gè)從動輪，必須滿足ω/n為正整數(shù)，則從動輪之間相位角相差2π/n。滿足以上條件的兩對齒嚙合平穩(wěn)后的嚙合力變化規(guī)律示意圖，如圖6所示。

圖6 瞬時(shí)重合度相同嚙合力變化規(guī)律示意圖（ε=1.8441）Fig.6 The Instantaneous Contact Ratio is the Same Contact Force Change Rule

由上圖可知，在同一時(shí)刻嚙合力大小基本相等，但由于重合度不高（ε=1.8441），傳動中會有單齒嚙合，導(dǎo)致嚙合力會出現(xiàn)線性變化，在單齒嚙合和雙齒嚙合交替時(shí)會有一定的沖擊，因此提高重合度是保證傳動平穩(wěn)的有效途徑。

3 齒輪多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)建模

齒輪重合度是決定齒輪傳動連續(xù)性和平穩(wěn)性重要因素。由1.1和1.2的分析可知，齒輪的模數(shù)m和壓力角ɑ對瞬時(shí)重合度和重合度都有直接的影響。在多對齒輪嚙合的齒輪參數(shù)設(shè)計(jì)中，不只是要滿足常規(guī)齒輪設(shè)計(jì)的膠合度，傳動比，接觸強(qiáng)度以及彎曲強(qiáng)度等限制還要對齒輪齒數(shù)以及重合度等加以控制，采用多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)是滿足這種設(shè)計(jì)要求最快速有效的辦法之一。

3.1 目標(biāo)函數(shù)確定

3.1.1 高重合度

令第一目標(biāo)函數(shù)為：

式中：ɑɑ1—齒輪1的齒頂圓的壓力角；

ɑɑ2—齒輪2的齒頂圓的壓力角；

ɑ′—嚙合角；

Z1，Z2—主動輪和從動輪齒數(shù)；

ε—重合度。

其中，

3.1.2 等彎曲強(qiáng)度

齒輪安全系數(shù)是齒輪可靠性的重要指標(biāo)，在齒輪設(shè)計(jì)中確保嚙合齒輪壽命接近，縮小嚙合齒輪安全系數(shù)差，這里令嚙合齒輪安全系數(shù)差最小為第二目標(biāo)函數(shù)。

式中：SF1，SF2，，σFE1，σFE2，b1，b2，m，Z1，Z2，K1，K2，T1，T2，YFɑ1，YFɑ1，YSɑ1，YSɑ2—嚙合齒輪主從動輪彎曲強(qiáng)度安全系數(shù)，彎曲疲勞極限，齒寬，模數(shù)，齒數(shù)，載荷系數(shù)，扭矩，齒形系數(shù)，應(yīng)力修正系數(shù)。

3.2 施加約束條件

（1）接觸強(qiáng)度約束

式中：SH1，SH2，SHmin，σHlim，b1，b2，d1，d2，ZE，K1，K2，T1，T2，u—嚙合齒輪主從動輪接觸強(qiáng)度安全系數(shù)，最小接觸安全系數(shù)，接觸疲勞強(qiáng)度極限，齒寬，分度圓直徑，彈性系數(shù)，載荷系數(shù)，轉(zhuǎn)矩，齒數(shù)比。

（2）彎曲強(qiáng)度限制

式中：SFmin—最小彎曲安全系數(shù)。

（2）重合度約束

ε≥2，若ε＞或=2，可以確保齒輪傳動過程中至少兩對齒嚙合，提高輪齒的承載能力和傳動平穩(wěn)度。

（4）膠合強(qiáng)度限制

由于膠合是高重合度齒輪傳動的主要失效形式之一，當(dāng)重合度1≤ε≤3.5就要考慮膠合強(qiáng)度，尤其是高重合度（ε≥2），因此有必要對膠合強(qiáng)度加以約束。

式中：SB—齒輪膠合強(qiáng)度安全系數(shù)；

SBmin—最小膠合強(qiáng)度安全系數(shù)。

（5）傳動比限制

式中：Z1，Z2—傳動齒輪的齒數(shù)，且為正整數(shù)。

（6）齒數(shù)約束

（7）壓力角約束

壓力角是齒輪的重要參數(shù)之一，隨著壓力角的針大，齒輪的抗彎曲強(qiáng)度，抗膠合強(qiáng)度以及接觸應(yīng)力等都會逐漸增強(qiáng)，但壓力角過大則影響齒輪嚙合的重合度。國內(nèi)常見齒輪壓力角為20°，但是不少學(xué)者的針對壓力角的研究范圍選擇是（15～25）°。

3.3 變量選擇

由確定的目標(biāo)函數(shù)可知，影響目標(biāo)函數(shù)的變量因子有嚙合齒輪的齒數(shù)Z1，Z2，齒輪模數(shù)m，齒寬b1，b2和壓力角ɑ。

令優(yōu)化設(shè)計(jì)變量X=（X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7）=（Z1，Z2，m，b1，b2，ɑ）

4 齒輪參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化

4.1 優(yōu)化理論

針對多目標(biāo)優(yōu)化問題通常都是將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題，通過采用加權(quán)系數(shù)法找到最優(yōu)解。但加權(quán)系數(shù)法是人為的根據(jù)實(shí)際情況對多個(gè)目標(biāo)函數(shù)設(shè)置權(quán)重，具有一定主觀性。理想點(diǎn)法可以彌補(bǔ)加權(quán)系數(shù)法的不足，所謂理想點(diǎn)法就是先求解p個(gè)單目標(biāo)的最優(yōu)解：

然后求評價(jià)函數(shù)Ф（z）的極小值minФ［f（x）］。

函數(shù)minФ［f（x）］的解就是所求的近似最優(yōu)解。

4.2 優(yōu)化求解

從齒輪優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可以知道，該數(shù)學(xué)模型包含2個(gè)目標(biāo)函數(shù)和10個(gè)約束條件，約束條件中既有邊界約束也有非線性約束。這種多變量多目標(biāo)優(yōu)化的本身特點(diǎn)很適合采用MATLAB遺傳算法和MATLAB直接搜索工具來處理。但MATLAB遺傳算法通常的計(jì)算結(jié)果是最優(yōu)解集，而MATLAB直接搜索工具可以說是MATLAB遺傳算法其他優(yōu)化方法的補(bǔ)充，它可以在邊界的條件，線性不等式，線性等式以及非線性約束中進(jìn)一步找到最優(yōu)解。因此選用MATLAB直接搜索工具優(yōu)化更為合理［10］。

經(jīng)計(jì)算和查閱手冊可得以下參數(shù)，如表1所示。

表1 計(jì)算和查閱手冊參數(shù)Tab.1 Calculate and Consult Manual Parameters

根據(jù)以上參數(shù)求解minf1，minf2可得：目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解minf1=0.00322263，minf2=-2.06923且自變量X1=（17，300，1，29，25，17），X2=（50，300，2，30，30，17）。

將以上單目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解代入評價(jià)函數(shù)Ф（z）的極小值minФ［f（x）］可得：

經(jīng)計(jì)算可得minФ［f（x）］最優(yōu)解0.00325，且對應(yīng)自量值X=（50，300，1，29，25，17）。

根據(jù)以上分析可知，滿足使用要求的齒輪參數(shù)最優(yōu)解為：

圖7 minФ[f（x）]迭代最優(yōu)值及最終解對應(yīng)變量值Fig.7 minФ[f（x）]Iterative Optimal Value and Final Solution to the Strain Value

根據(jù)以上分析可知，滿足使用要求的齒輪參數(shù)最優(yōu)解為：

X=（Z1，Z2，m，b1，b2，ɑ）=（50，300，1，29，25，17）。經(jīng)優(yōu)化得到的參數(shù)主動輪圓周均布n個(gè)從動輪，ω/n應(yīng)為正整數(shù)，從動輪之間相位角相差2π/n這一基本條件。將參數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)minf2可得重合度ε=2.0692。

4.3 仿真驗(yàn)證

對三組不同參數(shù)齒輪分別按照X1=（Z1，Z2，m，b1，b2，ɑ）=（43，300，2.5，25，25，20），X2=（Z1，Z2，m，b1，b2，ɑ）=（50，300，2.5，25，25，20），X3=（Z1，Z2，m，b1，b2，ɑ）=（50，300，1，29，25，17）進(jìn)行三維建模導(dǎo)入ADAMS仿真。首先對齒輪定義轉(zhuǎn)動副，并通過STEP運(yùn)動函數(shù)定義中間小齒輪旋轉(zhuǎn)驅(qū)動，再對兩側(cè)大齒輪施加作用力矩并創(chuàng)建中間小齒輪與兩側(cè)大齒輪接觸，再通過建立測量函數(shù)測量仿真過程中齒輪對接觸力的大小和變化，最后進(jìn)行如圖8所示仿真求解，為了計(jì)算的更精準(zhǔn)定義仿真終止時(shí)間為1s，仿真步數(shù)為50000步。

圖8 仿真求解Fig.8 Simulation Solution

三組齒輪仿真邊界條件設(shè)置一致，經(jīng)求解發(fā)現(xiàn)接觸力都有從大到小逐且漸趨向平穩(wěn)的特征，但由于三組齒輪對基本參數(shù)選擇不同，傳動平穩(wěn)后嚙合力具有變化特點(diǎn)，如圖9所示。

圖9 齒輪嚙合力變化規(guī)律對比Fig.9 Contrast of Variation Law of Gear Meshing Force

由以上可知，X1組齒輪參數(shù)不能滿足兩對齒輪瞬時(shí)重合度相等，所以在同一時(shí)刻兩對齒嚙合接觸應(yīng)力不等，且出現(xiàn)較大峰值；X2組齒輪參數(shù)能滿足兩對齒輪瞬時(shí)重合度相等，在同一時(shí)刻嚙合力大小基本相等，但由于重合度不高（ε=1.8441），導(dǎo)致接觸力出現(xiàn)線性變化；X3組齒輪參數(shù)能滿足兩對齒輪瞬時(shí)重合度相等且重合度較高（ε=2.0692），兩對齒輪齒嚙合步調(diào)一致，嚙合力大小相等，接觸力呈現(xiàn)非線性變化，傳動更平穩(wěn)。

5 結(jié)論

對采棉機(jī)摘錠雙主軸分散式多工位一體機(jī)多工位傳動鏈多齒嚙合齒輪參數(shù)優(yōu)化研究，基于齒輪嚙合區(qū)域瞬時(shí)重合度的分析齒輪對嚙合力變化情況，通過理想點(diǎn)法對齒輪參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化和ADAMS仿真驗(yàn)證得到如下結(jié)論：

（1）推導(dǎo)出滿足主動圓周均布n個(gè)從動輪，齒輪對嚙合力相等的基本條件：ω/n為正整數(shù)，則從動輪之間相位角相差2π/n（ω=Z/N1，ω為瞬時(shí)重合度變化頻率，N1≤ε≤N2，N2=N1+1，N1，N2均為正整數(shù)）；

（2）完成了圓柱齒輪參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)建模，以理想點(diǎn)法為基本理論，提出圓柱齒輪多齒外嚙合多目標(biāo)多約束的齒輪設(shè)計(jì)方法；

（3）以MATLAB遺傳算法直接搜索工具為對高重合度多目標(biāo)多變量齒輪參數(shù)優(yōu)化，將參數(shù)代入ADAMS仿真驗(yàn)證，多齒嚙合力大小相等，嚙合力變化平穩(wěn)，能滿足采棉機(jī)摘錠雙主軸分散式多工位一體機(jī)多工位傳動鏈的使用要求。