周浦吉

（常州市武進區(qū)鳴凰中心小學，江蘇常州 213000）

一、當前背景

傳統(tǒng)“應(yīng)用題”教學留下“熟悉類型—識別類型—套用解題方法”的基本模式。以發(fā)展的眼光來看，類似這樣機械的數(shù)量關(guān)系教學并不可取。而新課改后的教學又將關(guān)注的重心過多地放在對信息的收集、整理上，對數(shù)量關(guān)系的形成與分析顯得比較單薄，導致教學從“生活情境”直接走向“應(yīng)用”，忽視了“數(shù)量關(guān)系形成”這個重要的數(shù)學建模過程。這樣的教學，勢必會削弱學生解決問題的思考能力，縮小學生的數(shù)學理解空間，這與新課程要求“解決問題”教學所要達到的目標相去甚遠。

二、實質(zhì)內(nèi)涵

數(shù)學的本質(zhì)是：在認識數(shù)量的同時認識數(shù)量之間的關(guān)系，在認識數(shù)的同時認識數(shù)之間的關(guān)系。數(shù)量之間最基本的關(guān)系是多與少，因此數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多與少。他認為小學應(yīng)用題從本質(zhì)看，只有三種類型：1.總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間；2.植樹問題；3.歸一法問題，其余都是變式題型。

我們也可以將四則運算意義分為兩大類，一類是部分量與總量的從屬關(guān)系，另一類是兩個量的比較關(guān)系。

簡單地講，小學數(shù)量關(guān)系就是加、減關(guān)系、乘、除關(guān)系以及復合關(guān)系。加減計算是一切計算的基礎(chǔ)，由此產(chǎn)生的加減關(guān)系自然成為所有數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，加減關(guān)系從小學一年級一直延伸到六年級。加減法的關(guān)系具體表現(xiàn)在兩方面，一方面是部分與總數(shù)的部總關(guān)系可以有不同的呈現(xiàn)方式讓學生感知；對加法的逆運用——從總數(shù)中減少一部分數(shù)。另一方面是比較類，也就是比大小，相差關(guān)系。

而對于乘除法，乘法本身產(chǎn)生于加法，是一種簡便的加法，每個加數(shù)都相同的連續(xù)加法就是乘法；同理除法也是一種特殊的減法，連續(xù)遞減同一個數(shù)，直至減完為止，就是除法。因此對應(yīng)的乘除法關(guān)系也有兩大類，一類是總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)關(guān)系；讓學生體會到乘法的三種模型：連加、數(shù)軸和矩陣，并且熟識它們之間的轉(zhuǎn)化。乘除法的第二類關(guān)系是比較類，該類關(guān)系是把較小的數(shù)看成一份，較大的數(shù)有這樣的幾份，或者把較大的數(shù)看成單位“1”，較小的數(shù)有這樣的幾分之幾。

復合數(shù)量關(guān)系就是既有加減關(guān)系，又有乘除關(guān)系。實際來說，復合類解決問題才是教學的難點，復合應(yīng)用題需要同學們能理解兩層邏輯關(guān)系，先抓住題干中的主要數(shù)量關(guān)系，然后再尋找子元素下的分數(shù)量關(guān)系，就能有效解題了。

一上已經(jīng)滲透了部總、相差和分總關(guān)系，一下有大量的部總和相差關(guān)系，二上是更抽象的相差關(guān)系和分總關(guān)系。也就是到二上為止孩子們對于部總、相差和分總之間的關(guān)系應(yīng)該是比較清楚的了。二下是兩步計算的問題，以及分總關(guān)系的一種變形。到三上是倍數(shù)關(guān)系，并且出現(xiàn)連除的問題。這就要求前期對數(shù)量關(guān)系是非常熟悉和熟練的。到三上為止，基本的數(shù)量關(guān)系都出現(xiàn)了，并且都應(yīng)該是比較熟練的。三下還有連乘的問題。后期都是把數(shù)量關(guān)系柔和到一起進行使用，因為出現(xiàn)兩步甚至三步的解決問題。其實還是萬變不離其宗的。從三上開始出現(xiàn)解決問題的策略，每冊書一種策略。

三、教學策略

數(shù)量關(guān)系的教學，承載著學生“由表及里，由淺入深”的質(zhì)的飛躍。教師的教學應(yīng)“深入淺出”，學生的學習應(yīng)“淺入深處”。如何把握這“深”與“淺”的度，我們認為可以從以下幾個方面嘗試：低段啟蒙 感知數(shù)量關(guān)系、情境感悟 提煉數(shù)量關(guān)系、全程貫穿 分析數(shù)量關(guān)系和生活中數(shù)學靈活選擇數(shù)量關(guān)系。

策略（一）：低段啟蒙 感知數(shù)量關(guān)系

在前面我們已經(jīng)提到：四則運算的意義是數(shù)量關(guān)系最為基本的模型，數(shù)量關(guān)系與四則運算是相伴相生的，所以數(shù)量關(guān)系的教學要伴隨著四則運算同步進行，在四則運算意義教學中有效滲透數(shù)量關(guān)系，做到低段啟蒙，感知數(shù)量關(guān)系。如在二上學完表內(nèi)除法后，設(shè)計了這樣一題：根據(jù)這幅圖，請學生說說下面算式的意思：8＋2、8-2、8×2、8÷2。學生的回答是比較精彩的：8＋2表示買1個文具盒和1塊橡皮一共要多少錢。8-2表示買1個文具盒比1塊橡皮要貴幾元錢。8×2表示買2個文具盒要多少錢。8×2表示買8塊橡皮要多少錢。8÷2表示買1個文具盒的錢可以買幾塊橡皮。這是一個比較復雜的問題，引導學生主動把實際問題與加減法和乘除法的意義聯(lián)系起來，有利于學生加深理解數(shù)量關(guān)系，發(fā)展學生的求異思維能力。

只有以各種方式不斷拓展對運算本質(zhì)的理解，才能逐步完善學生對運算意義的建構(gòu)。在此過程中學生也會有意識地思考情境中的問題與運算意義的聯(lián)系，基本數(shù)量關(guān)系的教學也得到潛移默化的滲透。

策略（二）：情境感悟 提煉數(shù)量關(guān)系

新教材提倡讓學生自主經(jīng)歷，從實際問題情境中探索隱含的數(shù)學模型，然后去解決數(shù)學問題，體現(xiàn)數(shù)學的過程。

如二上40頁習題：一包餅干是4元，一塊蛋糕是3元，一盒巧克力是6元，那么3包餅干、5塊蛋糕和2盒巧克力分別是多少元？教師可以大膽放手。首先讓學生自己計算，出示算式，讓學生初步感受到一包餅干、一塊蛋糕和一盒巧克力的價格是“幾個幾”中第二個“幾”，3包、5塊和2盒是第一個“幾”，其實就是每個物品的價格、物品個數(shù)、物品的總價。并且通過觀察、比較，學生還會發(fā)現(xiàn)三個算式的共性，找到三者之間的關(guān)系，從而構(gòu)建出“每個物品的價格×物品個數(shù)=物品的總價”這一具體的數(shù)量關(guān)系，其實也是“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”的具化。在教學的時候，就可以滲透單價、數(shù)量、總價的概念了，構(gòu)建總價類數(shù)量關(guān)系。

其次，也可以采用一些已有的生活常識與經(jīng)驗來增強學生的“數(shù)感”訓練。如利用學生熟悉的購物經(jīng)驗，可以進行總價數(shù)量關(guān)系的專項練習；也可以利用學生熟悉的路程問題，進行對比梳理。幫助學生建構(gòu)常見的數(shù)量關(guān)系。

策略（三）：全程貫穿 分析數(shù)量關(guān)系

并不是當我們遇到一個問題，才想起數(shù)量關(guān)系教學；數(shù)量關(guān)系的教學也不是一蹴而就的，必須經(jīng)歷由特殊到一般、由量變到質(zhì)變、由感性到理性、由具體到抽象等過程。

如三下長方形和正方形面積教學，學生通過列表感悟長、寬與面積的關(guān)系；再出示圖形，分割，發(fā)現(xiàn)一行有5個小正方形，有這樣的3行，所以小正方形的個數(shù)是3×5得15個。這里就包含著簡單的數(shù)量關(guān)系——分總關(guān)系，從而分析出具體的數(shù)量關(guān)系——長×寬=面積，從而類比出正方形面積計算公式。

而對于平行四邊形、三角形和梯形的面積的計算學生存在很大的問題，因為在教學中往往會忽略探討問題的過程，從而學生只記公式，最后公式經(jīng)常記錯，比如平行四邊形的面積會把兩條邊的長度乘起來，這種問題究其本質(zhì)，是因為學生沒有真正理解平行四邊形的面積公式是如何利用數(shù)量關(guān)系推導而來的,北京特級教師劉延革老師是這樣教學的：

師：長方形的面積=長×寬，長表示什么意思？寬呢？

生：長是一行有多少個面積單位，寬表示一列有多少個面積單位，面積就表示有多少個面積單位。

師：正方形面積=邊長×邊長，在計算面積時，邊長表示什么意思？

生：和長方形一樣，都是一行有多少個面積單位和一列有多少個面積單位。

師：再想想長方形和正方形在計算面積的時候有什么相同的地方？

明確：有兩條邊相乘，第一個數(shù)表示一行有幾個面積單位，第二個數(shù)表示一列有幾個面積單位也就是有幾行，最后算得一共有多少個面積單位。

追問：誰再來說一說？

提問：你能用剛剛的方法解決平行四邊形的面積嗎？

學生操作活動。

交流探討學生都想到要轉(zhuǎn)化成一個長方形或幾個長方形來計算。

提問：每行單位面積的個數(shù)對應(yīng)平行四邊形的哪里？行數(shù)呢？

推導公式：平行四邊形的面積=底×高。

……

劉延革老師在新授課前做了很多鋪墊，復習長方形和正方形的面積公式，可是她不光光復習面積公式，更多的是復習面積推導方法，從而為后面的教學提供了有力的保障。事實上面積公式的探究權(quán)利應(yīng)該教給學生，學生進行操作活動，將新圖形轉(zhuǎn)化成學過的已知圖形，找到新舊兩個圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，推導出公式，從而抽象出“直角模式”：一行單位面積的個數(shù)和行數(shù)，所有圖形的面積都是由幾行單位面積堆疊出來的，要找到這樣堆疊的單位面積就需要進行轉(zhuǎn)化成有直角的圖形——長方形，那么計算面積的時候就得把底和高相乘，而不是兩條邊相乘，同樣地，如果接下來梯形或者圓形的面積公式孩子也會有一些方法，而不會盲目效仿記憶公式。

面對一個問題情境，比如三上《長方形和正方形》教學，籃球場長28米，寬15米。籃球場的周長是多少米？教師應(yīng)鼓勵學生基于自己已有的知識經(jīng)驗自主構(gòu)建“原生態(tài)”的數(shù)量關(guān)系，大部分學生都會得到求周長的方法：長+寬+長+寬，在此基礎(chǔ)上，教師可以引導學生進一步轉(zhuǎn)換思維視角，獲得更簡單、更為概括的數(shù)量關(guān)系第一次簡化：長×2+寬×2，第二次簡化：（長+寬）×2，通過對這一數(shù)量關(guān)系的變式運用，實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)化遷移，從而貫穿我們教學的始終，學生有了這樣的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)化遷移的經(jīng)驗，自然而然地會發(fā)現(xiàn)在解決問題時，一開始方法可能復雜的，可是隨著探究數(shù)量關(guān)系的遷移，問題會越來越簡單，也許這才是新課標中說的真正地解決問題吧。

目前，很多職業(yè)院校會計教學仍然是“一支粉筆走天下，一塊黑板寫春秋，一本教材定乾坤”，現(xiàn)代化的會計教具和教學手段十分有限，硬件設(shè)備落后，會計實訓器材缺乏，會計模擬實訓室不能充分發(fā)揮作用，實訓基地不足，實訓課成了名副其實的“副課”“加時課”，不能將原理與實務(wù)、手工記賬與會計電算化、會計核算與分析有機結(jié)合,不能滿足學生學習會計專業(yè)知識的需求。[1]

策略（四）：靈活運用 提煉數(shù)量關(guān)系

在教學中，數(shù)量關(guān)系是解決問題的途徑，既是可操作的方法，也是解決問題的策略，因此數(shù)量關(guān)系教學應(yīng)與解決問題的策略互相滲透。傳統(tǒng)應(yīng)用題教學中，分析法和綜合法是運用最多的具體方法，值得我們學習。它們有別于針對解決某類典型問題的單項技能技巧，具有廣泛的基礎(chǔ)性、遷移性和普適性，是解決任何問題都需要具備的最基本的能力。

教材還介紹了畫圖法、列舉法、倒推法、替換法和假設(shè)法。這些策略與數(shù)量關(guān)系分析，是你中有我，我中有你，并不是孤獨存在的?？墒遣还苁悄姆N方法可能都是孩子解決問題的策略，在策略中需懂得其中的本質(zhì)方法——數(shù)量關(guān)系，如植樹問題一直是教學中的一個難點，但是我想難就難在沒有懂得其中真正的數(shù)量關(guān)系，也就是明確點和段的關(guān)系。浙江特級教師俞正強老師是這樣教學的：

師：20米，5米分1段，共分幾段？

生：4段。

師：為什么？

生：因為20 ÷4=5。

師：為什么用除法解決？不用加、減法？

生：因為是平均分的問題。

師：你可以用圖形來表示嗎？

學生畫圖

師：20米，5米種一棵樹，共種幾棵？

生：4棵。

師：有不同意見嗎？

生：前面還有一棵，所以應(yīng)該4+1=5（棵）。

師：到底是4棵還是5棵？怎么證明是5棵？

生：用畫圖的方法。

師：好，那你們?nèi)ピ囋嚒?/p>

學生都畫圖。

師：實際上這是什么問題？

生：平均分的問題，所以用除法。

師：后面為什么還要加1？這兩個問題的相同點是什么？不同點是什么？

生1：相同點是都是平均分的問題，不同點一個有1道算式，另一個有2道算式。

生2：第一個是求“段”的，第二個是求“點”的。

師：樹是種在哪里的？

生：種在點上。

師：1段有幾個點？2段？3段呢？

……

不管最后是一頭種樹，還是兩頭種樹還是兩頭都不種樹，學生都能通過畫圖的方式明確是求點的問題，都是平均分成幾段后加1，再從圖上看哪里不種，再用點數(shù)減幾就能得到正確的答案，這樣學生不需要再去刻意地記憶公式，只需要記住畫圖的方法就可以了，最后也培養(yǎng)了學生探究數(shù)學規(guī)律的能力，學生的感悟也非常深刻，這樣的教學真的非常棒！

最后，學生數(shù)量關(guān)系的形成低段啟蒙是重點，提煉概括是升華，全程貫穿是保證，靈活運用是關(guān)鍵。新一輪課程改革中如何引領(lǐng)學生更好地提煉數(shù)量關(guān)系，需要全體教師的主動參與，更應(yīng)該以新的觀念、揚棄的態(tài)度，傳承精華、開拓創(chuàng)新，讓學生動態(tài)探索，真正達到靈活運用數(shù)量關(guān)系的目的。