陳寶興，徐寧寧，林冬冬，王新文

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)化學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，北京，100083)

在選煤領(lǐng)域，黏濕物料和細(xì)物料的干法篩分是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。傳統(tǒng)振動(dòng)篩在處理黏濕物料時(shí)效率低，且篩孔易被堵[1?4]。近年來(lái)，一些新的高效篩分設(shè)備不斷問(wèn)世。其中，弛張篩具有篩面加速度大，篩分效率高，適應(yīng)性強(qiáng)和地基動(dòng)載荷小等優(yōu)點(diǎn)[5?8]，得到了廣泛應(yīng)用。弛張篩的最大優(yōu)勢(shì)在于柔性篩面在激振力的作用下會(huì)產(chǎn)生高頻、大振幅振動(dòng)[9?11]。因此，研究篩面振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性可以加深對(duì)弛張篩工作原理的認(rèn)識(shí)，更好地使用與改進(jìn)弛張篩。

到目前為止，前人針對(duì)篩面振動(dòng)提出的理論主要基于以下3種模型：懸鏈線模型、簡(jiǎn)支梁模型和彈性壓桿模型。XIONG 等[12]建立了基于懸鏈線理論的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述篩面振動(dòng)，并研究了激振器的旋轉(zhuǎn)速度、篩面傾斜角和張緊量對(duì)篩面振動(dòng)的影響。懸鏈線模型可以描述弛張篩面的靜止?fàn)顟B(tài)，但不能描述動(dòng)態(tài)過(guò)程。鄒夢(mèng)麒等[13]提出了1種由三段圓弧組成的張弛篩篩面模型，分析張緊量對(duì)位移、速度、加速度和等效應(yīng)力的影響。ZHANG 等[14]將篩面簡(jiǎn)化為兩端可以移動(dòng)的簡(jiǎn)支梁模型并建立動(dòng)力學(xué)方程，研究了篩面中點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和篩上顆粒運(yùn)動(dòng)軌跡。對(duì)于彈性壓桿模型，ZHAO等[15]將篩面視為兩端可移動(dòng)的彈性壓桿以建立動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算得到了加速度表達(dá)式和數(shù)值解。無(wú)論是簡(jiǎn)支梁模型還是彈性壓桿模型，都認(rèn)為篩面長(zhǎng)度保持不變，這忽略了柔性篩面在振動(dòng)過(guò)程中不斷地拉伸和收縮的過(guò)程。

除了理論研究，也有很多關(guān)于篩面振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)與模擬研究。PENG等[16]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了初始張緊量、聚氨酯篩板硬度以及驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)速等因素對(duì)篩面運(yùn)動(dòng)特性的影響。WU 等[17]提出了一種DEM-MBD(離散元法?多剛體動(dòng)力學(xué))雙向耦合方法，使用分段線性插值的方法簡(jiǎn)化了柔性篩面。ZHAO等[18]通過(guò)正交試驗(yàn)研究了振動(dòng)參數(shù)對(duì)圓振動(dòng)篩的綜合影響。

盡管已經(jīng)提出了許多模型來(lái)研究弛張篩面的振動(dòng)，但是這些模型都忽略了篩面的縱向振動(dòng)，同時(shí)，這些研究默認(rèn)弛張篩面兩端只受到相對(duì)縱向激勵(lì)，而不討論橫向激勵(lì)對(duì)篩面振動(dòng)的影響。為此，本文作者提出一種基于弦振動(dòng)模型和Hamilton原理的方法，分析篩面的動(dòng)力學(xué)特性，可以獲得篩面上任何時(shí)間和任意位置處的縱向和橫向位移。

1 弛張篩簡(jiǎn)介

弛張篩的工作原理如下：柔性篩面兩端分別與不同的篩框相連，篩框之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)使篩面振動(dòng)。常見(jiàn)的弛張篩可以分為2類：

1)LIWELL式弛張篩。電機(jī)產(chǎn)生的扭矩通過(guò)皮帶傳送到曲柄連桿機(jī)構(gòu)，連桿與外篩框相連。運(yùn)行時(shí)，內(nèi)外篩框之間有沿篩面方向的相對(duì)振動(dòng)。

2)振動(dòng)式弛張篩。圖1所示為圓振動(dòng)弛張篩。在運(yùn)行時(shí)，激振器使主浮篩框做圓振動(dòng)，主浮篩框之間會(huì)產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)[19]。主浮篩框之間用剪切彈簧連接，剪切彈簧在水平方向剛度較小而在豎直方向剛度較大，因此，武繼達(dá)等[20]認(rèn)為主浮篩框之間只存在沿篩面方向的相對(duì)振動(dòng)，而不存在垂直于篩面方向的相對(duì)振動(dòng)。由于事實(shí)存在垂直于篩面方向的相對(duì)振動(dòng)，本文在不忽略其影響的情況下，建立受橫向?縱向耦合激勵(lì)作用的篩面的振動(dòng)方程，并求得數(shù)值解。

圖1 圓振動(dòng)弛張篩Fig.1 Circular vibration flip-flow screen

2 弦模型建立

圖2所示為弦模型示意圖。將弛張篩面中線處簡(jiǎn)化為一根弦，將兩端的相對(duì)位移簡(jiǎn)化為一端固定，一端受到縱向?橫向耦合激勵(lì)。以水平方向?yàn)閤方向，以豎直方向?yàn)閥方向。弦一開始處于剛好張緊狀態(tài)，弦長(zhǎng)為l，x為初始狀態(tài)時(shí)弦上固定點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或沿弦方向的廣義坐標(biāo))，x∈[0，l]。弦在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中既考慮縱向振動(dòng)又考慮橫向振動(dòng)?？v向振動(dòng)方向?yàn)閤方向，橫向振動(dòng)方向?yàn)閥方向。

圖2 弦模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of string model

本模型基于以下2個(gè)假設(shè)：

1)弦具有連續(xù)性和均勻性，即弦的密度、彈性模量、截面積在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終不變；

2)在每1個(gè)時(shí)刻外界激勵(lì)傳遞的能量與篩面阻尼消耗的能量相同。

弦的縱向位移表達(dá)為u(x，t)，橫向位移表達(dá)為w(x，t)。將弦一端受到的耦合位移激勵(lì)分解為水平方向和豎直方向的周期位移激勵(lì)，因此，弦的邊界條件可以表示為

式中：a為縱向位移激勵(lì)的幅值；b為橫向位移激勵(lì)的幅值；ω為激勵(lì)的頻率。

因?yàn)橄业倪吔鐥l件是非齊次的，需要將其轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件以方便后續(xù)的計(jì)算，將u(x，t)和w(x，t)表示為

式中：s(x，t)與g(x，t)為齊次邊界條件；f(x，t)與v(x，t)為非齊次邊界條件，可以表示為

它們的偏微分可以表示為

3 振動(dòng)方程的建立

對(duì)于弦上任意一點(diǎn)任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)，矢徑r為

其中：i和j為單位向量。

速度v為

系統(tǒng)動(dòng)能T可以表示為

式中：ρ為弦的線密度。

系統(tǒng)勢(shì)能V可以表示為

式中：E為彈性模量；A為弦的截面積；F0為弦初始張緊力。ε為應(yīng)變，計(jì)算如下

拉格朗日量L為

利用哈密頓原理：

將式(10)代入式(11)中，利用變分原理與分部積分的方法，得

將式(2)代入式(12)中，得

由于偏微分方程的求解比較困難，本文運(yùn)用伽遼金法將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。根據(jù)伽遼金法[21]，g(x，t)和s(x，t)可以表示為

g(x，t)的偏微分可以表示為

s(x，t)的偏微分可以表示為

在滿足邊界條件的情況下，設(shè)試函數(shù)?i(x)為

將式(3)，(4)，(14)～(17)代入式(13)，并在式兩端同乘以權(quán)函數(shù)，得

為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，定義新變量ξ，將篩面上點(diǎn)的位置歸一化，表示為

等式兩端對(duì)ξ從0 到1 積分，即可將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，可以表示為

其中：

矩陣M，K1，K2，K3，K4，K5，K6，K7，K8，K9，K10，K11，F(xiàn)1，F(xiàn)2的表達(dá)式如下。

令I(lǐng)=iπξ；J=jπξ；N=ωt

4 模擬模型的建立

利用ABAQUS 建立篩面的仿真模型，模擬篩面的振動(dòng)過(guò)程，如圖3所示。在該模型中，篩面長(zhǎng)度l為316 mm，寬d為500 mm，厚h為4 mm。篩面材料為聚氨酯，密度ρv為1 500 kg/m3。外加縱向激勵(lì)的振幅a為6 mm，頻率ω為10 Hz。

圖3 篩面模型Fig.3 Screen panel model

由于聚氨酯材料具有超彈性，本文選擇用Mooney-Rivlin 本構(gòu)模型描述材料特性[20]。在兩參數(shù)的Mooney-Rivlin 模型中，需要通過(guò)近似計(jì)算來(lái)獲得C01和C10這2 個(gè)參數(shù)，即彈性模量E與剪切模量G近似有：E≈3G。常數(shù)C01和C10近似有：C01≈4C10，同時(shí)G=2(C01+C10)。令E=1.2 MPa 時(shí)，可以計(jì)算出C01=0.16 MPa，C10=0.04 MPa。

在ABAQUS后處理模塊中，輸出篩面中線處x坐標(biāo)為0，39.5，79.0，118.5，158.0，197.5，237.0，276.5 和316.0 mm 的9 個(gè)點(diǎn)的x方向和y方向的位移。

5 理論驗(yàn)證

在篩面一端施加圓位移激勵(lì)的情況下(即a=b)，利用弦振動(dòng)模型理論計(jì)算的結(jié)果與模擬結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證理論的正確性。由于篩面模型的厚度為4 mm，因此選擇弦振動(dòng)模型的橫截面的長(zhǎng)×寬為4 mm×4 mm，各參數(shù)取值見(jiàn)表1。

表1 弦振動(dòng)方程中各參數(shù)取值Table 1 Value of each parameter in string vibration equation

1)將表1中各參數(shù)代入矩陣，并選取i=2，即可得到各矩陣的只含有變量t的表達(dá)式。

2)再將這些矩陣代入到式(20)中，利用MATLAB 中的四階龍格庫(kù)塔算法即可得到p(t)和q(t)的數(shù)值解。

3)在得到數(shù)值解后代入不同x即可得到篩面中線處不同位置的縱向位移和橫向位移。

5.1 篩面中線處的縱向位移

選取模擬與計(jì)算結(jié)果中穩(wěn)定振動(dòng)1 s 結(jié)果，計(jì)算平均振幅與平均周期，部分點(diǎn)的結(jié)果見(jiàn)表2?？紤]到x為0 mm和316 mm處計(jì)算結(jié)果與模擬結(jié)果是完全相同的，可得幅值的平均相對(duì)誤差為9.584%，周期的平均相對(duì)誤差為0.680%。

同時(shí)，繪制各點(diǎn)處的位移?時(shí)間圖，以便直觀了解理論計(jì)算與模擬結(jié)果的擬合程度。x為79，158和237 mm的3點(diǎn)處的位移?時(shí)間圖見(jiàn)圖4。

由表2和圖4可知：理論計(jì)算與模擬結(jié)果中，縱向運(yùn)動(dòng)均為近似周期振動(dòng)，周期約為0.1 s，這與外加激勵(lì)的振動(dòng)周期一致。振幅的變化規(guī)律是越靠近篩面固定端幅值越小，反之則越大。從模擬結(jié)果分析，越靠近固定端振動(dòng)的穩(wěn)定性越差，振幅變化越大。利用MATLAB 對(duì)結(jié)果進(jìn)行快速傅里葉變換，得到的篩面中點(diǎn)處的幅頻曲線，如圖5所示。

表2 縱向振動(dòng)的模擬與計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of simulation and calculation results of axial vibration

圖4 縱向振動(dòng)的時(shí)間?位移圖Fig.4 Time domain diagrams for axial displacement

由圖5可知：在計(jì)算結(jié)果中，振幅最大時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率為10 Hz，在模擬結(jié)果中也是10 Hz，這與外加激勵(lì)的頻率相同。在其他頻率處的振幅很小。在計(jì)算結(jié)果中最大振幅為3.036 mm，模擬結(jié)果中最大振幅為3.212 mm，相對(duì)誤差為5.48%。

圖5 縱向振動(dòng)的幅頻特性曲線Fig.5 Frequency domain characteristics for axial displacement

5.2 篩面中線處的橫向位移

與5.1節(jié)相同，選取模擬與數(shù)值計(jì)算結(jié)果中的穩(wěn)定振動(dòng)1 s 結(jié)果，將各點(diǎn)處的橫向振動(dòng)的平均振幅和平均周期列于表3中。考慮到x為0 mm和316 mm處計(jì)算結(jié)果與模擬結(jié)果完全相同，幅值的平均相對(duì)誤差為7.017%，周期的平均相對(duì)誤差為1.157%。

x分別為79，158 和237 mm 時(shí)3 點(diǎn)的時(shí)間?位移圖見(jiàn)圖6。

由表3和圖6可知：在理論計(jì)算與模擬結(jié)果中，橫向運(yùn)動(dòng)與縱向運(yùn)動(dòng)都為近似周期振動(dòng)，周期均與外界激勵(lì)振動(dòng)周期一致。橫向振動(dòng)振幅的變化規(guī)律是越靠近篩面中點(diǎn)處振幅越大，反之則越小。

圖6 橫向振動(dòng)的時(shí)間?位移圖Fig.6 Time domain diagrams for lateral displacement

表3 橫向振動(dòng)的模擬與計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of simulation and calculation results of lateral vibration

利用MATLAB 對(duì)結(jié)果進(jìn)行快速傅里葉變換，得到的篩面中點(diǎn)處的幅頻曲線見(jiàn)圖7。

圖7 橫向振動(dòng)的幅頻特性曲線Fig.7 Frequency domain characteristics for the lateral displacement

與5.1節(jié)縱向振動(dòng)一樣，橫向振動(dòng)的計(jì)算結(jié)果與模擬結(jié)果中振幅最大時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率均為10 Hz。在其他頻率處的振幅相對(duì)而言很小。在計(jì)算結(jié)果中最大振幅為36.68 mm，模擬結(jié)果中最大振幅為39.67 mm，相對(duì)誤差為7.54%。

理論計(jì)算與模擬結(jié)果之間存在偏差，分析可能的原因：

1)本文假設(shè)篩面在任意時(shí)刻由阻尼消耗的能量與外界激勵(lì)輸入的能量相等，事實(shí)上在穩(wěn)定振動(dòng)的狀態(tài)下，一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)遵循這個(gè)規(guī)則，而每個(gè)時(shí)刻下輸入的能量與消耗的能量并不完全相等；

2)為簡(jiǎn)化計(jì)算，本文假設(shè)彈性模量始終保持不變，而利用本構(gòu)模型描述的聚氨酯材料的超彈性，應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的，這也影響了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

6 橫向激勵(lì)的影響

在研究篩面振動(dòng)時(shí)，最值得關(guān)注是篩面的橫向振動(dòng)，因此，分析不同橫向激勵(lì)對(duì)篩面的橫向振動(dòng)的影響。在保持縱向激勵(lì)不變的情況下，分別計(jì)算橫向激勵(lì)振幅b=0，2和4 mm時(shí)篩面中點(diǎn)處的橫向位移，與b=6 mm時(shí)的篩面中點(diǎn)處的橫向位移進(jìn)行比較。選取篩面中點(diǎn)穩(wěn)定振動(dòng)1 s 結(jié)果，橫向振動(dòng)的位移?時(shí)間圖見(jiàn)圖8。

由圖8可知：在不同橫向激勵(lì)的作用下，篩面仍然在進(jìn)行近似周期振動(dòng)，但橫向振動(dòng)的振幅與周期都發(fā)生了變化。b從0 mm增大到6 mm，對(duì)應(yīng)的平均振幅從27.43 mm 增大到54.25 mm，對(duì)應(yīng)的平均周期從0.21 s 減小到0.10 s。在完全沒(méi)有橫向激勵(lì)的情況下，篩面的橫向振動(dòng)周期為0.21 s，約為外加縱向激勵(lì)周期的2 倍，而隨著橫向激勵(lì)增強(qiáng)，篩面的橫向振動(dòng)周期越來(lái)越接近于縱向?橫向耦合激勵(lì)的周期。此外，由于振幅及振動(dòng)頻率增大，篩面的速度與加速度增幅更明顯。尤其是被認(rèn)為對(duì)篩分效率影響最大的篩面加速度，通過(guò)計(jì)算，橫向激勵(lì)幅值b從0 mm增大到6 mm，對(duì)應(yīng)的篩面中點(diǎn)的最大加速度從10.3g增大到43.6g。加速度的大幅增加將有利于物料的深度篩分。周期、振幅和加速度的變化如圖9所示。

圖8 不同振幅的橫向激勵(lì)作用下篩面中點(diǎn)橫向振動(dòng)的位移?時(shí)間圖Fig.8 Time domain diagrams at midline of panel for lateral vibration with different excitations

圖9 不同幅值的橫向激勵(lì)作用下振動(dòng)的周期、振幅和加速度圖Fig.9 Period,amplitude and acceleration of lateral vibration with different lateral excitations

本文提出的新的弦振動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)有：

1)弦在振動(dòng)過(guò)程中的張緊松弛運(yùn)動(dòng)與弛張篩的弛張運(yùn)動(dòng)更吻合，并且可以得到每個(gè)時(shí)刻每個(gè)位置處的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。

2)考慮了弛張篩篩板受到縱向?橫向耦合激勵(lì)時(shí)的運(yùn)動(dòng)，更符合弛張篩篩板的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況。

在工程實(shí)踐中，往往通過(guò)增加或減少剪切彈簧來(lái)調(diào)節(jié)主浮篩框之間的沿篩面方向的剛度，這一過(guò)程中垂直于篩面方向的剛度變化往往被忽略，本文證明這種變化對(duì)弛張篩篩面振動(dòng)有一定的影響。

7 結(jié)論

1)提出一種基于弦振動(dòng)模型和Hamilton 原理的篩面振動(dòng)理論。篩面在耦合激勵(lì)作用下在縱向與橫向上分別進(jìn)行近似周期振動(dòng)。對(duì)于縱向振動(dòng)，計(jì)算結(jié)果與模擬結(jié)果相比，幅值平均相對(duì)誤差為9.584%，周期平均相對(duì)誤差為0.680%；對(duì)于橫向振動(dòng)，幅值平均相對(duì)誤差為7.017%，周期平均相對(duì)誤差為1.157%。

2)隨著橫向激勵(lì)振幅增大，篩面中點(diǎn)處橫向振動(dòng)的幅值由27.43 mm 增大54.25 mm，振動(dòng)周期由0.21 s 減小到了0.1 s，加速度則由10.3g增加到了43.6g，說(shuō)明讓篩面兩端存在適當(dāng)橫向相對(duì)運(yùn)動(dòng)有助于增強(qiáng)篩面振動(dòng)強(qiáng)度，進(jìn)而提高弛張篩的篩分效率。

3)本文為了簡(jiǎn)化計(jì)算而假設(shè)篩面在任意時(shí)刻由阻尼消耗的能量與外界激勵(lì)輸入的能量相等以及彈性模量始終保持不變，在一定程度上影響了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，在后續(xù)研究中將改進(jìn)這2點(diǎn)。