陳 彬 秦小彬 萬(wàn)妮娜 唐 波

基于R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與損耗統(tǒng)計(jì)理論的鐵磁材料高頻損耗計(jì)算方法

陳 彬1,2秦小彬2萬(wàn)妮娜1,3唐 波1,2

（1. 湖北省輸電線路工程技術(shù)研究中心 宜昌 443002 2. 三峽大學(xué)電氣與新能源學(xué)院 宜昌 443002 3. 國(guó)網(wǎng)湖北省電力有限公司宜昌供電公司 宜昌 443002）

傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論對(duì)鐵磁材料的高頻損耗預(yù)測(cè)誤差較大且存在過(guò)高估算的問(wèn)題。為此，該文首先考慮高頻條件下磁通密度不均勻分布對(duì)磁滯損耗的影響，提出基于有限單元剖分法的磁滯損耗計(jì)算方法。然后基于R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論中的渦流場(chǎng)和渦流損耗計(jì)算式進(jìn)行改進(jìn)，并引入量子遺傳算法對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型中阻尼系數(shù)和導(dǎo)數(shù)階次進(jìn)行全局尋優(yōu)。在上述磁滯損耗、渦流損耗模型以及參數(shù)提取方法的基礎(chǔ)上，提出適用于寬頻率、寬磁通密度范圍的改進(jìn)型損耗統(tǒng)計(jì)方法。最后采用愛(ài)潑斯坦方圈測(cè)量了3% Si-Fe超薄取向硅鋼片在10Hz～10kHz頻率范圍的損耗，將理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，所提方法在整個(gè)頻段內(nèi)的最大平均相對(duì)誤差為9.14%，最小平均相對(duì)誤差為2.13%，相比于傳統(tǒng)損耗理論，損耗預(yù)測(cè)精度大大提高，驗(yàn)證了該文方法的有效性。

損耗統(tǒng)計(jì)理論 磁滯損耗 渦流損耗 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù) 量子遺傳算法

0 引言

在中高頻應(yīng)用工況下，非晶合金、納米晶合金、超薄硅鋼等鐵磁材料具有優(yōu)異的軟磁性能，是電力電子、航空航天、國(guó)防軍工等領(lǐng)域不可缺少的關(guān)鍵材料[1-2]。隨著工作頻率的提高，鐵磁材料的能量損耗將顯著增加。為了提高設(shè)備的運(yùn)行效率、能源利用率，需要在了解鐵磁材料損耗機(jī)理的基礎(chǔ)上，掌握鐵磁材料在高頻磁化條件下的損耗求解方法。

1892年，C. P. Steinmetz首次提出基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的經(jīng)驗(yàn)公式法求解鐵心損耗并認(rèn)為鐵心損耗僅決定于鐵心材料、頻率與峰值磁通密度[3]。Steinmetz經(jīng)驗(yàn)公式法雖然具有計(jì)算參數(shù)少、形式簡(jiǎn)便等優(yōu)點(diǎn)，但本質(zhì)上屬于現(xiàn)象學(xué)模型，缺乏對(duì)損耗產(chǎn)生機(jī)理的解釋且計(jì)算精度較低[4]。為解決上述問(wèn)題，G. Bertotti基于對(duì)巴克豪森跳躍現(xiàn)象描述，提出經(jīng)典損耗統(tǒng)計(jì)理論（Statistical Theory of Loss, STL），將總損耗分離為磁滯損耗、渦流損耗與剩余損耗分量[5]。損耗統(tǒng)計(jì)理論具有物理概念清晰，適用于任意波形損耗計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)，但鐵磁材料內(nèi)部磁通密度均勻分布、趨膚效應(yīng)可忽略的假設(shè)條件使得損耗統(tǒng)計(jì)理論僅在低頻段適用[6]。文獻(xiàn)[7-8]在損耗統(tǒng)計(jì)理論框架下，基于復(fù)磁導(dǎo)率與線性磁化法則從麥克斯韋方程中推導(dǎo)出了高頻渦流損耗計(jì)算表達(dá)式，但這種改進(jìn)方法僅適用于較低磁通密度下的損耗計(jì)算。一些學(xué)者將磁滯模型如Preisach模型[9]、Energetic模型[10]與電磁場(chǎng)擴(kuò)散方程進(jìn)行耦合[11]，采用有限元法或有限差分法等數(shù)值計(jì)算方法，獲取了高精度的高頻損耗計(jì)算結(jié)果。然而，這些數(shù)值計(jì)算方法在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中會(huì)耗費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間，磁滯的高度非線性特性也會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果收斂的不確定性[12]。

近年來(lái)，B. Ducharne等將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)引入鐵磁材料的渦流場(chǎng)計(jì)算中，實(shí)現(xiàn)了鐵磁材料在高頻條件下動(dòng)態(tài)磁滯回線的精確模擬[13]。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有時(shí)間記憶性與全局相關(guān)性的特點(diǎn)，其階數(shù)提供了全新的自由度，避免了數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行空間離散造成的所需計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)、所需存儲(chǔ)空間較大的問(wèn)題，保證了高頻動(dòng)態(tài)磁滯回線模擬的準(zhǔn)確性，因而被廣泛應(yīng)用于電磁理論領(lǐng)域。比如：D. Guyomar基于機(jī)械干摩擦概念的準(zhǔn)靜態(tài)磁滯模型與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)結(jié)合構(gòu)造的動(dòng)態(tài)模型用于鐵電材料的動(dòng)態(tài)磁滯行為模擬，取得了良好的效果[14]；Zhang Bin等分別將J-A磁滯模型和Preisach模型與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)組合應(yīng)用于鐵磁材料的動(dòng)態(tài)磁滯模擬，針對(duì)取向晶粒硅鋼鐵磁材料的動(dòng)態(tài)磁滯回線與損耗計(jì)算取得了良好的模擬效果[15-16]。然而，上述基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的動(dòng)態(tài)磁滯模擬與損耗計(jì)算存在如下幾個(gè)問(wèn)題：①在高頻條件下磁通密度呈不均勻分布，磁滯損耗將隨磁化頻率與峰值磁通密度發(fā)生變化[17]，基于靜態(tài)磁滯模型獲得的單位周期內(nèi)磁滯損耗與頻率無(wú)關(guān)，這與實(shí)際情況不相符。同時(shí)，磁滯模型實(shí)現(xiàn)起來(lái)較為復(fù)雜且需要較大的數(shù)據(jù)量與計(jì)算量[4]。②分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的參數(shù)提取（包括分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與阻尼系數(shù)）是根據(jù)低頻和高頻條件下的磁滯回線數(shù)據(jù)通過(guò)試湊得到，得到的參數(shù)值并不能保證為全局最優(yōu)值。

在傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論基礎(chǔ)上，本文考慮了高頻條件下磁通密度不均勻分布對(duì)磁滯損耗的影響，提出了基于有限單元剖分法的磁滯損耗計(jì)算方法。在對(duì)R-L型和G-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)特點(diǎn)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，利用R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論中的渦流場(chǎng)和渦流損耗計(jì)算式進(jìn)行改進(jìn)。引入量子遺傳算法，以渦流損耗計(jì)算值與測(cè)量值之間誤差最小為目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型中的阻尼系數(shù)和導(dǎo)數(shù)階次的全局尋優(yōu)。以3%Si-Fe超薄取向硅鋼片為例，通過(guò)愛(ài)潑斯坦方圈測(cè)量了超薄取向硅鋼疊片的損耗，比較了不同頻率、不同磁通密度下傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)模型、基于線性磁化法則的損耗統(tǒng)計(jì)模型與基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的損耗統(tǒng)計(jì)模型的預(yù)測(cè)精度。近年來(lái)，多相電機(jī)及其調(diào)速傳動(dòng)系統(tǒng)已成為國(guó)內(nèi)外研究的焦點(diǎn)。

1 傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論模型

基于損耗統(tǒng)計(jì)理論，G. Bertotti提出了鐵磁材料損耗統(tǒng)計(jì)模型，將單個(gè)周期內(nèi)的鐵磁材料總損耗t分解為靜態(tài)磁滯損耗h、渦流損耗cl和剩余損耗ex，總損耗的表達(dá)式為

在損耗統(tǒng)計(jì)理論框架下，靜態(tài)磁滯損耗僅與峰值磁通密度p有關(guān)，文獻(xiàn)[18]提出了適用于計(jì)算高磁通密度下的磁滯損耗計(jì)算式為

式中，h、、、為參數(shù)，可以根據(jù)靜態(tài)磁滯損耗測(cè)量值擬合得到。

在低頻條件下，傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論基于鐵磁材料內(nèi)部磁通密度均勻分布的假設(shè)條件，根據(jù)Maxwell方程推導(dǎo)出渦流損耗的計(jì)算式為

在高頻條件下，趨膚效應(yīng)顯著，鐵磁材料內(nèi)部的磁通密密度不再均勻分布。文獻(xiàn)[7-8]基于線性磁化法則，考慮趨膚效應(yīng)的影響，提出正弦波激勵(lì)下的渦流損耗表達(dá)式為

其中

G. Bertotti基于材料內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)和磁疇結(jié)構(gòu)的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)分布特性推導(dǎo)了剩余損耗計(jì)算解析式為

式中，為無(wú)量綱數(shù)，0.135 6；為鐵磁材料橫截面積；0為表征磁體局部磁場(chǎng)分布的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。

式（2）、式（3）和式（5）所組成的傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論在低頻條件下對(duì)鐵磁材料的損耗預(yù)測(cè)精度較好，但隨著頻率的升高，趨膚效應(yīng)顯著，此時(shí)鐵磁材料內(nèi)部磁通密度均勻分布的假設(shè)條件將不再適用，進(jìn)而使得傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論的損耗預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值的誤差逐漸增加。為了說(shuō)明傳統(tǒng)損耗理論所存在的這一固有缺陷，本文基于式（2）、式（3）和式（5）計(jì)算了厚度為0.071 9mm的超薄取向硅鋼在磁通密度為0.4T、1T和1.5T下10Hz～10kHz頻率范圍內(nèi)的損耗，并與測(cè)量值進(jìn)行比較，如圖1a～圖1c所示。由圖1可知，隨著頻率的增加，傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論的預(yù)測(cè)值與測(cè)量值的誤差逐漸增大，并且預(yù)測(cè)值明顯高于測(cè)量值。

為了將損耗統(tǒng)計(jì)理論的應(yīng)用范圍擴(kuò)展至寬頻率、寬磁通密度范圍，必須對(duì)傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)行改進(jìn)。需要注意的是，文獻(xiàn)[7-8]研究表明，趨膚效應(yīng)對(duì)剩余損耗分量的影響較小，式（5）仍然適用于高頻條件下剩余損耗的預(yù)測(cè)。

圖1 傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論的損耗計(jì)算值與測(cè)量值對(duì)比

2 改進(jìn)的損耗統(tǒng)計(jì)理論模型

2.1 基于有限單元剖分法改進(jìn)磁滯損耗計(jì)算模型

在低頻率下，鐵磁材料內(nèi)部渦流較小，趨膚效應(yīng)可以忽略。隨著頻率的增加，趨膚效應(yīng)逐漸明顯，趨膚深度的表達(dá)式為

式中，0為真空中磁導(dǎo)率，0=4p×10-7；為硅鋼片的電導(dǎo)率；rz為沿軋制方向的常數(shù)相對(duì)磁導(dǎo)率。

計(jì)及峰值磁通密度對(duì)相對(duì)磁導(dǎo)率的影響，可以表示為以rz為自變量的多項(xiàng)式，有

式中，1～6為擬合系數(shù)，可以采用沿軋制方向的鐵磁材料磁導(dǎo)率測(cè)量值擬合得到。

高頻條件下，鐵磁材料內(nèi)部磁通密度受趨膚效應(yīng)、復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率、非線性磁化特性等因素的共同影響，沿鐵磁材料厚度方向上各個(gè)部分的磁滯回線不同[19]，硅鋼片截面劃分示意圖如圖2所示。假設(shè)硅鋼片被劃分為5層區(qū)域，從外至內(nèi)的區(qū)域分別編號(hào)為1、2、3（即表層為區(qū)域1，中心為區(qū)域3），記硅鋼片截面上磁通密度為pk（=1, 2, 3），對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的渦流為e1、e2。圖2中，為硅鋼片截面寬度，為硅鋼片的厚度，d（=1, 2, 3）為硅鋼片劃分后各層區(qū)域的厚度。硅鋼片外表面上的交變磁通密度scos()的方向平行于軸方向，即軋制方向。上述變化影響了單位周期的總磁滯損耗，一個(gè)周期內(nèi)磁滯損耗不再等于一個(gè)周期內(nèi)、相同磁峰密度下的靜態(tài)磁滯損耗。精確獲取高頻下磁滯損耗必須考慮鐵磁材料厚度方向的磁通密度分布。

圖2 硅鋼片截面劃分示意圖

硅鋼片厚度方向任意位置處的瞬時(shí)磁通密度表達(dá)式[19]為

平均峰值磁通密度p與表面磁通密度s的關(guān)系為

考慮到高頻條件下磁通密度不均勻分布的情況，對(duì)磁滯損耗計(jì)算式（2）進(jìn)行了改進(jìn)，使其能夠適用于高頻條件下磁滯損耗計(jì)算。改進(jìn)步驟為：利用式（8）～式（10）得到給定頻率與表面峰值磁通密度下的磁通密度分布；沿厚度方向上將鐵磁材料劃分為個(gè)單元，計(jì)算各個(gè)單元內(nèi)部磁通密度pn（=1, 2,…,）。采用式（2）計(jì)算各個(gè)單元磁滯損耗，總磁滯損耗為各剖分單元磁滯損耗的疊加，有

2.2 基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的改進(jìn)渦流損耗計(jì)算模型

傳統(tǒng)渦流損耗表達(dá)式中含有瞬時(shí)磁通密度對(duì)時(shí)間的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)。整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的局部極限定義不適用于描述非局部、頻率、歷史等依賴(lài)性過(guò)程[20]。為了避免數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行空間離散造成的所需計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)、存儲(chǔ)空間較大的問(wèn)題，同時(shí)能夠考慮渦流損耗對(duì)頻率的依賴(lài)特性，本文引入分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)高頻渦流損耗的解析建模和計(jì)算。

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)將傳統(tǒng)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)由整數(shù)推廣至非整數(shù)和復(fù)數(shù)[21]。Grünwald-Letnikov（G-L）型與Riemann-Liouville（R-L）型分?jǐn)?shù)階作為分?jǐn)?shù)階算子的特例，前者表示階導(dǎo)數(shù)，后者表示階積分。R-L型分?jǐn)?shù)階是對(duì)G-L型分?jǐn)?shù)階的改進(jìn)與擴(kuò)展[21]，R-L型分?jǐn)?shù)階所能描述的函數(shù)類(lèi)別比G-L型分?jǐn)?shù)階更加廣泛，G-L型僅能用于描述可積的函數(shù)。然而，對(duì)于本文所研究的正弦磁通密度函數(shù)，兩類(lèi)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子是等價(jià)的。因此，本文將依據(jù)R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論中的渦流場(chǎng)和渦流損耗計(jì)算式進(jìn)行改進(jìn)，R-L型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的具體形式[20]為

根據(jù)場(chǎng)分離假設(shè)[22]，渦流場(chǎng)cl與傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論的渦流損耗cl計(jì)算式滿足

將式（12）引入式（13），可以實(shí)現(xiàn)對(duì)傳統(tǒng)損耗統(tǒng)計(jì)理論中的渦流場(chǎng)的改進(jìn)，有

進(jìn)而得到的基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的改進(jìn)渦流損耗解析計(jì)算式，有

2.3 基于優(yōu)化算法的分?jǐn)?shù)階參數(shù)提取方法

式中，f為方均根誤差；cl為基于式（16）的理論計(jì)算值；mea為損耗測(cè)量值。

傳統(tǒng)遺傳算法易受交叉、變異概率取值不當(dāng)影響而產(chǎn)生過(guò)早收斂于局部最優(yōu)解、局部搜索能力弱等問(wèn)題[25]。量子遺傳算法是量子計(jì)算與遺傳算法相結(jié)合新興發(fā)展起來(lái)的概率進(jìn)化算法。利用量子態(tài)的疊加、糾纏和干涉特性，將量子的態(tài)矢量引入遺傳編碼，使一條染色體可以表達(dá)多個(gè)態(tài)的疊加，并利用量子邏輯門(mén)實(shí)現(xiàn)染色體的更新操作，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化與求解。量子遺傳算法既克服了傳統(tǒng)遺傳算法的固有缺陷，同時(shí)也保留了其高魯棒性與廣泛適用性等優(yōu)點(diǎn)。

（1）種群初始化：將不同磁通密度不同頻點(diǎn)的損耗測(cè)量值數(shù)據(jù)點(diǎn)歸為一個(gè)種群集合，利用量子遺傳算法函數(shù)IntPop產(chǎn)生初始化種群下量子比特應(yīng)用于染色體的編碼矩陣chrom，有

（2）采用collapse函數(shù)對(duì)種群進(jìn)行一次測(cè)量，獲得確定解集。

（3）基于目標(biāo)函數(shù)（式（17））對(duì)()中每個(gè)個(gè)體進(jìn)行適應(yīng)度評(píng)估，并作為下一步進(jìn)化目標(biāo)值。

（4）對(duì)步驟（3）進(jìn)行循環(huán)迭代，并保留()中適應(yīng)度最優(yōu)個(gè)體及適應(yīng)度值。

（5）種群迭代次數(shù)是否大于最大迭代數(shù)，滿足條件計(jì)算結(jié)束；否則，繼續(xù)下一步運(yùn)算。

（6）實(shí)行量子門(mén)操作，實(shí)現(xiàn)染色體基因的變異進(jìn)化，從而形成新的種群。量子旋轉(zhuǎn)門(mén)的更新式[26]為

其中

（7）迭代次數(shù)加1，返回步驟（3）。

基于量子遺傳算法的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)參數(shù)提取流程如圖3所示。

圖3 基于量子遺傳算法的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)參數(shù)提取流程

將改進(jìn)磁滯損耗表達(dá)式與改進(jìn)渦流損耗表達(dá)式引入損耗統(tǒng)計(jì)理論框架實(shí)現(xiàn)對(duì)高頻損耗的精確計(jì)算?；谟邢迒卧史址ㄅc分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的改進(jìn)損耗統(tǒng)計(jì)理論計(jì)算流程如圖4所示。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 測(cè)量系統(tǒng)及參數(shù)提取

圖5 超薄取向硅鋼片磁特性測(cè)量系統(tǒng)

表1 超薄取向硅鋼片樣品參數(shù)

式中，m為頻率下動(dòng)態(tài)磁滯回線面積。

單個(gè)周期內(nèi)的磁滯損耗h(p)和剩余損耗中的0可以通過(guò)低頻條件下的總損耗測(cè)量值t,m(p,)來(lái)確定，此時(shí)趨膚效應(yīng)可以忽略。將總損耗測(cè)量值t,m(p,)減去式（3）得到的渦流損耗計(jì)算值cl(p,)，可以得一個(gè)頻率區(qū)間內(nèi)不同峰值磁通密度對(duì)應(yīng)的h+ex隨0.5的變化曲線[28]，有

其中

式中，ex為剩余損耗擬合系數(shù)。

由式（21）可知，該曲線的節(jié)距對(duì)應(yīng)于靜態(tài)磁滯損耗，0可以通過(guò)曲線的斜率得到。本文基于實(shí)驗(yàn)測(cè)量的不同磁通密度下的低頻損耗（10Hz、50Hz、100Hz和150Hz），提取了超薄取向硅鋼片的靜態(tài)磁滯損耗h(p)和0(p)值，結(jié)果如圖6所示。

圖6 由測(cè)量值擬合獲得的Wh和V0隨Bp的變化曲線

基于不同磁通密度下的相對(duì)磁導(dǎo)率測(cè)量值，利用最小二乘法對(duì)式（7）進(jìn)行擬合，得到超薄取向硅鋼片10Hz下（準(zhǔn)靜態(tài)情況）相對(duì)磁導(dǎo)率隨峰值磁通密度變化曲線，如圖7所示。曲線系數(shù)1～6對(duì)應(yīng)為11 014.86、-84 140.82、150 670.69、-105 271.87、60 410.24和-2 035.49。進(jìn)一步將式（7）擬合曲線值代入式（8）可得到不同磁通密度的復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率。

圖7 超薄取向硅鋼片10Hz相對(duì)磁導(dǎo)率隨磁通密度峰值變化

圖8 超薄取向硅鋼片1T下復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率

3.2 計(jì)算結(jié)果及誤差分析

本文將采用傳統(tǒng)STL模型（式（2）、式（3）、式（5）組成傳統(tǒng)STL模型）、基于線性磁化法則的改進(jìn)損耗統(tǒng)計(jì)模型（式（2）、式（4）、式（5）組成模型一）、基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的改進(jìn)損耗統(tǒng)計(jì)模型（式（5）、式（10）、式（16）組成模型二），對(duì)10Hz～10kHz頻率范圍，0.4～1.5T磁通密度范圍內(nèi)超薄取向硅鋼片的損耗進(jìn)行計(jì)算，將上述三種模型的預(yù)測(cè)值與損耗測(cè)量值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖10～圖16所示。

圖9 量子遺傳算法方均根誤差隨迭代次數(shù)變化

圖10 Bp=0.4T損耗預(yù)測(cè)與測(cè)量值對(duì)比

圖11 Bp=0.5T損耗預(yù)測(cè)與測(cè)量值對(duì)比

為了定量比較三種損耗計(jì)算模型的預(yù)測(cè)效果，本文引入平均相對(duì)誤差用于描述損耗計(jì)算模型的整體預(yù)測(cè)效果，平均相對(duì)誤差的表達(dá)式為

圖13 Bp=0.9T損耗預(yù)測(cè)與測(cè)量值對(duì)比

圖14 Bp=1.1T損耗預(yù)測(cè)與測(cè)量值對(duì)比

式中，為不同磁通密度下10Hz～10kHz范圍內(nèi)的測(cè)量頻點(diǎn)數(shù)目，每個(gè)磁通密度下取22個(gè)測(cè)量頻點(diǎn)；W,cal為三類(lèi)損耗計(jì)算模型不同磁通密度下計(jì)算值；W,mea為不同磁通密度實(shí)驗(yàn)測(cè)量值。

表2對(duì)比了三種損耗計(jì)算模型在0.4～1.5T磁通密度范圍內(nèi)的平均相對(duì)誤差。

三種損耗計(jì)算模型的平均相對(duì)誤差與峰值磁通密度變化曲線如圖17所示?？芍诜?jǐn)?shù)階的改進(jìn)損耗統(tǒng)計(jì)模型（模型二）的平均相對(duì)誤差遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)STL和基于線性磁化準(zhǔn)則的改進(jìn)損耗統(tǒng)計(jì)模型（模型一），而模型一在低磁通密度下對(duì)損耗預(yù)測(cè)的精度較傳統(tǒng)STL有所改進(jìn)，但在高磁通密度下預(yù)測(cè)精度的改善效果將不再明顯，這是由于線性磁化法僅適用于低磁通密度，這也進(jìn)一步說(shuō)明了模型一具有高磁通密度高頻損耗預(yù)測(cè)精度差的缺點(diǎn)，這與文獻(xiàn)[8-9]結(jié)論一致。

圖15 Bp=1.3T損耗預(yù)測(cè)與測(cè)量值對(duì)比

圖16 Bp=1.5T損耗預(yù)測(cè)與測(cè)量值對(duì)比

表2 三種損耗計(jì)算模型平均相對(duì)誤差e 對(duì)比

圖17 平均相對(duì)誤差隨峰值磁通密度變化曲線

4 結(jié)論

[1] 楊慶新, 李永建. 先進(jìn)電工鐵磁材料特性與應(yīng)用發(fā)展研究綜述[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2016, 31(20): 1-11.

Yang Qingxin, Li Yongjian. Characteristics and developments of advanced magnetic materials in electrical engineering: a review[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2016, 31(20): 1- 11.

[2] 劉任, 李琳, 王亞琦, 等. 基于隨機(jī)性與確定性混合優(yōu)化算法的Jiles-Atherton磁滯模型參數(shù)提取[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2019, 34(11): 2260-2268.

Liu Ren, Li Lin, Wang Yaqi, et al. Parameter extraction for Jiles-Atherton hysteresis model based on the hybrid technique of stochastic and deter- ministic optimization algorithm[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(11): 2260- 2268.

[3] Steinmetz C P. On the law of hysteresis[J]. Pro- ceedings of the IEEE, 1984, 72(2): 197-221.

[4] 劉剛, 孫立鵬, 王雪剛, 等. 正弦及諧波激勵(lì)下的鐵心損耗計(jì)算方法改進(jìn)及仿真應(yīng)用[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2018, 33(21): 4909-4918.

Liu Gang, Sun Lipeng, Wang Xuegang, et al. Improvement of core loss calculation method and simulation application under sinusoidal and harmonic excitations[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2018, 33(21): 4909-4918.

[5] Bertotti G. General properties of power losses in soft ferromagnetic materials[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 1988, 24(1): 621-630.

[6] Kowal D, Sergeant P, Dupré L, et al. Comparison of iron loss models for electrical machines with different frequency domain and time domain methods for excess loss prediction[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2015, 51(1): 6300110.

[7] Zhao Hanyu, Ragusa C, Appino C, et al. Energy losses in soft magnetic materials under symmetric and asymmetric induction waveforms[J]. IEEE Transa- ctions on Power Electronics, 2019, 34(3): 2655- 2665.

[8] Zhao Hanyu, Ragusa C, de la Barrière O, et al. Magnetic loss versus frequency in non-oriented steel sheets and its prediction: minor loops, PWM, and the limits of the analytical approach[J]. IEEE Transa- ctions on Magnetics, 2017, 53(11): 1-4.

[9] 段娜娜, 徐偉杰, 李永建, 等. 基于極限磁滯回線法的軟磁復(fù)合材料磁特性模擬[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2018, 33(20): 4739-4745.

Duan Nana, Xu Weijie, Li Yongjian, et al. Electro- magnetic property modeling of the soft magnetic composite material based on the limiting loop method[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2018, 33(20): 4739-4745.

[10] Zhang Yu, Pillay P, Ibrahim M, et al. Magnetic characteristics and core losses in machine laminations: high-frequency loss prediction from low-frequency measurements[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2012, 48(2): 623-629.

[11] Steentjes S, Hameyer K, Dolinar D, et al. Iron-loss and magnetic hysteresis under arbitrary waveforms in NO electrical steel: a comparative study of hysteresis models[J]. IEEE Transactions on Industrial Elec- tronics, 2017, 64(3): 2511-2521.

[12] Raulet M A, Ducharne B, Masson J P, et al. The magnetic field diffusion equation including dynamic hysteresis: a linear formulation of the problem[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40(2): 872- 875.

[13] Ducharne B, Sebald G, Guyomar D, et al. Fractional model of magnetic field penetration into a toroidal soft ferromagnetic sample[J]. International Journal of Dynamics and Control, 2017, 6(1): 89-96.

[14] Guyomar D, Ducharne B, Sebald G, et al. Fractional derivative operators for modeling the dynamic polarization behavior as a function of frequency and electric field amplitude[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control, 2009, 56(3): 437-443.

[15] Zhang Bin, Gupta B, Ducharne B, et al. Dynamic magnetic scalar hysteresis lump model based on Jiles-Atherton quasi-static hysteresis model extended with dynamic fractional derivative contribution[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2018, 54(11): 1-5.

[16] Zhang Bin, Gupta B, Ducharne B, et al. Preisachs model extended with dynamic fractional derivation contribution[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2018, 54(3): 1-4.

[17] Ibrahim M, Pillay P. Advanced testing and modeling of magnetic materials including a new method of core loss separation for electrical machines[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2012, 48(5): 1507-1515.

[18] Mthombeni T L, Pillay P. Physical basis for the variation of lamination core loss coefficients as a function of frequency and flux density[C]//IECON 2006-32nd Annual Conference on IEEE Industrial Electronics, Paris, 2006: 1381-1387.

[19] Hamzehbahmani H, Anderson P, Hall J, et al. Eddy current loss estimation of edge burr-affected magnetic laminations based on equivalent electrical network- part II: analytical modeling and experimental results[J]. IEEE Transactions on Power Delivery, 2014, 29(2): 651-659.

[20] 陳文, 孫洪廣, 李西成. 力學(xué)與工程問(wèn)題的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2010.

[21] 吳強(qiáng), 黃建華. 分?jǐn)?shù)階微積分[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2016.

[22] Chandrasena W, McLaren P G, Annakkage U D, et al. An improved low-frequency transformer model for use in GIC studies[J]. IEEE Transactions on Power Delivery, 2004, 19(2): 643-651.

[23] Zhang Bin, Ducharne B, Sebald G, et al. Characteri- zation of fractional order for high-frequency band- width model of dielectric ferroelectrics[J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2014, 27(4): 437-443.

[24] Ducharne B, Sebald G, Guyomar D, et al. Dynamics of magnetic field penetration into soft ferromagnets[J]. Journal of Applied Physics, 2005, 117(24): 243907.

[25] 蘇玉剛, 吳學(xué)穎, 趙魚(yú)名, 等. 互補(bǔ)對(duì)稱(chēng)式LCC諧振網(wǎng)絡(luò)的電場(chǎng)耦合式無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2019, 34(14): 2874-2883.

Su Yugang, Wu Xueying, Zhao Yuming, et al. Parameter optimization of electric-field coupled wireless power transfer system with complementary symmetric LCC resonant network[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(14): 2874- 2883.

[26] 馬書(shū)民, 戎子睿, 林湘寧, 等. 計(jì)及多類(lèi)裝置協(xié)同的直流偏磁治理設(shè)備全局優(yōu)化配置研究[J]. 中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào), 2020, 40(14): 4387-4399, 4720.

Ma Shumin, Rong Zirui, Lin Xiangning, et al. Study on the global optimal configuration of DC bias equipment considering the cooperation of multiple devices[J]. Proceedings of the CSEE, 2020, 40(14): 4387-4399, 4720.

[27] 趙小軍, 劉小娜, 肖帆, 等. 基于Preisach模型的取向硅鋼片直流偏磁磁滯及損耗特性模擬[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2020, 35(9): 1849-1857.

Zhao Xiaojun, Liu Xiaona, Xiao Fan, et al. Hysteretic and loss modeling of silicon steel sheet under the DC biased magnetization based on the Preisach model[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2020, 35(9): 1849-1857.

[28] Barbisio E, Fiorillo F, Ragusa C. Predicting loss in magnetic steels under arbitrary induction waveform and with minor hysteresis loops[J]. IEEE Transa- ctions on Magnetics, 2004, 40(4): 1810-1819.

[29] Liu Ren, Li Lin. Analytical prediction model of energy losses in soft magnetic materials over broad- band frequency range[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2020, 36(2): 2009-2017.

Calculation Method of High-Frequency Loss of Ferromagnetic Materials Based on R-L Type Fractional Derivative and Loss Statistical Theory

1,221,31,2

（1. Hubei Provincial Engineering Technology Research Center for Power Transmission Line Yichang 443002 China 2. College of Electrical Engineering and New Energy China Three Gorges University Yichang 443002 China 3. Yichang Electric Company State Grid Hubei Electric Power Company Yichang 443002 China）

The traditional statistical theory of loss (STL) has a large prediction error of high-frequency loss of ferromagnetic materials and the estimation is too high. For this reason, this paper firstly considers the influence of the uneven distribution of magnetic flux density on hysteresis loss under high-frequency conditions, and proposes a calculation method for hysteresis loss based on the finite element method. Then based on the R-L type fractional derivative, the eddy current field and eddy current loss calculation formulae in the traditional STL are improved, and the quantum genetic algorithm is introduced to optimize the damping coefficient and the order of the derivative in the fractional derivative model. Subsequently, an improved STL method suitable for wide frequency and wide magnetic density range is proposed. Finally, the Epstein frame is used to measure the loss of 3% Si-Fe ultra-thin oriented silicon steel sheet in the frequency range of 10Hz to 10kHz. Comparing the theoretical calculation value with the experimental measurement value, the result shows that the maximum average relative error of the proposed method in the entire frequency band is 9.14%, the minimum average relative error is 2.13%. Compared with the traditional loss theory, the loss prediction accuracy is greatly improved, which verifies the effectiveness of this method.

Loss statistical theory, hysteresis loss, eddy current loss, fractional derivative, quantum genetic algorithm

TM153; TM275

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.201462

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目（52107006）和湖北省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（2021CFB149）資助。

2020-11-01

2020-12-06

陳 彬 男，1989年生，博士，研究生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娏ρb備電磁特性模擬與測(cè)量技術(shù)、新型電工磁性材料綜合磁特性模擬與測(cè)量技術(shù)。

E-mail: chenbin@ctgu.edu.cn（通信作者）

秦小彬 男，1994年生，碩士研究生，研究方向?yàn)樾滦痛判圆牧蠐p耗與磁滯特性模擬。

E-mail: 2902915609@qq.com

（編輯 崔文靜）