秦楠，葉飛，韓興博，梁興，蘇恩杰

(長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，陜西西安，710064)

盾構(gòu)隧道施工工序主要包括盾構(gòu)掘進(jìn)、管片拼裝、壁后注漿等[1]，其中開(kāi)挖期間，由于刀盤(pán)開(kāi)挖半徑比管片外徑大，這部分土體損失若不及時(shí)注漿填充將會(huì)造成地表沉降過(guò)大[2?3]，這也是壁后注漿的主要目的，除此之外，壁后注漿還有防止管片上浮、優(yōu)化管片受力等作用[4?5]。在對(duì)壁后注漿過(guò)程進(jìn)行分析時(shí)，一般將其劃分為充填注漿、滲透注漿、壓密注漿和劈裂注漿[6]4 個(gè)過(guò)程，對(duì)不同的注漿過(guò)程研究方法也不同，充填注漿主要從漿液?jiǎn)卧w的受力分析出發(fā)，利用力學(xué)平衡原理進(jìn)行分析[7?9]；滲透注漿則是利用Darcy定律或廣義Darcy 定律進(jìn)行分析[10?12]；壓密注漿以擴(kuò)孔理論為依據(jù)進(jìn)行分析[13]。目前，對(duì)于壁后注漿壓濾模型研究較少。

MANDELBROT提出了“分形(fractal)”一詞，隨后提出分形理論[14?15]。分形理論可以用來(lái)描述極不規(guī)則的形狀[16]，在巖土工程領(lǐng)域可以用來(lái)研究巖石破裂[17]、巖體節(jié)理[18?19]、巖土體孔隙[20]等，本文作者據(jù)此，考慮土體孔隙存在的分形關(guān)系，將分形理論應(yīng)用于壁后注漿的理論研究中。

在注漿過(guò)程中，如果漿液顆粒粒徑比土體孔隙大，漿液顆粒會(huì)逐漸在滲透邊界上沉積，最后堵塞滲透通道，但漿液中的水體依然能透過(guò)土體，這時(shí)簡(jiǎn)化的模型稱(chēng)為壓濾擴(kuò)散模型(圖1)，此時(shí)作用在管片上的總應(yīng)力可分為Ⅰ區(qū)漿液泡的擠壓應(yīng)力和Ⅱ區(qū)體土體的擠壓應(yīng)力及漿液滲流壓力。本文作者通過(guò)引用分形理論描述土體孔隙，并考慮孔隙率減小等因素推導(dǎo)壁后注漿壓濾擴(kuò)散模型。從以往研究中可以看出壁后注漿的理論研究落后于工程實(shí)踐，注漿參數(shù)往往依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)選取[22?23]，然而不同工程地質(zhì)環(huán)境存在巨大差異，使經(jīng)驗(yàn)取值不具普適性，存在一定的風(fēng)險(xiǎn)。因此，有必要對(duì)壁后注漿進(jìn)行深入研究，將研究成果應(yīng)用于實(shí)際工程。

圖1 壓濾擴(kuò)散模型Fig.1 Model of pressure filtration diffusion

1 壓濾模型推導(dǎo)

1.1 模型假定

在推導(dǎo)壓濾模型前，本文進(jìn)行如下假設(shè)：1) 由于管片半徑R遠(yuǎn)比漿液擴(kuò)散半徑R(t)大，即R>>R(t)，因此，忽略管片曲率的影響；2)漿液按照半球形的模式進(jìn)行擴(kuò)散；3)漿液顆粒堵塞滲透的通道后，漿液內(nèi)的水體依然可以滲入土體內(nèi)部；4)在漿液中水體發(fā)生滲流后，忽略漿液泡的體積變化。模型推導(dǎo)示意圖如圖2所示。

圖2 壁后注漿壓濾模型推導(dǎo)示意圖Fig.2 Schematic diagram of derivation of back-filled grouting filtration diffusion model

壁后注漿對(duì)于管片的作用力包括2個(gè)部分：漿液堵塞土體空隙造成周?chē)馏w壓縮的擠壓應(yīng)力和濾出滲流漿液的孔隙壓力(不考慮原土體對(duì)于管片的荷載)?；诖?，采用TERZAGHI提出的有效應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算[24]：

式中：σ為土體所承受的總應(yīng)力；σe為土體結(jié)構(gòu)(土體顆粒)所承受的有效應(yīng)力；p孔隙流體壓力。式(1)可表達(dá)為[25]

?為孔隙率，對(duì)于巖土體而言，巖土體孔隙分形可通過(guò)分形模型Sierpinski三角形來(lái)模擬[26](圖4)。邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形是一個(gè)巖土體空腔，迭代中不斷去掉小三角形的過(guò)程可看作土體顆粒不斷地填充巖土體空腔的過(guò)程。這樣經(jīng)過(guò)n步后，空間僅由邊長(zhǎng)為r(r=L/2n)的正三角形組成，可得孔隙率的計(jì)算式[27]為

圖4 Sierpinski三角形Fig.4 Sierpinski triangle

式中：C為常數(shù)；Vp為土中孔隙體積；V為土的體積；N為迭代次數(shù)；L為孔隙尺寸的上限值；r為孔隙半徑的下限值，即L=rmax，r=rmin。式(3)即為巖土體孔隙介質(zhì)數(shù)學(xué)分形模型，表明了巖土體分形孔隙的平均統(tǒng)計(jì)特征，孔隙率分形維數(shù)D的取值范圍為2～3。相比于經(jīng)典孔隙模型，分形孔隙模型更復(fù)雜，但考慮更多細(xì)節(jié)，更符合巖土體的實(shí)際結(jié)構(gòu)。在近似求解時(shí)可取C=1，即

當(dāng)漿液泡壓縮土體時(shí)，土體結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生變化，土體孔隙率會(huì)隨之減小，基于此效應(yīng)使用等效孔隙率的概念對(duì)初始孔隙率進(jìn)行修正。土體顆粒壓縮變形可分為2種變形姿態(tài)：一種是土體顆粒位置產(chǎn)生錯(cuò)位，稱(chēng)滑移變形(圖5(a))，此種變形為塑性變形，主要是孔隙結(jié)構(gòu)的變化；另一種是土體骨架顆粒受力壓縮變形而導(dǎo)致的變形，稱(chēng)壓縮變形(圖5(b))，此種變形為彈性變形，即可恢復(fù)的變形?？紤]土體顆粒壓縮模量較大，因此，僅認(rèn)為土體壓縮存在滑移變形。根據(jù)本文作者提出的等效孔隙率，將其參數(shù)定義如下：

圖5 土體變形示意圖Fig.5 Schematic diagrams of soil deformation

式中：VPS為注漿影響體積，對(duì)應(yīng)半徑為mR(t)；m為比例系數(shù)，在參數(shù)分析中取m=3；VG為注入漿液的體積。式(5)中，將土體壓縮變形所減少的孔隙體積均勻等效于注漿影響范圍內(nèi)土體的體積減去漿液體積。

1.2 土體的有效應(yīng)力計(jì)算

有效應(yīng)力主要考慮漿液泡對(duì)于土體的擠壓應(yīng)力，在漿液泡膨脹過(guò)程中可看作球?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題進(jìn)行分析，其對(duì)應(yīng)的平衡力學(xué)方程為[28]

式中：σr和σθ分別為徑向與環(huán)向應(yīng)力分量，

εr和εθ分別為徑向與環(huán)向應(yīng)變分量，μ為泊松比，E為彈性模量，幾何方程為

ur為徑向位移，邊界條件為

R(t)為漿液泡半徑；rw為已知地下水壓力處半徑，p0為擴(kuò)散邊界處的漿液壓力，聯(lián)立式(6)～(9)解得

1.3 土體的孔隙應(yīng)力計(jì)算

土體被漿液泡壓密，土體結(jié)構(gòu)較致密，滲流的漿液對(duì)于土體顆粒的拖曳作用可忽略不計(jì)，僅考慮土體中漿液滲流對(duì)于周?chē)馏w的附加應(yīng)力。無(wú)源不可壓縮流體連續(xù)性方程可化簡(jiǎn)為L(zhǎng)aplace方程[29]：

式中：p為流體壓力。在球坐標(biāo)系中式(11)可改寫(xiě)為

式中：r為球半徑；φ和θ分別為球半徑與坐標(biāo)系夾角。忽略土體的各向異性，對(duì)于牛頓流體半球形滲透擴(kuò)散方程可簡(jiǎn)化為

根據(jù)式(9)解得

1.4 作用在管片上的應(yīng)力

根據(jù)有效應(yīng)力原理，將式(10)及式(14)代入式(2)得

如圖3所示，作用在管片上的應(yīng)力為總應(yīng)力σ，管片受力可通過(guò)以下積分進(jìn)行求解：

式中：Fs為管片所受漿液壓力。

2 參數(shù)分析

在分析中取地下水在rw=5m 處的壓力為0.06 MPa，分別分析注漿初始?jí)毫0、注漿體積VG、孔隙率分形維數(shù)D對(duì)漿液壓力分布及管片壓力的影響。漿液泡半徑可用下式計(jì)算：

2.1 注漿壓力的影響

在進(jìn)行參數(shù)分析時(shí)，注漿體積VG取0.5 m3，其余參數(shù)取值分別為rmin=0.025 mm，rmax=10 mm，D=2.7?？紤]注漿壓力p0分別為0.15，0.20，0.25，0.30，0.35 和0.40 MPa 時(shí)，滲流漿液壓力分布及漿液對(duì)管片應(yīng)力的影響，計(jì)算結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 不同注漿壓力下漿液壓降曲線Fig.6 Grout hydraulic pressure drop curves with different grouting pressures

由圖6可知：漿液壓力隨漿液擴(kuò)散半徑增加逐漸減小，且土體與漿液的交界面處壓力(圖中曲線起點(diǎn)位置)并非漿液的初始注漿壓力，由于交界面前后的介質(zhì)發(fā)生了較大改變，因此，漿液壓力在此界面后明顯減小。

由圖7可以看出：不同注漿壓力下對(duì)應(yīng)的管片壓力分別為564，672，780，888，996和1 105 kN，管片壓力隨注漿壓力增大大致呈線性增大，通過(guò)線性擬合可得管片壓力與注漿壓力滿足線性關(guān)系：

圖7 不同注漿壓力下的管片所受注漿壓力Fig.7 Pressure of grout on segment with different grouting pressures

在實(shí)際工程應(yīng)用中可考慮使用式(19)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。

2.2 注漿體積的影響

考慮注漿體積影響時(shí)注漿壓力p0=0.3MPa，其余參數(shù)取值與2.1節(jié)中的相同，分別考慮漿液注漿體積為0.3，0.4，0.5，0.6 和0.7 m3時(shí)漿液壓力分布及管片壓力的變化，結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8 不同注漿體積下漿液壓降曲線Fig.8 Grouting hydraulic pressure drop curves with different grouting amounts

由圖8可知：根據(jù)假設(shè)土體為各向同性(土體各項(xiàng)參數(shù)不隨擴(kuò)散半徑變化)，隨注漿體積VG的增加，漿液壓降曲線在擴(kuò)散半徑上發(fā)生了平移，各曲線變化規(guī)律相同，但是對(duì)于管片應(yīng)力而言，在相同擴(kuò)散半徑內(nèi)，隨注漿體積增大，管片所受壓力也隨之增大(圖9)。通過(guò)線性擬合可以得到管片壓力與注漿量亦滿足線性關(guān)系：

圖9 不同注漿體積下管片所受注漿壓力Fig.9 Pressure of grout on segment with different grouting amounts

2.3 孔隙率分形維數(shù)的影響

計(jì)算參數(shù)與3.1節(jié)相同，孔隙率分形維數(shù)取值范圍為2～3，分別取D為2.65，2.70 和2.75 進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果如圖10和圖11所示。

圖10 不同孔隙率分形維數(shù)下漿液壓降曲線Fig.10 Grouting hydraulic pressure drop curve with different porosity fractal dimensions

由圖10可以看出：隨D增大，漿液壓力隨之增大，曲線發(fā)生了明顯的上移；D增大會(huì)引起孔隙率?增大，體現(xiàn)在計(jì)算公式σ=?p+(1-?)σθ中，則是孔隙水壓力的比例增大，同時(shí)，孔隙水壓力(初始?jí)毫樽{壓力)明顯比有效應(yīng)力大，因此，隨D增大，漿液壓力也隨之增大。由圖11可以看出：管片壓力隨孔隙率分形維數(shù)增大而增大，孔隙率分形維數(shù)為2.65，2.70和2.75時(shí)對(duì)應(yīng)的管片壓力分別為944，968 和1 000 kN，孔隙分形維數(shù)D對(duì)于管片壓力影響顯著，在實(shí)際工程中應(yīng)根據(jù)地層特性，進(jìn)行具體分析。同樣，通過(guò)擬合可以得到管片壓力與孔隙率分形維數(shù)滿足二次函數(shù)關(guān)系：

圖11 不同孔隙率分形維數(shù)下漿液管片壓力Fig.11 Pressure of grout on segment with different porosity fractal dimensions

3 模型對(duì)比

選取未考慮漿液中水體滲流的管片壓力模型，即未考慮滲流的模型，對(duì)比不同注漿壓力p0時(shí)的壓降曲線和管片所受壓力。注漿體積VG取0.5 m3；rmin=0.025 mm，rmax=10 mm，D=2.70，計(jì)算結(jié)果如圖12和圖13所示。

由圖12可知：隨漿液擴(kuò)散范圍增大，2種模型管片所受壓力的變化量均緩慢減小，且趨于同一值，考慮滲透的模型漿液壓力總是比未考慮滲透的模型的漿液壓力大。即在考慮滲透的模型下，管片所受壓力更大，計(jì)算結(jié)果更保守。由圖13可知：考慮滲透模型(本文模型)下管片壓力在不同注漿壓力下均比未考慮滲透模型的壓力大，注漿壓力越大，兩模型差值越大(圖13)，當(dāng)注漿壓力較大時(shí)，應(yīng)考慮漿液的滲流效應(yīng)。

圖12 壓降曲線對(duì)比Fig.12 Comparison of pressure drop curves

圖13 漿液對(duì)管片壓力對(duì)比Fig.13 Comparison of grout pressure on segments

4 結(jié)論

1)基于有效應(yīng)力原理，漿液泡周?chē)馏w的壓力主要包括漿液泡擠壓周?chē)馏w的有效應(yīng)力和漿液滲流的孔隙水壓力2部分。

2)漿液壓力隨擴(kuò)散半徑增大逐漸減小，且在土體與漿液的交界面處漿液壓力發(fā)生突變，漿液壓力比初始的注漿壓力小。管片壓力隨注漿壓力呈線性增大，在實(shí)際工程應(yīng)用中可考慮采用擬合公式簡(jiǎn)化計(jì)算。

3)孔隙率分形維數(shù)的增大將會(huì)引起孔隙率?增大，而體現(xiàn)在計(jì)算公式σ=?p+(1-?)σθ中，則是總應(yīng)力中孔隙水壓力比例的上升，孔隙水壓力(初始?jí)毫樽{壓力)明顯比有效應(yīng)力大，管片壓力隨孔隙率分形維數(shù)增大而增大，孔隙分形維數(shù)對(duì)于管片壓力影響顯著，在實(shí)際工程中應(yīng)根據(jù)地層條件進(jìn)行具體分析。

4)考慮滲透模型(本文模型)和未考慮滲透模型中漿液壓力均逐漸趨于平緩，考慮滲透的模型漿液壓力總是比未考慮滲透的模型的漿液壓力大，因此，考慮滲透的模型對(duì)于管片的壓力更大，計(jì)算結(jié)果更保守。管片壓力對(duì)比結(jié)果也與漿液壓力相類(lèi)似，且注漿壓力越大，兩模型差值越大，因此，在注漿壓力較大時(shí)，漿液的滲流效應(yīng)越不可忽略。