須勤

摘 要：發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)是《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）提出的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一。圍繞數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)這一主題，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者在其內(nèi)涵理解、關(guān)于其在教與學(xué)的過程中存在的問題以及培養(yǎng)策略等方面已經(jīng)進(jìn)行了探索，并取得了不少研究成果。筆者對(duì)此進(jìn)行梳理、分析與總結(jié)，并提出了進(jìn)一步的思考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思考；符號(hào)意識(shí)；內(nèi)涵理解；培養(yǎng)策略

一、研究背景

“符號(hào)”一詞起源于希臘，英文譯名為“symbol”。著名數(shù)學(xué)家羅素【英】說：“數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯?！睌?shù)學(xué)符號(hào)是一種特定的、精煉的、專用的數(shù)學(xué)語言，是數(shù)學(xué)抽象思維的產(chǎn)物，又是人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)進(jìn)行表示、推理、計(jì)算的工具，數(shù)學(xué)思維活動(dòng)以此為載體。狹義上的數(shù)學(xué)符號(hào)，以人們約定俗成的方式存在，如規(guī)定加法用“+”表示，減法用“-”表示。廣義上的數(shù)學(xué)符號(hào)，是指表示數(shù)量之間的規(guī)律及其關(guān)系的所有符號(hào)，可以用來描述數(shù)學(xué)對(duì)象，如數(shù)學(xué)用語、公式、圖表、數(shù)字等。經(jīng)歷了數(shù)千年歷史的積淀與完善，數(shù)學(xué)符號(hào)展現(xiàn)著獨(dú)特的魅力，成為通用的科學(xué)語言。它不同于漢語、英語、德語等一般的語言，它突破文化和地域的界限，成為一種國(guó)際化的規(guī)范語言。它是人類智慧的產(chǎn)物，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步。

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的把握對(duì)其數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著直接的影響。自從2001年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）中將“符號(hào)感”作為核心概念提出以來，對(duì)于數(shù)學(xué)“符號(hào)感”的研究就成為一個(gè)比較活躍的領(lǐng)域。在之后的新一輪課程改革中，數(shù)學(xué)符號(hào)受到了人們前所未有的關(guān)注。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中，“符號(hào)感”一詞更名為“符號(hào)意識(shí)”。因此，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)成為我國(guó)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。孩子自從學(xué)習(xí)算術(shù)開始，就與符號(hào)有了接觸，上了小學(xué)之后，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的接觸就更多。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一就是要讓學(xué)生知道并理解數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，能運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)解決一些數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。事實(shí)上，一些發(fā)達(dá)國(guó)家及地區(qū)很早就認(rèn)識(shí)到符號(hào)意識(shí)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，如《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的要求。還有我國(guó)的特別行政區(qū)——香港的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也指出，要發(fā)展并培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。鑒于此，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者和一線教師在數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的內(nèi)涵理解、對(duì)其在教與學(xué)方面存在的問題以及培養(yǎng)策略等方面做了一定的研究與探索。本文對(duì)關(guān)于數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)已取得的研究成果進(jìn)行了梳理、分析與總結(jié)，為后續(xù)研究做準(zhǔn)備。

二、關(guān)于符號(hào)意識(shí)內(nèi)涵理解的研究

對(duì)于符號(hào)意識(shí)，目前還沒有一個(gè)清晰、明確的定義。國(guó)外的很多學(xué)者從數(shù)學(xué)符號(hào)的特征和表現(xiàn)形式進(jìn)行描述，更傾向于認(rèn)為其是一種能力的體現(xiàn)。Fey（1990）對(duì)符號(hào)感的闡述比較系統(tǒng)，他認(rèn)為符號(hào)感的表現(xiàn)形式多種多樣，它總是和數(shù)感、函數(shù)感和圖像感等相互聯(lián)系，但他認(rèn)為符號(hào)意識(shí)也是一種能力。Kinzel認(rèn)為符號(hào)感就是“在具體情境中，能創(chuàng)造出準(zhǔn)確的代表數(shù)量關(guān)系的代數(shù)表達(dá)式，是符號(hào)解釋和符號(hào)操作的結(jié)合體，是一種能力”。Nurit Zehavi認(rèn)為“在解決問題的過程中，符號(hào)感通常和數(shù)感、圖表感、函數(shù)感等聯(lián)系緊密并交織出現(xiàn)”，因此要給它下定義，非常困難。Abraham Arcavi 認(rèn)為符號(hào)意識(shí)不僅是一種能力，也是一種思維活動(dòng)，是對(duì)符號(hào)的一種直覺，一種理解以及運(yùn)用。他試圖詳細(xì)具體地羅列符號(hào)感的表現(xiàn)特征，并對(duì)其進(jìn)行分類，但仍然認(rèn)為其完善度不夠。

在我國(guó)，“符號(hào)意識(shí)”是數(shù)學(xué)課標(biāo)中的一個(gè)重要概念。早在2001年《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）中，首次將“符號(hào)感”作為一個(gè)核心概念提出，認(rèn)為符號(hào)感是“人對(duì)符號(hào)的意義、作用的理解以及主動(dòng)地使用符號(hào)的一種習(xí)慣和意識(shí)”。之后學(xué)者們都是在此基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行理解。如史炳星等對(duì)符號(hào)感的理解與其一致，他們強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)重要的一步是用字母表示數(shù)，認(rèn)為理解用字母表示數(shù)對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)是有幫助的。也有學(xué)者認(rèn)為符號(hào)感就是一種對(duì)符號(hào)的直接感受和感悟。如王兄從表象圖式的角度來理解符號(hào)感，認(rèn)為其是指對(duì)符號(hào)的感受和領(lǐng)悟能力。有些學(xué)者認(rèn)為符號(hào)感的提法不夠恰當(dāng)，對(duì)此存在爭(zhēng)議。何小亞在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）芻議》一文中認(rèn)為是翻譯的誤差，主張符號(hào)感的提法值得商榷。鄭毓信的觀點(diǎn)與其一致，認(rèn)為符號(hào)意識(shí)不是簡(jiǎn)單地對(duì)符號(hào)的某種感覺、感悟能力達(dá)到的水平，更是一種心理活動(dòng)和數(shù)學(xué)意識(shí)。這種符號(hào)意識(shí)與數(shù)感及數(shù)學(xué)模型聯(lián)系緊密，是對(duì)數(shù)學(xué)語言的一種綜合運(yùn)用，不能簡(jiǎn)單地歸結(jié)為對(duì)符號(hào)的直觀感覺，即符號(hào)感的問題。經(jīng)過10年的課程改革，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）在經(jīng)驗(yàn)總結(jié)中不斷反思，最終將“符號(hào)感”一詞改為“符號(hào)意識(shí)”。之后，關(guān)于符號(hào)意識(shí)的理解基本都以此為參照，與其表現(xiàn)一致，很少再有爭(zhēng)議。

縱觀以上國(guó)內(nèi)外學(xué)者們對(duì)符號(hào)意識(shí)內(nèi)涵的理解，他們都認(rèn)為符號(hào)意識(shí)是一種自覺主動(dòng)地理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)的態(tài)度和能力。他們對(duì)此各抒己見，但更傾向于是對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的特征及表現(xiàn)形式的描述，而并非其真正內(nèi)涵。因此，符號(hào)意識(shí)的真正內(nèi)涵是什么，值得我們進(jìn)一步地思考。

三、關(guān)于符號(hào)意識(shí)教與學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性研究

這些年來，一線的數(shù)學(xué)教師、研究人員及學(xué)者，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的教與學(xué)進(jìn)行了相關(guān)的調(diào)查研究與分析總結(jié)，同時(shí)借鑒吸收了一些教育學(xué)、心理學(xué)中關(guān)于知識(shí)獲得的認(rèn)識(shí)，兩者結(jié)合，提升成為數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)教學(xué)的依據(jù)，為學(xué)生“怎樣學(xué)”，教師“如何教”，提供了指導(dǎo)。但沒有說為何要這樣做，其本質(zhì)是認(rèn)識(shí)論的、經(jīng)驗(yàn)式的。這些在實(shí)踐中得到的規(guī)律，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的教學(xué)有著指導(dǎo)性的意義。

（一）關(guān)于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)習(xí)的研究

學(xué)生在數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)習(xí)的過程中，往往會(huì)出現(xiàn)各種類型的錯(cuò)誤。國(guó)外的不少學(xué)者從認(rèn)知、教學(xué)、解題等方面對(duì)其進(jìn)行了深入研究。Davis提出了學(xué)生“二重返回”的錯(cuò)誤規(guī)律，比如學(xué)生出現(xiàn)“3×3=6”的錯(cuò)誤，是因?yàn)榕c最初的加法法則相混淆而導(dǎo)致的。然而，上述錯(cuò)誤也可以認(rèn)為是對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)理解上的偏差所致的。乘法符號(hào)“×”和加法符號(hào)“+”在外表形式上類似，對(duì)學(xué)生的理解產(chǎn)生了干擾。事實(shí)上，學(xué)生所存在的一些問題都是源于某些“干擾”，有其他語言形式的干擾、其他學(xué)科表述的干擾以及學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的干擾等。