袁可琢，成功，韓健，肖新標

(1.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川成都，610031；2.西南交通大學機械工程學院，四川成都，610031)

當列車在軌道上運行時，輪軌間的不平順會導致軌道系統(tǒng)的垂向振動，且由于非連續(xù)支承和結(jié)構變形等，軌道的力學行為表現(xiàn)出高頻振動[1]，這種振動對軌道本身十分不利。對于軌道的振動響應問題，國內(nèi)外學者從不同方面進行了研究，其中模態(tài)疊加法是較為成熟的研究軌道響應的解析方法，SUN等[2]基于模態(tài)疊加法建立了軌道模型以研究道砟沉降對車輛/軌道系統(tǒng)的影響。理論上，模態(tài)疊加法為無限個結(jié)構模態(tài)的線性疊加，在實際應用中需考慮邊界條件的影響，合理地選取軌道長度和模態(tài)截斷頻率，以確保計算的精度和效率。波傳播法[3]是另一種常用的解析方法，其將軌道的空間響應表達成指數(shù)函數(shù)的形式，通過其所需滿足的邊界條件求解復波數(shù)和幅值，并最終得到軌道響應。波傳播法求解過程的物理概念清晰且滿足更多的邊界約束條件。利用解析法通常需要將鋼軌簡化成梁模型[4?8]，在滿足一定精度的前提下可以在很大程度上提高計算效率，且相較于Euler 梁模型，Timoshenko 梁模型能更好地反映鋼軌高頻特性[9]。

隨著商業(yè)軟件的成熟，有限元法因其較高的計算精度而成為研究軌道響應的重要方法。任娟娟等[10]利用ANSYS 對CRTS III 型板式無砟軌道進行了諧響應分析，給出了軌道結(jié)構參數(shù)的優(yōu)化建議。李志強等[11]借助LS DYNA3D建立了車輛/軌道系統(tǒng)的有限元模型，研究了沖擊載荷作用下的輪軌系統(tǒng)動態(tài)響應。辛欣等[12]通過ANSYS 和多體動力學軟件SIMPACK的聯(lián)合仿真提高了研究軌道結(jié)構振動的效率。當需要考慮更高頻段或引入較長的軌道模型時，隨有限元網(wǎng)格數(shù)量增加，其計算效率會大程度降低。為此，人們發(fā)展出了介于有限元法和解析法之間的2.5D 有限元法[13?14]。ZHANG等[15]利用2.5D有限元法研究了軌道系統(tǒng)的頻域動態(tài)響應，并與包含不同剛度扣件的軌道測試結(jié)果進行了對比分析。與有限元法一樣，2.5D有限元法可以考慮鋼軌的截面變形，不僅擴大了其在高頻的適用范圍，還在一定程度上解決了有限元法計算效率低的問題。

格林函數(shù)法也被廣泛應用于軌道振動響應問題的研究。孫宇等[16?17]在考慮車輛?軌道垂向相互作用時應用了格林函數(shù)法，其中鋼軌的格林函數(shù)仍是通過模態(tài)疊加法求得。孫文靜等[18]通過留數(shù)法表達了軌道的格林函數(shù)，在頻域內(nèi)分析了不同軌道模型和車速對軌道系統(tǒng)隨機振動的影響。SHENG等[19]將格林函數(shù)法的應用范圍拓展至時域，提出了鋼軌的時域移動格林函數(shù)。從廣義上來說，格林函數(shù)法是用于求解“源?場”關系問題的一種行之有效的方法，將“源”分解成若干“點源”，對“點源”產(chǎn)生的場即格林函數(shù)進行疊加，從而確定“源”和“場”的關系。盡管推導軌道格林函數(shù)的方法各異[20?22]，但其往往決定了格林函數(shù)方法的效率。

本文作者兼顧計算精度與速度，基于軌道格林函數(shù)研究受離散支承的有砟軌道的垂向振動響應特性，通過傅里葉變換將頻域和時域分析相關聯(lián)，得到軌道的頻域和時域格林函數(shù)。軌道模型中將鋼軌視為無限長Timoshenko 梁，以梁格林函數(shù)來推導軌道系統(tǒng)的振動響應，從而避免了采用模態(tài)疊加法時截斷頻率的限制。該方法本質(zhì)上與波傳播法一致，區(qū)別在于求解過程中無需將空間響應預設成指數(shù)函數(shù)的形式，可直接求解運動方程，而不是將載荷以類似邊界條件的形式代入。將通過梁格林函數(shù)法求得的鋼軌頻域響應和時域響應分別與2.5D 有限元法和有限元法的計算值進行對比，以驗證該方法的可靠性。此外，在常用的傳統(tǒng)頻域模型中，車輪相對于軌道靜止，無法考慮鋼軌在移動載荷作用下的多普勒效應，利用格林函數(shù)法則可克服這一不足。在此基礎上，本文作者研究不同道砟模型對軌道振動響應的影響以及載荷移動速度對鋼軌多普勒效應的影響。

1 計算模型

1.1 軌道力學模型

軌道的力學模型如圖1所示。鋼軌視為無限長Timoshenko 梁，受周期性離散支撐。鋼軌的相關參數(shù)包括單位長度質(zhì)量m、彈性模量E、剪切模量G、密度ρ、橫截面面積A、截面積慣性矩I和剪切系數(shù)κ、從鋼軌底部到橫截面中性層的距離h。位移與鋼軌位置x和時間t有關，包括縱向位移u(x，t)、垂向位移w(x，t)和截面轉(zhuǎn)動角θ(x，t)。Q為作用在鋼軌上的載荷。

圖1 軌道力學模型Fig.1 Mechanical model of track

將半軌枕視為剛體，其質(zhì)量和慣性矩分別為Ms和Is。軌枕的位移變量包括橫向位移xi(t)、垂向位移zi(t)和轉(zhuǎn)動角αi(t)。模型中共包含N個軌枕，第i個軌枕的位置為li。從軌枕中性層到軌腳和軌枕底部的距離分別為h1和h2；d為相鄰2 個軌枕之間的距離。

將扣件和道砟部分視為彈性層，在其起作用的方向上均可等效成彈簧和阻尼器的并聯(lián)裝置（圖中僅顯示垂向裝置）。剛度參數(shù)包括kpx，kpz，kpα，kbx和kbz，阻尼參數(shù)包括cpx，cpz，cpα，cbx和cbz。剛度和阻尼均為常數(shù)，只與扣件和道砟的本身性質(zhì)相關。

1.2 軌道格林函數(shù)

根據(jù)軌道力學模型可以得到鋼軌和軌枕的運動微分方程組：

式中：δ為狄里克雷函數(shù)；Q=δ(x-ξ)e為載荷，e=[0 10]T；qr=[u(x,t)w(x,t)θ(x,t)]T和qri=[u(li,t)w(li,t)θ(li,t)]T為鋼軌的位移列向量；為軌枕的位移列向量；Sx,t，Bt，Ct，Dt和Et為3 階矩陣微分算子，可以根據(jù)軌道的振動微分方程整理得到。

對式(1)和式(2)關于t進行傅里葉變換，分別得到式(3)和式(4)：

由式(4)得

由于鋼軌彎曲和縱向位移耦合，可引入矩陣Tx將Sx,ω對角化為

式中：S1和S2為對角矩陣中的元素。

此時，可引入格林函數(shù)矩陣

其需滿足：

式中：ED為單位矩陣，由式(9)可得

先考慮式(10)右側(cè)為δ(x)的情況，對式(10)進行傅里葉變換后易求解得：

式中：F[.]表示傅里葉變換；σ，σ1和σ2為特征值。將式(11)進行傅里葉逆變換，并用(x?x′)替換x后，即可得無限長桿和Timoshenko梁的格林函數(shù)：

于是，式(6)可以寫成如下形式：

當x=lk時，k為正整數(shù)，令Grk=Gr(lk,ξ,ω)及Qk=Γ*(lk,ξ,ω)e，則有

由式(15)可以解出所有軌枕處鋼軌的Grk，將其代入式(14)得到任意位置處鋼軌的頻域格林函數(shù)Gr。對Gr進行傅里葉逆變換，有

式中：gr為鋼軌的時域格林函數(shù)。

2 格林函數(shù)驗證

軌道格林函數(shù)是軌道的固有屬性，同種軌道結(jié)構對應相同的軌道格林函數(shù)。軌道的相關參數(shù)如表1所示。數(shù)值模擬時軌道模型長度相當于40個軌枕間的跨度。

表1 軌道結(jié)構參數(shù)Table 1 Structural parameters of track

圖2所示為鋼軌在激勵點處的頻域響應，為驗證該結(jié)果的有效性，圖中同時給出了利用2.5D 有限元法計算所得的頻響結(jié)果。

由圖2可見：鋼軌的低頻響應在90 Hz 和510 Hz 處存在峰值，整個軌道可以視為1 個具有2層彈性層的振動系統(tǒng)，軌枕跨中鋼軌的位移導納比軌枕上方鋼軌上的位移導納略高。在中高頻區(qū)，軌枕跨中鋼軌約在1 070 Hz 出現(xiàn)第一個pinnedpinned 共振，而軌枕上方鋼軌由于受到彈性支承，在1 120 Hz 左右出現(xiàn)了反向pinned-pinned 共振；第二個pinned-pinned 共振峰值對應的頻率約為2 870 Hz，2 個激勵點處鋼軌的位移導納均達到最小；第三個pinned-pinned 共振峰值對應頻率約為4 670 Hz，軌枕跨中鋼軌的位移導納最大，軌枕上方鋼軌的位移導納最小。

圖2 不同方法計算的鋼軌頻域響應Fig.2 Frequency-domain response of rail with different methods

對比分別利用梁格林函數(shù)法與2.5D有限元法計算得到的鋼軌頻域響應結(jié)果可見：兩者在2 000 Hz以下的頻域范圍內(nèi)能保持較好的一致性；在更高的頻域內(nèi)，由于鋼軌會發(fā)生截面變形，不再表現(xiàn)出梁的振動行為，2種方法所得計算結(jié)果將會出現(xiàn)明顯差異。這是將鋼軌當成梁來處理所不可避免的，但總體來說，在梁模型所考慮的頻率范圍內(nèi)，該方法有效。

利用時域格林函數(shù)可以對鋼軌的垂向沖擊響應進行時域分析，圖3所示為鋼軌的時域響應，即鋼軌在脈沖激勵下的響應。圖中同時給出了利用有限元軟件ANSYS對軌道進行瞬態(tài)分析得到的時域響應結(jié)果，用以驗證本文方法的準確性。

圖3 不同方法計算的鋼軌時域響應Fig.3 Time-domain response of rail with different methods

由圖3可見：對于軌枕跨中鋼軌，響應的最大值約為6.54 μm/(N·s)，響應主要由90 Hz和1 070 Hz對應的振蕩混合決定，正好對應其頻響中的共振和一階pinned-pinned 共振。對于軌枕上方鋼軌，由于受到支承作用，靈敏度相對于跨中鋼軌略低，其時域響應幾乎是1條平滑的曲線，沖擊響應的最大值約為4.04 μm/(N·s)，主要由頻域中的共振頻率所對應的振蕩主導。

通過與有限元法的瞬態(tài)分析計算結(jié)果對比可知，梁格林函數(shù)法計算得到的軌枕上方的時域響應與有限元結(jié)果基本一致，而跨中鋼軌響應曲線的波動幅度比有限元結(jié)果的大，這是由于相較于有限元模型，梁模型是對實際軌道結(jié)構的簡化描述，其在當前所用的軌道結(jié)構參數(shù)條件下計算所得的一階pinned-pinned 共振略大所導致。總體而言，梁格林函數(shù)法與有限元法計算所得時域響應的結(jié)果相符。但有限元法由于受到網(wǎng)格數(shù)量等因素影響，在本文中進行一次瞬態(tài)分析需要約1 h，而通過梁格林函數(shù)計算軌道時域響應可以在幾秒內(nèi)完成。可見，在滿足一定精度要求的前提下，采用梁格林函數(shù)的計算效率要遠比有限元法的計算效率高。

3 軌道振動響應特性

通過與2.5D 有限元法和有限元法的計算結(jié)果對比，說明了梁格林函數(shù)在頻域和時域分析中的可靠性，以及在計算上的高效性。軌道的振動響應受到諸多因素影響，下面應用該方法對有砟軌道的振動響應進行進一步研究。

3.1 道砟質(zhì)量影響

對于有砟軌道，道砟部分的質(zhì)量對軌道響應的影響不可忽視，前述軌道模型中將道砟部分等效為軌枕與地基之間的彈性層，而忽略了道砟部分的質(zhì)量。為了能顯著體現(xiàn)出道砟的吸振效果，可以在原模型的基礎上，用道砟質(zhì)量塊模型替換簡化的道砟彈性層模型，如圖4所示。

圖4 道砟模型Fig.4 Mechanical model of ballast

在道砟質(zhì)量塊模型中，道砟等效振動質(zhì)量Mb為531 kg，道砟與地基之間的剛度kfz為78 MN/m，阻尼cfz為31 kN·s/m。圖5所示為利用2種道砟模型計算得到的軌道在激勵點處的頻域響應。

由圖5可見：利用2種道砟模型計算得到的軌道頻域響應結(jié)果的區(qū)別主要在300 Hz 以下的低頻區(qū)域，道砟質(zhì)量塊模型中的鋼軌位移導納更高，且共振頻率也更低；在300 Hz以上的中高頻范圍，2種模型計算所得的頻響結(jié)果基本相同。此外，考慮道砟質(zhì)量后，在80 Hz左右的道砟頻響比鋼軌頻響大，此時道砟表現(xiàn)出明顯的吸振作用，而軌枕的吸振作用則發(fā)生在更高的頻率，約為210 Hz。實際上，把道砟處理成質(zhì)量塊會增加軌下支撐部分的柔度，這對鋼軌的高頻響應影響甚微。

圖5 不同模型計算的軌道頻域響應Fig.5 Frequency-domain responses of track with different models

為了更進一步研究軌道的垂向沖擊響應，可以利用時域格林函數(shù)進行時域分析。圖6所示為利用2種道砟模型計算所得的鋼軌部分的沖擊響應。

由圖6可見：與道砟彈性層模型相比，道砟質(zhì)量塊模型中鋼軌的沖擊響應最大值沒有明顯區(qū)別，其主要差異在于響應的衰減速度減緩，這是主導其衰減的振蕩所對應的頻率減小所致，該頻率即對應鋼軌頻響中的共振頻率。

圖6 不同模型計算的鋼軌時域響應Fig.6 Time-domain responses of rail with different models

3.2 多普勒效應

軌道格林函數(shù)反映了軌道在靜態(tài)力作用下的振動響應，其只與軌道本身的結(jié)構屬性相關。在已知軌道格林函數(shù)的基礎上，可進一步研究軌道在動態(tài)力作用下的響應。圖7所示為鋼軌在速度為60 m/s的移動單位載荷作用下的頻域響應。

圖7 鋼軌位移導納Fig.7 Receptance of rail

由圖7可見：當軌道受到移動載荷激勵時，軌枕跨中鋼軌在pinned-pinned 共振頻率附近會出現(xiàn)多普勒效應，原本在靜載作用下的單個pinnedpinned峰值會發(fā)生分叉現(xiàn)象，形成2個共振峰，且峰值會減小，而對于軌枕上方鋼軌則沒有類似的現(xiàn)象。實際上，多普勒效應是載荷與軌道發(fā)生相對移動的必然結(jié)果，利用格林函數(shù)方法可以很好地反映這一現(xiàn)象。多普勒效應與速度相關。圖8所示為在不同速度的移動載荷作用下，軌枕跨中鋼軌在pinned-pinned共振頻率附近的位移導納。

由圖8可見：速度對軌枕跨中鋼軌在高頻范圍內(nèi)的多普勒效應有顯著影響。隨載荷移動速度不斷增大，在pinned-pinned 共振頻域內(nèi)，峰值逐漸減小，且峰值所對應的頻率相差也越來越大，多普勒效應越明顯，這也可以間接反映移動載荷作用下軌道時域響應的復雜性。事實上，pinnedpinned共振與鋼軌波磨的發(fā)展關系較大，因此，研究移動載荷作用下鋼軌在pinned-pinned 共振區(qū)域的多普勒效應對后續(xù)研究鋼軌波磨的發(fā)展很有意義。

圖8 跨中鋼軌位移導納Fig.8 Receptance of rail at mid span

4 結(jié)論

1)應用梁格林函數(shù)法與2.5D 有限元方法計算所得的頻響結(jié)果在2 000 Hz以下的頻域范圍內(nèi)基本相同，與有限元方法計算所得的時域響應亦基本保持一致，表明該方法在軌道振動響應計算中具有較高的可靠性，且該方法的計算效率遠比有限元方法的計算效率高。

2)考慮道砟質(zhì)量后，在頻域內(nèi)會增大鋼軌的低頻響應，并降低其共振頻率，但不影響鋼軌在中高頻范圍內(nèi)的響應；在時域內(nèi)，軌道沖擊響應的衰減速度會減緩。

3)移動載荷的作用會導致軌枕跨中鋼軌在一階pinned-pinned 共振頻率附近產(chǎn)生多普勒效應，原本在靜載作用下的單個pinned-pinned 共振峰會分叉形成2個峰，且隨載荷移動速度增大，分叉越明顯，峰值越小。

4)軌道格林函數(shù)是軌道系統(tǒng)的固有屬性，后續(xù)借助赫茲彈性接觸理論可進一步計算輪軌接觸力。軌道格林函數(shù)是軌道在輪軌相互作用中始終保持不變的位移相關函數(shù)，應用格林函數(shù)方法可避免由于激勵變化導致的位移相關量的重復求解。