佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院(528000) 李靜依 洪銳敏

華南師范大學(xué)(510631) 彭上觀

1 問題提出

2014 年9 月國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于深化考試招生制度改革的實施意見》,隨著全國高考試點改革工作的推進(jìn),浙江、上海等16 省市相繼開始實行新高考政策,取消文理分科.對于數(shù)學(xué)學(xué)科來說,傳統(tǒng)高考模式采用文理分科的形式,理科數(shù)學(xué)卷的難度高于文科數(shù)學(xué)卷,而新高考政策與傳統(tǒng)高考模式的區(qū)別在于不再區(qū)分文理科,同時試題增加了多選題與結(jié)構(gòu)不良試題等新題型.

難度是反映試題質(zhì)量的重要指標(biāo)之一,2019 年《國務(wù)院辦公廳關(guān)于新時代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》強(qiáng)調(diào)科學(xué)設(shè)置試題難度[1].廣東省等作為第三批新高考改革的試點省份,2021 年高考數(shù)學(xué)開始采用新高考I 卷,從使用全國高考I 卷到新高考I 卷,試題難度有什么變化? 目前國內(nèi)學(xué)者對執(zhí)行新高考政策前后的高考數(shù)學(xué)試題綜合難度的縱向比較研究相對較少.因此,本文確定以下研究問題: (1)廣東等省份執(zhí)行數(shù)學(xué)新高考前后試題的綜合難度是否有明顯差異? (2)實施新高考后數(shù)學(xué)試題的難度因素變化趨勢如何?

2 綜合難度系數(shù)模型

Nohara 在2001 年提出了總體難度的概念,其中涉及“問題拓展”、“實際背景”、“運算水平”及“推理過程”4 個難度因素,這是綜合難度系數(shù)模型的研究雛形[2].鮑建生在其基礎(chǔ)上提出了數(shù)學(xué)課程的綜合難度模型,即“探究”、“背景”、“運算”、“推理”、“知識含量”的5 維度模型[3].對于應(yīng)用于高考的標(biāo)準(zhǔn)化考試試題,更加強(qiáng)調(diào)試題的區(qū)分度和層次性,武小鵬為了讓難度模型更加貼合高考試題的綜合難度模型,在鮑建生的5 維度模型基礎(chǔ)上增加了“思維方向”和“是否含參”2 個維度[4],并基于AHP 理論構(gòu)建了數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型[5].李保臻和石燁認(rèn)為一道數(shù)學(xué)解答題涉及多個小問題,不同的小問題之間有的單獨成立,有的互相關(guān)聯(lián),呈現(xiàn)出層層遞進(jìn)的梯度形式;針對解答題,李保臻等在武小鵬的7 維度模型基礎(chǔ)上增加了“梯度”因素,提出了基于高考試題的8 維度綜合難度模型[6].從試題綜合難度模型的發(fā)展史來看,以上各試題綜合難度模型一脈相承并日趨完善.其中,武小鵬的數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型較為全面地囊括了各難度因素并借助層次分析法有效地說明了各難度因素的權(quán)重,因此本研究主要以武小鵬的數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型[5]為理論支撐,并關(guān)注李保臻等提出的“梯度”因素對試題綜合難度的影響.具體模型界定見表1.

各難度因素的難度系數(shù)di計算公式參考鮑建生在5 維度模型中給出的難度系數(shù)di公式[3],即

其中,kij為第i個難度因素的第j個水平所占的權(quán)重,nij為第i個難度因素的第j個水平所涉及的題目數(shù)量,n為該份高考試題的題目總數(shù)量.通過取各難度因素的難度系數(shù)的加權(quán)平均值即可得整份高考試題的綜合難度D,即

其中,ki為各難度因素在整份高考試題中所占的權(quán)重均值系數(shù).

對于不同難度因素的權(quán)重ki和同一因素中不同水平的權(quán)重系數(shù)kij,采用武小鵬等學(xué)者依據(jù)絕大多數(shù)專家及一線教師傾向性評分的方式,結(jié)合層次分析法確定的權(quán)重系數(shù),ki=(0.40,1.20,0.83,2.50,0.40,0.83,0.83),kij見表1[5].

表1 綜合難度系數(shù)模型界定

3 研究設(shè)計

3.1 研究對象

本研究以廣東等省份執(zhí)行數(shù)學(xué)新高考改革前后的2020年“全國高考I 卷(理科)”(下稱“2020 年高考理科I 卷”)、2021 年“全國新高考I 卷”(下稱“2021 年新高考I 卷”) 和2022 年“全國新高考I 卷”(下稱“2022 年新高考I 卷”)作為研究對象,對這3 套試題的綜合難度建立模型并進(jìn)行比較研究,從而定量分析數(shù)學(xué)高考試題難度的變化.

3.2 數(shù)據(jù)處理

本研究以武小鵬的數(shù)學(xué)高考試題綜合難度模型[5]為理論支撐,采用結(jié)合編碼的主題定性文本分析法進(jìn)行編碼分析,編碼示例如下:

例2(2022 年新高考I 卷第17 題)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=1,是公差為的等差數(shù)列.(1)求{an}的通項公式;(2)證明:.

該題編碼為“無背景A1”、“有參數(shù)B2”(存在參數(shù)n,項目處于動態(tài)變化中)、“簡單符號運算C3”(運算涉及到簡單符號的推導(dǎo))、“復(fù)雜推理D2”(推理涉及3 步以上推導(dǎo)),“大于等于三個知識點E3”(涉及等差數(shù)列定義、數(shù)列遞推公式、累乘法求數(shù)列通項、裂項求和及不等式證明等知識點)、“順向思維F1”(問題解決符合數(shù)學(xué)思維的特點,由已知推向未知,順向直接解決問題)、“運用水平G2”(綜合運用上述知識點解決問題).

按照表1 難度因素的內(nèi)涵界定,由兩名研究者對三套試題進(jìn)行雙盲編碼,編碼一致性為89.74%,再對不一致的編碼項進(jìn)行討論.統(tǒng)計不同難度因素不同水平的題目數(shù)量和占比情況,并按照公式(2-1)(2-2)和計算各難度因素的難度系數(shù)di和整份高考試題的綜合難度D,結(jié)果見表2.

4 研究結(jié)果

4.1 實施新高考后數(shù)學(xué)試題綜合難度逐年遞增

由表2 可得,廣東等省份實施新高考后數(shù)學(xué)試題綜合難度逐年遞增,2020 年高考理科I 卷的試題綜合難度系數(shù)D=6.70,2021、2022 年新高考I 卷試題綜合難度系數(shù)分別為7.14 和7.70,新高考I 卷的試題綜合難度更高.

表2 近3 年數(shù)學(xué)高考I 卷試題難度系數(shù)統(tǒng)計表

為了直觀地比較出這3 份高考試題難度之間的差異,下面作出各難度因素的綜合難度系數(shù)雷達(dá)圖,如圖1 所示.這3 份高考試題的考查側(cè)重點大體走向一致,在實施新高考改革前后,3 套試題在“背景因素”、“是否含參”、“思維方向”三個難度因素的考查相差不大,但新高考I 卷在“運算水平”、“推理能力”、“知識含量”、“認(rèn)知水平”這4 項難度系數(shù)有了較大提升;且與2021 年新高考I 卷相比,2022 年試題在這4 方面的難度系數(shù)也有顯著提升.下面針對這4 個難度因素進(jìn)行具體分析.

圖1

4.2 不同難度因素變化趨勢分析

從“運算水平”維度上分析,2020 年高考理科I 卷、2021和2022 年新高考I 卷的難度系數(shù)分別為0.97、1.05 和1.25.其中復(fù)雜符號運算占運算因素的權(quán)重最大,如圖2,2021 年和2022 年新高考I 卷含復(fù)雜符號運算的題目百分比分別為27.27%和36.36%,而2020 年高考理科I 卷含復(fù)雜符號運算的題目百分比為26.09%,說明新高考試題更加重視對復(fù)雜符號運算題目的考查,要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中要夯實數(shù)學(xué)運算基本功,特別要加強(qiáng)對于含有復(fù)雜符號運算的數(shù)學(xué)問題解題訓(xùn)練,提升解題的速度.

圖2

從“推理能力”維度上分析,2020 年高考理科I 卷、2021和2022 年新高考I 卷的難度系數(shù)分別為1.02、1.09 和1.23.如圖3,2021 年和2022 年新高考I 卷推理步數(shù)多于三步的題目百分比分別為59.09%和72.73%,而2020 年高考理科I 卷推理步數(shù)多于三步的題目百分比為52.17%,說明新高考試題在經(jīng)歷2021 年新高考I 卷的過渡之后,2022 年更強(qiáng)調(diào)對考生的復(fù)雜邏輯推理能力的考查,學(xué)生在平時的練習(xí)過程中要加強(qiáng)對演繹推理和歸納、類比推理能力的鍛煉.

圖3

從“知識含量”維度上分析,2020 年高考理科I 卷、2021和2022 年新高考I 卷的難度系數(shù)分別為1.02、1.11 和1.31.如圖4,2021 年和2022 年新高考I 卷含三個及以上知識點的題目百分比分別為36.36%和54.55%,而2020 年高考理科I卷含三個及以上知識點的題目百分比為30.43%,說明新高考試題更加重視對三個及以上知識點題目的考查,要求學(xué)生要有過硬的數(shù)學(xué)學(xué)科綜合能力,以便于解決多知識點交叉的問題.

圖4

從“認(rèn)知水平”維度上分析,2020 年高考理科I 卷、2021和2022 年新高考I 卷的難度系數(shù)分別為1.00、1.03 和1.12.根據(jù)綜合難度系數(shù)模型,理解、運用和分析的權(quán)重分別為0.33、0.96 和1.71,三份高考試題在“分析”水平的題目考查占比相差不大,但在“運用”水平的題目考查占比相差較為明顯,結(jié)合“運用”和“分析”兩個水平,如圖5,2021 和2022 新高考I 卷在深度認(rèn)知水平的題目考查占比分別為72.73%和77.27%,高于2020 年高考理科I 卷的題目考查占比69.57%.新高考試題更強(qiáng)調(diào)對考生深度認(rèn)知水平的考查,要求學(xué)生從基本概念和定義出發(fā),深挖題目的已知條件,建立合適的數(shù)學(xué)模型,并對模型進(jìn)行優(yōu)化,進(jìn)而解決問題.

圖5

此外,結(jié)合李保臻等人提出的“梯度”因素進(jìn)行對比分析,2021 年和2022 年新高考I 卷試題中各小問題之間有關(guān)聯(lián)的解答題百分比分別為100%和83.3%,而2020 年高考理科I 卷該部分題目的百分比為71.43%,說明新高考試題對解答題各小題的設(shè)置更強(qiáng)調(diào)其邏輯性和層次性,往往前一個問題的答案是解決后一個問題的必要條件,在日常教學(xué)過程中教師可有針對性地根據(jù)教學(xué)實際設(shè)計出問題間有聯(lián)系的試題.

5 教學(xué)建議

5.1 重視提高數(shù)學(xué)運算能力,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)

教師要重視提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,結(jié)合李保臻等人提出的“梯度”因素,教師在解題教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對復(fù)雜符號運算問題的解題訓(xùn)練和形成解決各小問題之間有關(guān)聯(lián)的解答題的解題思路.其次,教師在教學(xué)活動中要幫助學(xué)生加強(qiáng)對演繹推理和歸納、類比推理能力的鍛煉,重視發(fā)現(xiàn)和提出問題,分析和解決問題能力的過程,提高學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)[7].

5.2 重視培養(yǎng)解決多知識點問題的能力,提高學(xué)生的認(rèn)知水平

數(shù)學(xué)新高考側(cè)重對多知識點問題的考查,教師需要幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)知識的主線和結(jié)構(gòu),加強(qiáng)對含三個及以上知識點題目的訓(xùn)練,逐步培養(yǎng)學(xué)生解決多知識點題目的能力.提高學(xué)生的認(rèn)知水平,尤其關(guān)注“運用”和“分析”維度,充分揭示數(shù)學(xué)解題的思維,教會學(xué)生深入分析和綜合運用題目各個條件解決問題.