劉鈍

[編者按]語言與數(shù)學(xué)密不可分。任何自然語言都有關(guān)于數(shù)的詞語，有各自的進(jìn)位系統(tǒng);而且，數(shù)學(xué)作為一切科學(xué)的基礎(chǔ)（達(dá)爾文語），定義精準(zhǔn)，推理嚴(yán)密，對語言表述（尤其是學(xué)術(shù)語言）和思維有深刻的影響。本期專欄邀請了4位數(shù)學(xué)史家，從不同的角度討論數(shù)學(xué)與語言的關(guān)系。

本文所論之大數(shù)名和小數(shù)名，指中文中對較大和較小數(shù)值單位的特定稱謂，并不表示絕對的大小關(guān)系。如同其他早期文明一樣，中國人對大數(shù)的認(rèn)識是逐步發(fā)展的，甲骨文中最大的數(shù)詞是“萬”，雖然出現(xiàn)了“兆、京”等字，但不做數(shù)詞。先秦文獻(xiàn)中“億”“兆”并見，但都表示“很多”而無固定的對應(yīng)量級（后世儒生的注疏另作別論）。南北朝董泉所撰《三等數(shù)》，應(yīng)是系統(tǒng)介紹大數(shù)記法的書，可惜早已亡佚。從唐代學(xué)官把它與北周甄鸞《數(shù)術(shù)記遺》并列為輔助讀物來看，其內(nèi)容恐與《數(shù)術(shù)記遺》有相似之處，而后書中介紹的三等數(shù)，正是萬以上的大數(shù)記法，原文為：

黃帝為法，數(shù)有十等。及其用也，乃有三焉。十等者，億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載。三等者，謂上、中、下也。其下數(shù)者，十十變之，若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也。中數(shù)者，萬萬變之，若言萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京也。上數(shù)者，數(shù)窮則變，若言萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京也。從億至載，終于大衍。下數(shù)淺短，計事則不盡。上數(shù)宏廓，世不可用。故其傳業(yè)，惟以中數(shù)耳。

公元400年前后成書的《孫子算經(jīng)》“大數(shù)之法”一節(jié)從“億”到“載”都從萬萬進(jìn)，相當(dāng)于上述中等記數(shù)法;而“量之所起”一節(jié)從“億”到“載”都從十進(jìn)，相當(dāng)于上述下等記數(shù)法。敦煌文獻(xiàn)中有兩種唐代算經(jīng)也涉及大數(shù)記法：其中編號為P.3349、S.0019和S.5779的3種寫經(jīng)實為同一部書，介紹的是中等記數(shù)法，不同的是“載”后還有一個單位“極”（萬萬載曰極）;編號為S.0930的一種介紹的是下等記數(shù)法。

唐代所譯佛經(jīng)中又出現(xiàn)了許多印度數(shù)名（數(shù)詞），例如實叉難陀所譯《大方廣佛華嚴(yán)經(jīng)》在“萬”后面就提到124個數(shù)名，第一個“洛叉”等于10萬，第二個“俱胝”等于1000萬，從“俱胝”開始皆按“數(shù)窮則變”的上等記數(shù)法進(jìn)位，如“俱胝”個“俱胝”等于1個“阿庾多”（100萬億）。佛經(jīng)所譯數(shù)名大多佶屈聱牙，其中有些也被中國采用，成為漢語中的數(shù)詞。元代朱世杰《算學(xué)啟蒙》在“載”之后，就還有“極、恒河沙、阿僧祗、那由他、不可思議、無量數(shù)”等大數(shù)單位，大多來自佛經(jīng)。

實際生活中，“億、兆”之后的大數(shù)很少用到，兩字連用的“億兆”通常表示很大的數(shù)目。另一方面，由于古代官方數(shù)學(xué)教育承認(rèn)“三等數(shù)”均合乎法度，人們對“億、兆”的量級就難免產(chǎn)生困惑。舉個例子，嚴(yán)復(fù)《論中國之阻力與離心力》中稱“二萬里之地，四百兆之人”，這里的“兆”相當(dāng)于百萬，“四百兆”就是“四萬萬”，其實他用的是逢十進(jìn)位的“下等記數(shù)法”，即十萬為億，十億（即百萬）為兆;而我們今天所用的“億”，則是“中等記數(shù)法”的結(jié)果，即萬萬為億。

至于小數(shù)，中國古代一般借助十進(jìn)制長度單位來表達(dá)，如果以尺為基本單位（相當(dāng)于數(shù)字1），以下依次為“寸、分、厘、毫、絲、忽、微”。公元3世紀(jì)數(shù)學(xué)家劉徽說：“微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退至彌下，其分彌細(xì)”，建議采取十進(jìn)小數(shù)表達(dá)更小的數(shù)值單位而無須給出具體名目?！端鍟ぢ蓺v志》記祖沖之以圓徑一丈，推出“圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽”，相當(dāng)于給出3.1415926 < π < 3.1415927，所謂祖沖之將圓周率近似值精確算到小數(shù)點后第6位和第7位之間，其根據(jù)就在這里。

南宋秦九韶《數(shù)書九章》曾用“沙、莽、輕、清、煙”等字表示十進(jìn)小數(shù)。朱世杰《算學(xué)啟蒙》卷首列出大、小數(shù)名目，其小數(shù)在“微”以下還有“纖、沙”兩個單位，俱為十進(jìn)（退）;下面依次為“塵、埃、渺、漠、模糊、逡巡、須臾、瞬息、彈指、剎那、六德、虛、空、清、凈”，都是萬萬進(jìn)（退），例如1沙等于1萬萬塵，1塵等于1萬萬埃，等等。后面那些小數(shù)名目顯然也來自佛經(jīng)，不過在經(jīng)文中只是表示很小的事物或很短的時間，并無精確的數(shù)值意義。

為了表達(dá)很大或很小的數(shù)目，近世普遍采用A × 10n形式的科學(xué)記數(shù)法，其中A為1～10之間的有理數(shù)，n為整數(shù)（n為正整數(shù)則全數(shù)大于1，n為負(fù)整數(shù)則全數(shù)小于1），這樣大數(shù)或小數(shù)的量級就一目了然，既不需要大數(shù)或小數(shù)的專名，也無須借助分隔符來判斷數(shù)目的量級。舉例來說，阿伏伽德羅常數(shù)6.02214 × 1023，一看就知道是個6打頭的24位數(shù);電子的靜止質(zhì)量以千克計的數(shù)值為9.10938 × 10- 31，是一個小數(shù)點后連續(xù)30個0后才出現(xiàn)第一個有效數(shù)字9的數(shù)。

西方許多語言中都有“千、百萬、十億、萬億”等千進(jìn)位的數(shù)詞專名，現(xiàn)在通行的阿拉伯?dāng)?shù)字寫法每3位用一逗號分隔的方法，就是西方人為了辨識和誦讀大數(shù)而使用的一種手段。與此相應(yīng)，當(dāng)代許多物理單位也是根據(jù)千進(jìn)原則劃分量級的，如重量單位的“納克（ng，10- 9克）、微克（μg，10- 6克）、毫克（mg，10- 3克）、克（g）、公斤（kg，103克）、噸（t，106克）”，長度單位的“納米（nm，10- 9米）、微米（μm，10- 6米）、毫米（mm，10- 3米）、米（m）、千米（km，103米）”，等等。

人類進(jìn)入數(shù)字化時代之后，計算機(jī)信息技術(shù)中用于表達(dá)存儲量的單位就顯得格外重要了，一些漢字被賦予新意進(jìn)入我們的日常生活，但也往往給一些人帶來困惑。比如說表示電子設(shè)備存儲量或像素大小的“兆”，就是個百萬級（106）的量，與嚴(yán)復(fù)的“四百兆之人”意思類似;而在其他場合，它又可能是萬億級（1012）或億億級（1016）的量。實際上，表達(dá)信息量的等級是按準(zhǔn)千進(jìn)原則劃分的，因為進(jìn)位數(shù)值210 = 1024，接近1000。信息量的基本單位是字節(jié)（Byte，簡寫作B），向上依次為千字節(jié)（KB，1024B）、兆字節(jié)（MB，10242B）、吉字節(jié)（GB，10243B）、太字節(jié)（TB，10244B）、拍字節(jié)（PB，10245B）、艾字節(jié)（EB，10246B）、澤字節(jié)（ZB，10247B）、堯字節(jié)（YB，10248B）……。堯字節(jié)中的“堯”字，已經(jīng)代表一個很大的數(shù)詞了，將其展開是1 208 925 819 614 629 174 706 176。