湖北省咸寧市教育科學研究院(437100) 廖明芳

湖北省鄂南高級中學(437100) 李環(huán)宇 張文瑜

已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a;

(2)證明: 存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

(2) 函數(shù)f(x)=ex -x,g(x)=x -lnx,如圖,f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞) 上單調(diào)遞增;g(x) 在(0,1) 單調(diào)遞減,在(1,+∞) 上單調(diào)遞增;易知當x →-∞時,f(x)→+∞;當x →+∞時,f(x)→+∞;當x →0 時,g(x)→+∞;當x →+∞時,g(x)→+∞.

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學史上的里程碑,其創(chuàng)立與處理四類科學問題直接相關(guān),其中兩類就是求曲線的切線和求函數(shù)的最大值與最小值.此解法中,很明顯,需要考生對導數(shù)的概念,幾何意義充分理解透徹,能夠隨時在概念和幾何意義中切換,由數(shù)想形,以形助數(shù),達到數(shù)與形的完美結(jié)合.也就導向明確地直指教學,對導數(shù)概念課的教學不宜機械化,它的生成是有著深刻實際背景的,借助背景來強化導數(shù)的教學,讓學生能夠體會到導數(shù)和曲線的切線、函數(shù)增減性的微妙關(guān)系.

我們知道,指對數(shù)函數(shù)有多種同構(gòu)形式,如果我們把函數(shù)f(x),g(x)解析式中的減號改為除號,我們可以得到新的題目,如下:

變式1已知函數(shù)有相同的最大值.

(1)求a;

(2)證明: 存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數(shù)列.

解(1)可得a=±1,因為是最大值(不是最小值),故a=1.過程略.

雖改變了題目形式,但解題思路仍大同小異,圍繞導數(shù)概念進行考察.通過求導,很容易發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象的走勢,建立起導數(shù)和增減性的密切關(guān)系,從而達到解題的突破.在解題過程中對數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理都有著很好的培養(yǎng).

思考我們知道y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)有三個交點是特殊情況,不妨再往前大膽探討一下,如果直線y=b與兩條曲線共有四個不同的交點,那么這四個交點的橫坐標是否滿足什么恒等關(guān)系呢?

變式2已知函數(shù)f(x)=和g(x)=有相同的最大值.

(1)求a;

(2) 若存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x) 和y=g(x)共有四個不同的交點,從左到右的四個交點的橫坐標分別記為x1,x2,x3,x4,求證:x1x4=x2x3.

解(1)a=1,過程略.

此變式源于對數(shù)列性質(zhì)的靈活運用,只有對導數(shù)概念有深刻的理解,我們才能對一道題有著各種不同的變式,和各類知識融會貫通.

最后,我們還原重新回到高考題,可以猜想如果直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點,從左到右的四個交點的橫坐標分別記為x1,x2,x3,x4,那么這四個交點滿足什么恒等式呢? 這里面還可以挖掘更多有意思的結(jié)論.在此僅拋出一種供大家鑒賞.

變式3已知函數(shù)f(x)=ex -ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a;

(2) 若存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x) 和y=g(x)共有四個不同的交點,從左到右的四個交點的橫坐標分別記為x1,x2,x3,x4,求證:x1+x4=x2+x3.

總結(jié)高考題具有很好的導向作用和研究價值,今年的壓軸題第22 題,很好的考察了高中數(shù)學的導數(shù)概念,體現(xiàn)了學科核心素養(yǎng),這也給了我們一個很好的啟示: 在面對數(shù)學教與學的過程中,概念教學不深刻,對數(shù)學方法和原理沒有深入的思考和拓展,光靠題海戰(zhàn)術(shù),是難以駕馭高考數(shù)學的.