李建濤

(遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院，遼寧 沈陽 110036)

0 引言

高等數(shù)學(xué)，又稱微積分，是現(xiàn)代科學(xué)的重要基礎(chǔ).高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)理工科學(xué)生最重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)分析課程也是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生最重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一.但是，目前高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)現(xiàn)狀不容樂觀.因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)課程知識(shí)點(diǎn)多、難度大、理論抽象，所以很多教師在講授高等數(shù)學(xué)課程時(shí)，已經(jīng)認(rèn)識(shí)到高等數(shù)學(xué)里面的無限序列和極限思維是一種本質(zhì)上與學(xué)生上大學(xué)前使用的思維方式完全不同的數(shù)學(xué)思維.學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，需要學(xué)生從中小學(xué)時(shí)熟悉的有限運(yùn)算過渡到無限運(yùn)算，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)之間進(jìn)行思維轉(zhuǎn)換.高等數(shù)學(xué)中的分類、猜想、分析概括、抽象化、形式化的數(shù)學(xué)思維，讓初入大學(xué)的學(xué)生較難理解和掌握，致使很多學(xué)生學(xué)習(xí)吃力，對(duì)高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼心理，學(xué)習(xí)興趣缺失.因此，就如何提高高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，形成行之有效的教學(xué)方法，是目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)重要課題，而且已有很多高校教師對(duì)此進(jìn)行了探索與實(shí)踐[1-5].

高等數(shù)學(xué)的思維方式的形成是一個(gè)復(fù)雜的過程，是一種循序漸進(jìn)的過程，包括數(shù)學(xué)概念的表示，形象化、概括、分類、猜想、歸納、分析、抽象化、形式化等等.例如數(shù)學(xué)概念的形象化是其中一個(gè)非常重要的步驟，通過形象化和可視化的例子，幫助學(xué)生建立高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思維很有必要.現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展日新月異，計(jì)算機(jī)技術(shù)迅猛提高，使用信息化和可視化的手段輔助教學(xué)，可以讓學(xué)生更形象直觀地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思維未知的關(guān)聯(lián)，從而更深刻地理解數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)習(xí)興趣.目前，已有很多教師對(duì)高等數(shù)學(xué)的可視化教學(xué)模式的改革進(jìn)行了探索[6-14]，例如用Matlab、Mathematica、GeoGebra等軟件進(jìn)行可視化的設(shè)計(jì)模擬，將形式化的數(shù)學(xué)概念和問題形象化，樹立了一個(gè)值得探索和推廣的教學(xué)改革實(shí)踐范例.

本文介紹基于GeoGebra軟件進(jìn)行的信息化教學(xué)改革的實(shí)踐和相關(guān)案例分析.GeoGebra是完全免費(fèi)開源的數(shù)學(xué)軟件，具有強(qiáng)大的代數(shù)和幾何功能，與專業(yè)的Matlab、Mathematica等收費(fèi)軟件相比，界面更友好，需要的預(yù)備知識(shí)更少，大多數(shù)教師和學(xué)生都能很快地上手使用.另外，GeoGebra更吸引人的一點(diǎn)是，可以通過滑動(dòng)條工具進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示一些數(shù)學(xué)過程，而且還可以通過著色工具和多角度連續(xù)的移動(dòng)，更細(xì)致準(zhǔn)確地展示相關(guān)的數(shù)學(xué)圖像.在教學(xué)過程中使用GeoGebra軟件進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐暨信息化輔助教學(xué)，可以動(dòng)態(tài)化地演示高等數(shù)學(xué)教材中抽象的概念和例子，與教科書中包含的靜態(tài)圖像不同，這種動(dòng)態(tài)化的演示更形象直觀地展示相關(guān)數(shù)學(xué)理論，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的可視化和動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生能夠直觀地理解各種概念，有利于微積分思想的體現(xiàn).配合GeoGebra的動(dòng)態(tài)演示，可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)列收斂性和無窮大的理解能力，如理解分割、近似替代、逼近、取極限等微積分學(xué)的主要思想，提高學(xué)生的空間想象力，有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從初級(jí)到高級(jí)的轉(zhuǎn)變.

1 GeoGebra軟件簡(jiǎn)介

GeoGebra軟件是2002年美國(guó)亞特蘭大大學(xué)數(shù)學(xué)系Markus Hohenwarter教授研發(fā)的用于教學(xué)的免費(fèi)開源軟件.軟件的名字是由“Geometry”(幾何)與“Algebra”(代數(shù))組合而成.GeoGebra是一款動(dòng)態(tài)幾何軟件，簡(jiǎn)單易學(xué)，不僅能畫出靜態(tài)的平面和立體圖形，還能通過滑動(dòng)條將一些數(shù)學(xué)過程動(dòng)態(tài)地展示出來；并且具有強(qiáng)大的代數(shù)功能，可以進(jìn)行各種代數(shù)運(yùn)算.正如數(shù)學(xué)家Germain所說“代數(shù)不外乎符號(hào)的幾何，幾何不外乎圖形的代數(shù)”，GeoGebra軟件將代數(shù)和幾何有機(jī)地結(jié)合起來，比較完美地解決了一些數(shù)學(xué)概念的可視化.目前在國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)階段，包括中小學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，得到了廣泛的應(yīng)用.

GeoGebra軟件主要有代數(shù)窗口和幾何窗口，結(jié)合它的代數(shù)計(jì)算能力與幾何作圖能力，允許我們對(duì)高等數(shù)學(xué)里的各種數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行研究與探索.例如，通過代數(shù)方程畫出平面的、立體的圖形，并且還可以通過使用區(qū)域著色的工具，將對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)對(duì)象更準(zhǔn)確、更形象地表示出來.另一方面，GeoGebra軟件中具有滑動(dòng)條工具，可以動(dòng)態(tài)化地演示一些數(shù)學(xué)過程，這是非常有用的.高等數(shù)學(xué)中比較難理解的就是一些極限思維，而這些極限思維通常是一種動(dòng)態(tài)化的過程，例如取數(shù)列極限、定積分里的分割加細(xì)，取極限、逼近的思想.通過GeoGebra軟件的滑動(dòng)條工具，可以探索圖像在某些特定作用下行為的可視化，例如可以設(shè)計(jì)極限、定積分等定義里的一些動(dòng)態(tài)過程等.

GeoGebra軟件允許幾何和代數(shù)性質(zhì)同時(shí)存在，在特定的空間上，實(shí)現(xiàn)一些動(dòng)態(tài)化過程演示的可能性.例如，圖像的多角度移動(dòng)、數(shù)列動(dòng)態(tài)逼近、極限過程等.通過觀察點(diǎn)的逼近過程、定積分里分割加細(xì)過程等動(dòng)態(tài)演示，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)相關(guān)問題能夠形成猜想，更容易理解相關(guān)的定義和性質(zhì).

2 動(dòng)態(tài)輔助演示的教學(xué)案例

本節(jié)介紹在實(shí)際的教學(xué)實(shí)踐中，利用GeoGebra軟件進(jìn)行可視化、信息化輔助教學(xué)的一些案例.這些案例涵蓋了高等數(shù)學(xué)教材中主要的數(shù)學(xué)概念，通過教師在課堂上進(jìn)行動(dòng)態(tài)化演示以及鼓勵(lì)學(xué)生課下利用GeoGebra軟件自己動(dòng)手對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行可視化的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)問題的理解，提高了學(xué)生的空間想象力，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而取得了良好的教學(xué)效果.

2.1 案例一：數(shù)列極限

圖1 數(shù)列極限

2.2 案例二：微分與導(dǎo)數(shù)的概念

微分和導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要概念.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖像在此點(diǎn)處的切線斜率.通過GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)演示，可以讓學(xué)生形象直觀地發(fā)現(xiàn)，切線實(shí)際上是圖像上兩個(gè)點(diǎn)確定的割線在逼近此點(diǎn)時(shí)的極限位置.例如圖2中橢圓形的切線，實(shí)際上是該點(diǎn)附近的兩點(diǎn)確定的割線在兩個(gè)點(diǎn)逼近該點(diǎn)時(shí)的一個(gè)極限位置.

圖2 切線的幾何意義：切線與割線的關(guān)系

2.3 案例三：定積分的概念

定積分概念是微積分學(xué)中最重要的概念之一，是現(xiàn)代科技發(fā)展的一個(gè)重要的基礎(chǔ)，很多平面的數(shù)學(xué)和科學(xué)問題都是通過求解定積分解決的.定積分的思想來源于這樣的一個(gè)幾何意義，即曲邊梯形的面積.具體的過程是將曲邊梯形底邊分割成一些區(qū)間段，在每個(gè)區(qū)間段上用長(zhǎng)方形近似替代曲邊梯形，計(jì)算面積，最后求和，取極限，得到曲邊梯形的面積，從而得到定積分的定義.使用GeoGebra軟件做圖，將積分區(qū)間進(jìn)行分割，比較容易實(shí)現(xiàn)的就是均勻分割；分割之后，用每個(gè)區(qū)間段上的函數(shù)值上界確定的長(zhǎng)方形面積代替真實(shí)的曲邊梯形的面積.所以整個(gè)曲邊梯形的面積近似等于這些長(zhǎng)方形面積之和；然后將滑動(dòng)條關(guān)聯(lián)成分割的數(shù)目n，移動(dòng)滑動(dòng)條，可以形象地展示定積分的定義中加細(xì)分割和取極限的過程.隨著滑動(dòng)條的移動(dòng)，設(shè)定的分割數(shù)目n的值變大，長(zhǎng)方形面積之和就越來越接近真實(shí)面積.可以看到：圖3曲邊梯形分割成5份時(shí)，長(zhǎng)方形面積之和還與其真實(shí)面積有較大誤差.但是圖4分割成30份時(shí)，長(zhǎng)方形面積之和與其真實(shí)面積就相差很小了.通過這樣的動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生完全理解了定積分這個(gè)抽象定義.

圖3 定積分的定義(n=5)

圖4 定積分的定義(n=30)

2.4 案例四：二重積分的概念

二重積分處理的是空間區(qū)域的相關(guān)計(jì)算，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用更加廣泛.二重積分來源于這樣的一個(gè)幾何意義，即曲頂柱體的體積.具體的過程是首先將曲頂柱體的底部區(qū)域進(jìn)行分割，分割成一些小區(qū)域，在每個(gè)小區(qū)域上用平頂?shù)闹w近似替代曲頂柱體，計(jì)算平頂柱體的體積，最后求和，取極限，得到曲頂柱體的體積，從而得到二重積分的定義.利用GeoGebra軟件，用類似定積分定義中的做法，將積分區(qū)域進(jìn)行分割，比較容易實(shí)現(xiàn)的是分割成一些正方形的并集.將滑動(dòng)條關(guān)聯(lián)成分割的正方形區(qū)域的個(gè)數(shù)，移動(dòng)滑動(dòng)條可以增加區(qū)域分塊，形象地展示二重積分里的加細(xì)分割和取極限的過程；還可以單獨(dú)或者全部展示分塊區(qū)域，讓學(xué)生能夠看到所有的細(xì)節(jié)，更加形象化；教師講解的時(shí)候也可以單獨(dú)拿出一個(gè)分塊區(qū)域，講述利用平頂柱體近似替代曲頂柱體的思想.參照下面的圖5和圖6.

圖5 二重積分定義：?jiǎn)为?dú)的分塊區(qū)域

圖6 二重積分定義：展示全體分塊

2.5 案例五：復(fù)雜圖形的可視化

高等數(shù)學(xué)教材中有很多復(fù)雜的方程和空間區(qū)域，例如心形線、馬鞍面等復(fù)雜曲線和曲面，計(jì)算重積分時(shí)涉及的復(fù)雜積分區(qū)域等.空間想象力不強(qiáng)的學(xué)生，在學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容時(shí)會(huì)十分吃力.GeoGebra軟件的幾何功能，既具有平面幾何的功能窗口，也具有立體幾何的功能窗口.利用相關(guān)的工具對(duì)這些復(fù)雜圖像進(jìn)行可視化，可以開發(fā)學(xué)生空間想象能力，建立空間思維，學(xué)起相關(guān)內(nèi)容時(shí)更能得心應(yīng)手.例如：圖7給出了平面一個(gè)復(fù)雜心形線(x2+y2-1)3-x2y3=0的圖像，只需要在代數(shù)區(qū)域內(nèi)輸入圖像的代數(shù)表達(dá)式，在幾何窗口就能顯示圖形.圖8給出了高等數(shù)學(xué)教材中常見的一個(gè)積分區(qū)域：球面與圓柱面所圍部分的空間區(qū)域.學(xué)生在計(jì)算重積分的時(shí)候經(jīng)常弄錯(cuò)空間區(qū)域的上下界；單純使用書本上的靜態(tài)圖像或者教師的手繪圖像，即使再細(xì)致地講解，也很難讓學(xué)生理解相關(guān)區(qū)域的細(xì)節(jié)，例如投影區(qū)域、積分上下界等.然而利用GeoGebra軟件的三維立體幾何窗口，在代數(shù)窗口輸入相關(guān)的代數(shù)方程，不僅在幾何窗口可以畫出這些復(fù)雜圖像，還能用鼠標(biāo)進(jìn)行移動(dòng)，讓畫出的區(qū)域從多個(gè)角度進(jìn)行展示，例如積分區(qū)域的投影區(qū)域、積分上下界等.學(xué)生可以從各個(gè)角度觀察區(qū)域的細(xì)節(jié)，并可以通過著色功能更細(xì)致準(zhǔn)確地展示相關(guān)區(qū)域的細(xì)節(jié).

圖8 球面與圓柱面相交部分所圍區(qū)域

3 結(jié)語

本文總結(jié)高等數(shù)學(xué)課程中基于GeoGebra軟件的信息化教學(xué)改革方式.教學(xué)改革的目的是使用信息化手段研究高等數(shù)學(xué)中的一些數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，理解高等數(shù)學(xué)中的極限思維；并利用GeoGebra軟件對(duì)一些復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行區(qū)域著色和多角度展示，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的形象化和可視化，以提高教學(xué)效果.

GeoGebra這個(gè)軟件允許將代數(shù)方程和圖形表示結(jié)合起來，具有十分強(qiáng)大的功能.而且結(jié)合最近的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)形式，我們發(fā)現(xiàn)GeoGebra這個(gè)軟件更適應(yīng)線上線下的混合式教學(xué).在線上線下的混合式教學(xué)過程中，通過直播更容易展示這個(gè)強(qiáng)大的工具，更方便讓它到達(dá)最需要的“教室”.學(xué)生可以通過直播觀察到教師使用GeoGebra軟件的所有細(xì)節(jié)，更方便學(xué)生學(xué)習(xí)和使用這個(gè)軟件.在實(shí)際的教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生對(duì)使用GeoGebra軟件十分感興趣，很多學(xué)生課下自己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，使用這個(gè)軟件進(jìn)行畫圖，更深刻地理解了相關(guān)的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想.

基于GeoGebra軟件的信息化教學(xué)是非常新鮮和有效的教學(xué)手段.通過GeoGebra軟件將數(shù)學(xué)概念可視化并作動(dòng)態(tài)演示，有助于學(xué)生直觀形象地理解數(shù)學(xué)相關(guān)概念，提高他們的觀察能力和空間想象力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革起到了積極的促進(jìn)作用；課上結(jié)合相關(guān)圖形進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生們也更深刻地理解了數(shù)學(xué)里的極限思維，提高了空間想象力，加快了從初等數(shù)學(xué)的有限空間平穩(wěn)過渡到高等數(shù)學(xué)的廣維世界.