貴州省遵義市航天中學(xué)(563000) 閔 玲

貴州省仁懷市第二中學(xué)(564501) 王 俊

1 提出問題

人教版八年級《數(shù)學(xué)》上冊第85 頁課題學(xué)習(xí)“最短路徑問題”的問題1 是: 如圖1,牧馬人從A地出發(fā),到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬,可使所走的路徑最短?

圖1

如圖2,課本中的解法是應(yīng)用軸對稱,把河岸看作直線l,找出點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′,連結(jié)AB′交l于C,連結(jié)BC,因?yàn)辄c(diǎn)C到點(diǎn)A,點(diǎn)B距離之和AC+CB最小,則點(diǎn)C是飲馬的位置.(證明略).這是初中幾何中重要的幾何極值問題,數(shù)學(xué)上一般把它稱作“將軍飲馬”問題.常用來解決生活中的油氣管道鋪設(shè),輸水管道鋪設(shè)、修路、修水渠等實(shí)際問題的最短路徑規(guī)劃設(shè)計.同時也成了各地中考及各種考試的一個新寵,常以各種背景加以變式改編,以新面孔出現(xiàn).一般都是應(yīng)用對稱思想加以解決,如下面的問題.

圖2

2 質(zhì)疑問題

問題如圖3,在河流l的同側(cè)有A、B兩個村莊,AB=16km,它們到河流l的距離分別為4km、10km.供水公司要在河邊修建一座供水站,向A、B兩個村莊供水,怎樣確定供水站E的位置使所鋪設(shè)的供水管道總長度最短?

解如圖3,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′,連接BA′,交直線l于點(diǎn)E,由軸對稱性質(zhì)易知,此時EA+EB=A′B,而根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,A′B即為供水管道總長度EA+EB的最小值.

圖3

過點(diǎn)B作BH⊥DA交DA的延長線于點(diǎn)H,在RtΔA′BH中,由勾股定理得

這道題目一般是按照這種作軸對稱的方法解決,即認(rèn)為鋪設(shè)管道AE+EB是最短的,實(shí)際上不一定,這樣的反例很好找.如圖4,當(dāng)A、B的連線幾乎與l垂直時,顯然供水站應(yīng)建在垂足點(diǎn)C處,管道路線為C →A →B顯然比應(yīng)用軸對稱得到的路線短.在實(shí)際生活中,水管所采用的實(shí)際鋪設(shè)不一定是這種“V”字形方式,存在不符合實(shí)際的情形.從供水(氣,油等)源處,向兩地A,B供水管道鋪設(shè)的常用方法是(如圖5)或D →A →B(如圖6)方式,只要能達(dá)到目的,總長最短,都是首選的方式.為方便下文研究,把這三種鋪設(shè)方式分別稱為“V”、“Y”、“廠”字形.實(shí)際上,在這個問題中,通過網(wǎng)絡(luò)畫板作圖測量、計算,如圖7 中的“廠”、和“Y”字形鋪設(shè)方式都比“V”字形鋪設(shè)方式短,其中的點(diǎn)F怎么確定,下文將進(jìn)行說明.

圖4

圖5

圖6

圖7

“廠”字形和“V”字形鋪設(shè)實(shí)際是“Y”字形鋪設(shè)的特殊情況,如圖5,當(dāng)FG+FA+FB取最小值時,有FG⊥l(包括點(diǎn)F在l上的情況).因此問題解決的關(guān)鍵是點(diǎn)F的選擇而非點(diǎn)G的選擇,當(dāng)點(diǎn)F選定后,點(diǎn)F在l上的垂足即為點(diǎn)G,因此把這個問題一般化后即為下面的問題.

3 轉(zhuǎn)化問題

在直線l的同側(cè)有A、B兩點(diǎn)(設(shè)A、B兩點(diǎn)的距離是s),A、B兩點(diǎn)到直線l的距離分別是p、q(p≤q),在點(diǎn)A、B和直線l所在平面上求一點(diǎn)F,使點(diǎn)F到A、B兩點(diǎn)和直線l的距離之和最小.由于點(diǎn)F在點(diǎn)A、B和直線l所在平面上,先說明一下“Y”字形鋪設(shè)時點(diǎn)F在什么范圍內(nèi)時FG+FA+FB最小?

①如圖8,過點(diǎn)A作AE//l交BC于點(diǎn)E,若點(diǎn)F在AE上或AE的正上方,易證FG+FA+FB≥DA+AB(點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時取“=”),若點(diǎn)F在AE左上方或右上方時,同理可證.

圖8

②如圖9,若點(diǎn)F在AD左側(cè)過點(diǎn)F作FE//l交AD于點(diǎn)M、BC于點(diǎn)E,易得FA ＞MA,FB ＞MB,MB ＞AB,∴FG+FA+FB ＞DM+MA+MB ＞AD+AB,點(diǎn)F在BC的右側(cè)時,同理可證.

圖9

③如圖10,當(dāng)點(diǎn)F在AD或BC上時,易證明FG+FA+FB ＞DA+AB.

圖10

綜上所述,要使FG+FA+FB最小,點(diǎn)F必在矩形區(qū)域ADCE上.

怎樣在矩形區(qū)域ACDE上確定點(diǎn)F的位置? 如圖11,點(diǎn)F是矩形區(qū)域ACDE上的一點(diǎn),過點(diǎn)F作l′//l,FG⊥l于點(diǎn)G,點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于直線l′的對稱點(diǎn),連接A′B與l′的交點(diǎn)即為點(diǎn)F,即FG+FA+FB和的值最小時,點(diǎn)A′、F、B三點(diǎn)共線,理由如下:

圖11

若點(diǎn)F不在直線A′B上時,設(shè)A′B交l′于點(diǎn)F′,則FA+FB ＞A′B=F′A+F′B,FG=F′G′,∴FA+FB+FG ＞F′A+F′B+F′G′,這與FA+FB+FG取得最小值矛盾,因此FG+FA+FB最小時,點(diǎn)A′、F、B三點(diǎn)共線.因此只要確定了點(diǎn)F到直線l的距離,就可以利用“軸對稱”確定點(diǎn)F的位置.

4 建模解題

如圖12,過點(diǎn)F作l′//l,分 別 交AC、BD于點(diǎn)M、N,作FG⊥l于點(diǎn)G,點(diǎn)A′是 點(diǎn)A關(guān) 于 直線l′的對稱點(diǎn),過點(diǎn)A′作A′H⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)H,取AB的中點(diǎn)P,連 接PM,則PM=A′B,設(shè)FG=MC=x,y=FG+FA+FB,易得AM=A′M=p-x,則

圖12

圖13

圖14

如圖15,直線l′與l重合,點(diǎn)G在點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′與B點(diǎn)的連線與l的交點(diǎn)處,此時點(diǎn)F與點(diǎn)G重合.

圖15

綜上所述,可得如下結(jié)論.

當(dāng)∠BAC≥120°,q-p ＜s≤2(q-p)時,點(diǎn)G在直線l上,且與AC的垂足C重合,點(diǎn)F與點(diǎn)A重合,點(diǎn)F到A、B兩點(diǎn)和直線l的距離之和最小值是L廠=s+p.

5 一點(diǎn)發(fā)現(xiàn)

如圖16,當(dāng)FG+FA+FB最小時,延長PK交直線l于點(diǎn)R.易得∠PMN=∠PRC=∠MFA′=∠FA′H=∠AFM=30°,即直線PR(BA′) 與直線l、l′相交的夾角為30°,∴∠BFN=30°,∴∠AFB=∠AFG=∠BFG=120°,∴點(diǎn)F是ΔAGB的費(fèi)馬點(diǎn).

圖16

易得,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合或點(diǎn)F在直線l上(點(diǎn)F與點(diǎn)G重合) 時,點(diǎn)F也是ΔAGB的費(fèi)馬點(diǎn).這是因?yàn)橘M(fèi)馬點(diǎn)可能在三角形內(nèi),也可能是三角形的頂點(diǎn),如果三角形的每個內(nèi)角都小于120°,在三角形內(nèi)就存在一點(diǎn)F,使∠GFA=∠GFB=∠AFB=120°,點(diǎn)F就是費(fèi)馬點(diǎn);如果三角形的某個內(nèi)角大于或等于120°,這個角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn).

那么,有沒有快速確定點(diǎn)G的簡便方法呢? 根據(jù)上面的探究容易得到: 分別過A、B兩點(diǎn)相對作與直線l的交角為30°的兩條直線,設(shè)兩直線交點(diǎn)為F.若交點(diǎn)F在AB與直線l之間,則過交點(diǎn)F作的直線l垂線,垂足就是點(diǎn)G;若交點(diǎn)F在點(diǎn)A的上方,則過點(diǎn)A作直線l的垂線,垂足就是點(diǎn)G;若交點(diǎn)在直線l的下方,則過點(diǎn)A作直線l的對稱點(diǎn)A′,聯(lián)結(jié)A′B與直線l的交點(diǎn)就是點(diǎn)G.如圖17 所示.

圖17

6 解決問題

現(xiàn)用上面探究的結(jié)論解決前面的問題.