張美霞，劉忠源

(遼寧大學 物理學院，遼寧 沈陽 110036)

0 引言

通電螺線管這一裝置在工程中較為常用，然而，此裝置在空間任一點的磁場強度的計算非常復雜，不易闡明，一些教材和文獻中只給出了在軸線上的磁場分布的表達式或者是任意一點表達式的近似形式[1-4].蘇安[5]用矢勢法和磁標勢法從理論上給出了空間任意點的磁場表達式，王慧娟[6]采用COMSOL Multiphysics仿真軟件模擬了通電螺線管空間磁場分布.莫云飛等[7-9]采用不同的理論方法推導了通電螺線管激發(fā)的磁場中任意位置的磁感應強度，并將結(jié)果繪制成圖像.從結(jié)果上看，結(jié)論基本上是一致的.本文從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，盡可能具體地給出它們的推導過程和表達式，并應用MATLAB從不同角度進行繪圖、討論.與前幾位作者相比，雖然理論方法不同，但是結(jié)論還是具有一致性.

1 有限長通電螺線管周圍磁場分布的討論

對于單位長度上線匝數(shù)為n的通電螺線管而言，將螺線管的中心軸線置于z軸，則空間某一位置場強各個方向的分量可以由畢奧-薩伐爾定律表示為

(1)

(2)

(3)

Bx1、By1、Bz1是磁場在該點的三個方向的分量.顯然，根據(jù)對稱性By1=0依然成立.下面對Bx1、Bz1的不同情況進行討論.

(4)

(5)

對式(4)進行積分，

可以得到：

(6)

圖1為通電螺線管磁場沿x方向分量隨空間位置的變化關(guān)系.由此可以看出，在螺線管邊緣，磁場的強度迅速增大，達到峰值.圖2說明，在一定范圍，隨著x值的增大，z方向磁場強度變化越顯著.圖3展示了不同長度螺線管Bx強度沿z軸的變化情況.我們可以看到，螺線管長度增長Bx分布未必變得更加穩(wěn)定，如x=0.4和x=0.1時c=1的螺線管在內(nèi)部的變化率反而要比c=0.1的大.這一情況還值得我們進一步討論.

圖1 通電螺線管在x軸方向磁感應強度的分布

圖2 固定螺線管長度不同x值下Bx強度沿z軸變化情況

圖3 不同長度螺線管Bx的強度變化情況

距離與螺線管中心軸線分別為0.1、0.4、1.0、1.2 cm時，不同c值下磁感應強度Bx沿z軸分布如圖3所示(c為螺線管的長度與半徑R的比值).下面對式(5)進行討論.

經(jīng)過第一步化簡可以得到：

根據(jù)前面的方法，可得出：

這個積分可以分為兩部分，

(7)

(8)

式(7)積分結(jié)果為

式(8)積分結(jié)果為

類似地，最后一項積分結(jié)果為

因此積分值等于

圖4 通電螺線管在z軸方向磁感應強度的分布圖5 固定螺線管長度不同x值下Bz強度沿z軸變化情況

與螺線管中心軸線距離分別取x=1.2、1.0、0.4、0.1 cm時，不同c值下磁感應強度Bz分布如圖6所示.計算螺線管長度與半徑比值分別為c=1和c=2兩種情況下，磁感應強度方向在空間的分布如圖7所示.圖4直觀地展示了通電螺線管在z軸方向磁感應強度的分布.在x=±1時，在中心出現(xiàn)了兩個小的峰值，而不是一個大的凸起.這是因為通電圓環(huán)就相當于c趨近于0的情形，這時兩個峰值應當重合，等效為一個大的凸起.圖5我們可以很好地觀察到隨著螺線管長度的增加，Bz沿著軸線方向的強度也增大.由于螺線管長度c從0.1到10的增長的過程，事實上就是一個從通電圓環(huán)向通電螺線管過渡的過程.由圖6可知，當c=0.1時，在z=0(或a=0)的附近出現(xiàn)了一個峰值，這說明通電螺線管的相對長度(與半徑R的比值)趨近于0的時候，我們可以把它當作通電圓環(huán)進行計算.而即使絕對長度相當大但是相對長度比較小，近似時會產(chǎn)生較大的誤差.另外我們還發(fā)現(xiàn)，隨著螺線管長度的增加，在z軸方向的大部分位置磁場Bz的強度并不大.不過在接近螺線管兩端的時候會產(chǎn)生“邊緣效應”，有的位置磁場迅速減小，有的先減小再急速增大.由圖7我們可以看到，在通電螺線管的作用下，周圍磁場的分布變得更加有序.不過在進入螺管的過程中，磁感線會出現(xiàn)部分接近90°的轉(zhuǎn)向.隨著螺線管的增長，這種區(qū)域更接近于兩側(cè)，這進一步說明了增強螺線管的長度對于獲得勻強磁場的重要性.

圖6 不同長度螺線管Bz的強度變化情況

圖7 通電螺線管磁場周圍方向

2 總結(jié)

本文運用畢奧-薩伐爾定律研究了通電螺線管周圍的磁場分布，并利用計算機對其進行繪圖處理，更加細致地對這個經(jīng)典模型進行探究.不過即使這樣，我們依然沒有完全接近于真實.一方面由于現(xiàn)實生活中使用的并非嚴格意義上的通電螺線管，而是螺旋線圍繞而成的，對稱性不夠嚴格；另外一方面，對通電螺線管進行數(shù)學計算時假定電流是連續(xù)的，而事實上無法達到.另外，為了增強磁性我們常常在螺線管中加入軟鐵棒等磁介質(zhì)，實際上還有很多可以優(yōu)化的地方需要去完善.