江漂　張維忠

摘要：英國Edexcel考試局編制的A-level課程教科書，在全球范圍內(nèi)有較高的認(rèn)可度。其中的數(shù)學(xué)教科書突出了函數(shù)、微積分、二項式、數(shù)列、平面幾何坐標(biāo)等代數(shù)領(lǐng)域或以代數(shù)方法研究幾何問題的內(nèi)容。其編寫在應(yīng)對以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)課程改革趨勢方面，呈現(xiàn)出三個值得我國借鑒的鮮明特色：強(qiáng)化數(shù)學(xué)多元表征，深度融合信息技術(shù)，重視融入跨學(xué)科知識。

關(guān)鍵詞：英國數(shù)學(xué)教材；核心素養(yǎng)；多元表征；信息技術(shù)；跨學(xué)科知識

在國際上，英國繼續(xù)教育聯(lián)盟（Further Education Unit）最早用“核心素養(yǎng)”指導(dǎo)課程設(shè)計。他們列出了核心素養(yǎng)包含的100多項關(guān)鍵能力，后來將其劃分為10個領(lǐng)域：個人和職業(yè)發(fā)展，工業(yè)、社會和環(huán)境研究，交往，社會技能，計算，科學(xué)和技術(shù)，信息技術(shù)，創(chuàng)新發(fā)展，操作技能，問題解決。顯然，英國繼續(xù)教育聯(lián)盟提出的核心素養(yǎng)不僅關(guān)注知識和技能方面，還注重實際操作能力，強(qiáng)調(diào)從適應(yīng)未來社會的職業(yè)規(guī)范角度來制定核心素養(yǎng)體系。教科書作為實施課程最權(quán)威的材料，其編寫集中體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，對教學(xué)質(zhì)量有直接的影響。因此，對教科書編寫的內(nèi)容進(jìn)行分析，可獲得落實哪些核心素養(yǎng)以及如何落實核心素養(yǎng)等方面的啟示。本文從核心素養(yǎng)的角度分析英國Edexcel數(shù)學(xué)教科書的編寫特色，以期為我國數(shù)學(xué)課程改革提供些許新思路。

一、 Edexcel數(shù)學(xué)教科書的編寫背景

英國自1988年頒布《教育改革法》以來，義務(wù)教育被劃分為4個關(guān)鍵階段：5—7歲、7—11歲、11—14歲、14—16歲。其中，前兩個關(guān)鍵階段是小學(xué)階段，對應(yīng)1—6年級；后兩個關(guān)鍵階段是中學(xué)第一階段，對應(yīng)7—11年級。此后的教育屬于非義務(wù)教育。其中，16—18歲的教育為中學(xué)第二階段，一般稱為“第六學(xué)級”。

中學(xué)第二階段（英國學(xué)制中沒有“高中”這一概念，但是可視為等同于我國學(xué)制中的高中階段）的課程被稱為A-Level課程，是英國大學(xué)入學(xué)考試的全民課程，也是英國普通中等教育證書考試的高級水平課程。該課程的教學(xué)安排、學(xué)習(xí)要求及考試分別由英國四個主要的考試局——劍橋國際考試委員會（Cambridge International Examinations，簡稱CIE），牛津、劍橋和RSA考試局（Oxford Cambridge and RSA Examinations，簡稱OCR），英國資格評估與認(rèn)證聯(lián)合會（Assessment and Qualifications Alliance，簡稱AQA），以及英國愛德思國家職業(yè)學(xué)歷與學(xué)術(shù)考試機(jī)構(gòu)（Edexcel）設(shè)計并組織，極具權(quán)威性，考試成績被全世界廣泛認(rèn)可。其中，Edexcel考試局由倫敦大學(xué)考試與評估委員會（ULEAC）以及英國商業(yè)與技術(shù)教育委員會（BTEC）在1996年合并成立，是英國最大的頒證機(jī)構(gòu)。Edexcel考試局編制的A-level課程教科書，在全球范圍內(nèi)有較高的認(rèn)可度。本文分析的就是其中的數(shù)學(xué)教科書，即Edexcel AS and A-level modular Mathematics（2008年出版）。

二、 Edexcel數(shù)學(xué)教科書的編寫內(nèi)容分布

Edexcel數(shù)學(xué)教科書共三冊：core Mathematics 2、core Mathematics 3和core Mathematics 4（以下分別簡稱A-C2、A-C3、A-C4）。其目錄詳細(xì)，清晰呈現(xiàn)每一章所包含的內(nèi)容。每一章均對本章的主要內(nèi)容做簡短的提煉，并提出本章的教學(xué)目標(biāo)。

各分冊每一章的內(nèi)容（標(biāo)題）及頁數(shù)如下：

A-C2：代數(shù)與函數(shù)（Algebra and functions），17頁；正弦與余弦定理（The sine and cosine rule），20頁；指數(shù)與對數(shù)（Exponentials and logarithms），13頁；平面幾何坐標(biāo)（Coordinate geometry in the （x，y） plane），22頁；二項式（The binomial expansion），11頁；弧度制（Radian measure and its applications），15頁；數(shù)列（Geometric sequences and series），19頁；三角函數(shù)的圖像（Graphs of trigonometric functions），18頁；微分（Differentiation），13頁；三角恒等式與簡單方程（Trigonometrical identities and simple equations），17頁；積分（Integration），22頁。

A-C3：代數(shù)分?jǐn)?shù)（Algebraic fractions），11頁；函數(shù)（Functions），20頁；指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（The exponential and log functions），15頁；數(shù)值方法（Numerical methods），14頁；函數(shù)圖像（Transforming graphs of functions），21頁；三角函數(shù)（Trigonometry），23頁；三角函數(shù)恒等變換（Further trigonometric identities and their applications），17頁；微分（Differentiation），21頁。

A-C4：部分分式（Partial fractions），9頁；平面幾何坐標(biāo)［Coordinate geometry in the （x，y） plane］，13頁；二項式展開（The binomial expansion），13頁；微分（Differentiation），15頁；向量（Vectors），36頁；積分（Integration），42頁。

進(jìn)一步統(tǒng)計章數(shù)以及每一章包含的節(jié)數(shù)和頁數(shù)，可以大致得出關(guān)于Edexcel數(shù)學(xué)教科書編寫內(nèi)容分布的結(jié)論：突出函數(shù)、微積分、二項式、數(shù)列、平面幾何坐標(biāo)等代數(shù)領(lǐng)域或以代數(shù)方法研究幾何問題的內(nèi)容。其中，函數(shù)的內(nèi)容主要包括指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，并特別重視三角函數(shù)。由此可見，代數(shù)內(nèi)容在Edexcel數(shù)學(xué)教科書中十分突出。這也符合當(dāng)下“數(shù)字化時代”的特點：代數(shù)已經(jīng)成為通向高等教育和更多機(jī)遇的大門，成功參與民主社會和科技市場離不開抽象代數(shù)思維。

三、 Edexcel數(shù)學(xué)教科書的編寫特色

Edexcel數(shù)學(xué)教科書的編寫，在應(yīng)對以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)課程改革趨勢方面，呈現(xiàn)出以下三個值得我國借鑒的鮮明特色。

（一） 強(qiáng)化數(shù)學(xué)多元表征

數(shù)學(xué)表征指用某種形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的過程，也指可見的有形的產(chǎn)物，如圖表、數(shù)軸、圖形、具體對象或操作的排列、物理模型、數(shù)學(xué)表達(dá)式、公式和方程等。數(shù)學(xué)表征同時被認(rèn)為是一種數(shù)學(xué)能力，即能創(chuàng)造、選擇或應(yīng)用各種數(shù)學(xué)表征來解決數(shù)學(xué)問題。2000年至2021年歷屆的PISA測試，均把數(shù)學(xué)表征作為重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價指標(biāo)。隨著許多國家將數(shù)學(xué)表征能力作為學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力之一，其在我國的課程標(biāo)準(zhǔn)中也愈發(fā)得到重視。 比如，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中“數(shù)學(xué)抽象”“直觀想象”“數(shù)學(xué)建?！钡鹊拿枋鼍c數(shù)學(xué)表征密切相關(guān)。數(shù)學(xué)表征有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、關(guān)系，或關(guān)聯(lián)解決問題過程所使用的數(shù)學(xué)，也有助于學(xué)生組織思維，更加具體地認(rèn)識數(shù)學(xué)概念、關(guān)系，進(jìn)行反思。學(xué)生問題解決成功與否往往取決于能否靈活使用數(shù)學(xué)表征。數(shù)學(xué)表征的不斷抽象是深度理解數(shù)學(xué)概念、關(guān)系的過程。提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，需要適時提高教科書中概念表征的抽象程度。

Edexcel數(shù)學(xué)教科書彰顯了數(shù)學(xué)表征的重要地位，體現(xiàn)了表征形式從具體到抽象的特點。其例題的每一步均標(biāo)有詳細(xì)的注釋，對如何得出下一步作出細(xì)致的闡述。具體呈現(xiàn)方式如下頁圖1所示：左側(cè)是解答過程，右側(cè)是文字解釋（解題思路）。同步呈現(xiàn)思維過程中兩種不同的表征方式，即符號表征和文字表征，有助于學(xué)生理解例題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念。而且例題所占的篇幅也較大。

Edexcel數(shù)學(xué)教科書充分發(fā)揮了表征對數(shù)學(xué)概念、關(guān)系的示范與解釋功能，很少單一使用文字表征或符號表征的方式界定概念或關(guān)系，而是以多元表征的方式呈現(xiàn)概念或關(guān)系的多種意義，有助于學(xué)生更好地建構(gòu)知識，達(dá)到了學(xué)生通過教科書就能獨(dú)立自學(xué)相應(yīng)知識的目的。

我國教科書的編寫也需強(qiáng)化數(shù)學(xué)多元表征，適當(dāng)?shù)卦黾佣嘣碚鞣绞?，凸顯數(shù)學(xué)表征在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)和問題解決中的價值，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力。

例如，人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊以文字和符號的表征形式對函數(shù)的概念進(jìn)行定義和闡述：“事實上，除解析式、圖像、表格外，還有其他表示對應(yīng)關(guān)系的方法。為了表示方便，我們引進(jìn)符號f統(tǒng)一表示對應(yīng)關(guān)系。一般地，設(shè)A、B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯 一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function），記作y=f（x），x∈A。”這對學(xué)生理解函數(shù)概念提出了較高的要求。由于函數(shù)概念是學(xué)生進(jìn)入高中不久后接觸的內(nèi)容，加上高中函數(shù)概念十分抽象，會在一定程度上造成學(xué)生的畏難心理，并導(dǎo)致學(xué)生對函數(shù)概念理解得不透徹。對此，可以借鑒Edexcel教科書的多元表征方式，在原有的文字和符號表征的基礎(chǔ)上，增加圖形表征（如圖2所示），助力學(xué)生理解函數(shù)概念，提升數(shù)學(xué)表征能力。

（二） 深度融合信息技術(shù)

信息技術(shù)對數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要作用，一直備受數(shù)學(xué)教育研究和實踐的關(guān)注。

在代數(shù)、幾何以及統(tǒng)計與概率的教學(xué)中，運(yùn)用信息技術(shù)，可以簡化復(fù)雜而煩瑣的運(yùn)算過程，繪制復(fù)雜且動態(tài)的平面圖形和立體圖形，還可創(chuàng)設(shè)真實的情境，幫助學(xué)生經(jīng)歷問題提出、收集數(shù)據(jù)、表示數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、解決問題等過程。將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合既是時代的潮流，也是培育核心素養(yǎng)的內(nèi)在要求。歐盟提出的八大核心素養(yǎng)中就包括了數(shù)學(xué)素養(yǎng)和基礎(chǔ)的科技素養(yǎng)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）則明確提出：“在實際問題解決中，創(chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，提升學(xué)生的探究熱情，開闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的想象力，提高學(xué)生的信息素養(yǎng)?！?/p>

Edexcel數(shù)學(xué)教科書在合適的情境下使用相應(yīng)的信息技術(shù)，幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的理解，體現(xiàn)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合的理念，使信息技術(shù)成為數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，而不僅是一些點綴。此外，Edexcel數(shù)學(xué)教科書的顯著特色是編有“直播文本軟件”（Live Text software），以“解決方案銀行”（Solution bank）和“考試咖啡廳”（Exam cafe）兩個模塊，給學(xué)生提供額外的學(xué)習(xí)資源。“直播文本軟件”本質(zhì)上是電子書，學(xué)生手動操作翻到所需的頁面，就可以展開身臨其境的數(shù)學(xué)探究。這充分發(fā)揮了信息技術(shù)的優(yōu)勢，有助于教科書中相應(yīng)內(nèi)容育人價值的實現(xiàn)。

而我國教科書中信息技術(shù)的融入，主要表現(xiàn)為在一些專門的欄目中介紹應(yīng)用信息技術(shù)的益處。相關(guān)內(nèi)容成為學(xué)生自行閱讀的材料，會導(dǎo)致在實際教學(xué)中，信息技術(shù)不太容易與課程內(nèi)容深度融合，不能充分培養(yǎng)學(xué)生的信息素養(yǎng)。對此，教科書編寫者應(yīng)該翔實地呈現(xiàn)具體數(shù)學(xué)內(nèi)容與信息技術(shù)融合的關(guān)鍵步驟，為教科書使用者有意識地使用信息技術(shù)，模擬現(xiàn)實場景，體驗探究過程，提出與解決數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí)，做好指引。

例如，人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊直接給出球的表面積公式，再類比推導(dǎo)圓的面積公式的方法，采用“指向球心分割成若干個‘小椎體，近似看作棱錐求體積和，再考察極限逼近準(zhǔn)確值”的方法，建立球的表面積和體積的關(guān)系，從而推出球的體積公式。那么，如何推出球的表面積公式（在不知道球的體積公式的情況下）？或者在不知道球的表面積公式的情況下，又如何推出球的體積公式？實際上，可以類比推導(dǎo)圓的周長公式的方法——割圓術(shù)，采用“水平等距或等角切割成若干層‘小圓片，近似看作圓臺或圓柱求側(cè)面積和，再考察極限逼近準(zhǔn)確值”的方法，推出球的表面積公式，充分體現(xiàn)“分割、求和、逼近”的微積分思想。而采用這一方法推導(dǎo)球的表面積公式時，會遇到表示圓臺或圓柱的側(cè)面積，尤其是求和時一些技術(shù)上的障礙。這時，正好可以發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢，利用一些數(shù)學(xué)軟件強(qiáng)大的計算功能，幫助學(xué)生處理推導(dǎo)過程中具體而復(fù)雜的計算。此外，借助信息技術(shù)，還可以嘗試更多分割的方法，將過程可視化，幫助學(xué)生自主探究。

（三） 重視融入跨學(xué)科知識

由于核心素養(yǎng)具有整體性、綜合性、交融性等特征，就需要在學(xué)科課程中滲透跨學(xué)科知識，為培育學(xué)生核心素養(yǎng)構(gòu)筑學(xué)習(xí)的“立交橋”。單一學(xué)科知識已經(jīng)無法勝任復(fù)雜情境的問題解決，交叉學(xué)科、多學(xué)科、跨學(xué)科教育才能較好地突破這一困境，解決知識碎片化的問題，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展，滿足當(dāng)今社會對創(chuàng)新型人才的需求。然而，跨學(xué)科知識不是將幾門學(xué)科知識簡單地拼湊起來，而是將多學(xué)科知識創(chuàng)造性地整合。數(shù)學(xué)學(xué)科是一門與其他學(xué)科有廣泛聯(lián)系的基礎(chǔ)學(xué)科，許多數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)模型可以運(yùn)用到其他學(xué)科中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。英國最新公布的國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，在突出核心素養(yǎng)導(dǎo)向的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)將數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到科學(xué)或者其他學(xué)科中，注重跨學(xué)科知識的融入。新課標(biāo)明確提出：積極開展跨學(xué)科的主題式學(xué)習(xí)和項目式學(xué)習(xí)等綜合性教學(xué)活動。

Edexcel數(shù)學(xué)教科書很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)科的融合，還將數(shù)學(xué)模型運(yùn)用到生物、經(jīng)濟(jì)、科技、工程等領(lǐng)域，發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，與多學(xué)科知識融合的作用。比如，A-C3分冊在介紹第一章《代數(shù)分?jǐn)?shù)》的內(nèi)容時，引入了物理中的電阻知識，指出該章內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生對物理學(xué)科電學(xué)知識的了解。再如，A-C4分冊的第一章《部分分式》將數(shù)學(xué)模型運(yùn)用到生物、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，第六章《向量》將數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到科技、工程領(lǐng)域。

此外，Edexcel數(shù)學(xué)教科書還立足社會對人才培養(yǎng)的需求，將數(shù)學(xué)知識與情境相結(jié)合，發(fā)揮數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。其中，情境可分為個人、職業(yè)、社會和科學(xué)四種類型。通過相應(yīng)的情境實現(xiàn)對抽象知識的描述，引發(fā)學(xué)生思考。比如，A-C2分冊第五章在引入“二項式”概念時，創(chuàng)設(shè)了蟲子爬行長方格的情境，通過生動形象的場景激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的積極性，激勵學(xué)生從現(xiàn)實世界中提取關(guān)鍵的數(shù)學(xué)信息，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

我國數(shù)學(xué)教科書也引入了其他學(xué)科，如物理、生物學(xué)等學(xué)科的知識，且主要體現(xiàn)在與學(xué)生生活經(jīng)驗的結(jié)合，或?qū)ι钋榫车娜谌?。借鑒Edexcel數(shù)學(xué)教科書融入跨學(xué)科知識的做法，我國數(shù)學(xué)教科書還需要不斷探索融入跨學(xué)科知識的資源與方式，在突出學(xué)科本位的基礎(chǔ)上加強(qiáng)跨學(xué)科知識融合，讓教科書使用者能夠有意識地調(diào)動多學(xué)科知識解決問題，發(fā)揮跨學(xué)科知識對學(xué)生創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的價值。

例如，人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊“球的體積和表面積”部分的例3是：

如圖3，某種浮標(biāo)由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m。如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）

這樣的情境引入，使問題解決本質(zhì)上仍然考查幾何體的表面積知識。如果適當(dāng)融入浮標(biāo)的設(shè)計原理，則可將物理知識和數(shù)學(xué)知識高度融合；如果以表現(xiàn)性任務(wù)的形式設(shè)計，探討在體積相同的情況下，浮標(biāo)越接近什么形狀，功能越好，則更有助于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

再如，高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率內(nèi)容在培養(yǎng)高中生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)方面扮演著重要的角色。我國教科書在編寫這一部分內(nèi)容時，可以借鑒PISA2018的理念和框架，融入經(jīng)濟(jì)學(xué)相關(guān)知識，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和財經(jīng)素養(yǎng)。

（江漂，浙江師范大學(xué)教育學(xué)院。主要研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。

張維忠，浙江師范大學(xué)教育學(xué)院，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。）