文∣吳青

蘇教版數學四年級上冊安排了可能性的內容，通過摸球、摸牌等游戲，引導學生在操作、實驗、觀察、比較中認識簡單的隨機現象，了解事件發(fā)生的確定性和不確定性，感受簡單隨機事件的特點，初步形成概率思想。

可能性在生活中的應用非常廣泛，而在各種球類比賽中，則更是普遍地采用拋硬幣的方式來決定場地和發(fā)球順序。但是教材的例題部分和習題中都沒有安排讓學生拋硬幣的操作活動，只是在“你知道嗎”欄目中向學生介紹了數學家拋硬幣的試驗結果，在“拓展應用”中讓學生分析兩人同時各拋一枚硬幣的可能性問題。

考慮到拋硬幣在生活中的運用是非常多的，所以我們應該充分發(fā)揮硬幣的價值，幫助學生更好地體會事件發(fā)生的可能性，更加深刻地理解概率思想。

一、生活情境導入新課

由于學生對乒乓球、足球等球類運動非常感興趣，所以在本課教學時，教師就從球類比賽導入，首先播放奧運會乒乓球決賽剛開始時的一段視頻，然后問學生，有沒有注意到，在開始比賽之前，裁判員做了一個什么動作？只有部分細心的學生注意到了，于是教師把開頭的這一段重新播放了一遍，這下子大家都發(fā)現了，裁判員在拋硬幣。

接下來教師讓學生思考，裁判員為什么要拋硬幣？你們覺得用拋硬幣的方式決定誰先發(fā)球，這種做法公平嗎？為什么？許多學生都認為是公平的，因為拋硬幣時，可能會拋到正面，也可能會拋到反面，甚至有學生認為，正面朝上和反面朝上的可能性相等。在學生回答的基礎上，教師及時進行小結，肯定了他們回答中所包含的兩個觀點：①認為在拋硬幣時，可能是正面朝上，也可能是反面朝上；②認為正面朝上和反面朝上的可能性相等。

教師向學生提出一個問題串，“可能性指的是什么？”“拋硬幣時，真的會可能正面朝上，也可能反面朝上嗎？”“正面朝上和反面朝上的可能性確實相等嗎？”“我們該如何驗證呢？”由此就順利地導入了新課的探究之中。

在這個課堂導入環(huán)節(jié)，教師巧妙地利用了乒乓球比賽中的拋硬幣環(huán)節(jié)，當學生發(fā)現裁判員通過拋硬幣來決定雙方的場地和發(fā)球的先后順序時，他們的好奇心一下子就被激發(fā)了出來，對拋硬幣產生了濃厚的興趣，從而拉近了可能性的知識與學生之間的心理距離，激發(fā)了學生的探究欲望，更加積極主動地投入接下來的課堂探究之中。

二、實踐操作認識可能性

在導入環(huán)節(jié)分析了乒乓球比賽中拋硬幣的過程后，接下來教師就順勢展開課堂的探究活動，讓學生通過拋硬幣來認識可能性。教師讓學生以小組為單位，每個學生各拋一次硬幣，組長把拋硬幣的結果按順序記錄下來。接下來進行全班對比分析，讓學生觀察各小組記錄的數據，發(fā)現第一次拋硬幣時，有的小組是正面朝上多，有的小組是反面朝上多；第二次拋硬幣時，也是有的小組正面朝上多，有的小組反面朝上多……最后歸納，每一次拋硬幣時，可能會正面朝上，也可能會反面朝上，每一次拋硬幣的結果都是不確定的，是隨機出現的，在拋之前我們無法預測會是哪個面朝上。

然后教師再選擇一組連續(xù)出現幾次正面(或反面)朝上的，讓學生觀察思考，這一組已經連續(xù)有幾次正面朝上了，那么接下來再拋一次，一定還是正面朝上(或反面)朝上嗎？讓學生認識到，盡管前面已經連續(xù)拋出了幾次正面朝上，但是接下來仍然無法預測，同樣可能會正面朝上也可能會反面朝上，前面拋硬幣的結果對后面沒有任何影響。

在此基礎上，教師告訴學生，每一次拋硬幣都可能會正面朝上，也可能會反面朝上，這就是一個事件發(fā)生的“可能性”。在這樣的操作和分析的基礎上，學生對可能性的認識會更加深刻，從而更好地認識隨機事件。

三、深入體會可能性相等

小學階段所研究的概率知識，都是屬于古典概型，每一個基本事件發(fā)生的可能性都是相等的。比如把4張撲克牌反扣在桌上，任意摸一張，那么每張牌被摸到的可能性是相等的，都是四分之一。

在摸牌活動中，當把3張紅桃和1張黑桃反扣在桌上，任意摸一張牌，學生通過操作發(fā)現，摸到紅桃的可能性比黑桃大，從而認識到事件發(fā)生的可能性是有大有小的。從操作的數據上，我們可以直接看出哪個事件發(fā)生的可能性大。

但是可能性相等就不那么容易看出來了。因為我們知道，拋硬幣時正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，但事實上，隨便我們拋多少次硬幣，隨便什么時候拋，很少會出現正面和反面次數正好相等的情形，絕大多數情況下出現的次數都是不相等的，甚至有時候還會相差比較大。那么，怎樣讓學生理解“可能性相等”這個知識呢？

可能性相等可以從兩個層面上去理解。第一是理論分析層面，因為硬幣有正反兩面，拋硬幣時可能正面朝上也可能反面朝上，這兩種情況出現的可能性是相等的。至于為什么這時候正面朝上和反面朝上的可能性相等，學生沒辦法具體說明，而只能直觀感覺。

第二是大數據統(tǒng)計層面。我們可以進行許多次試驗，把每一次試驗的結果都記錄下來，然后觀察，隨著試驗次數的不斷增多，某個事件發(fā)生的頻率越來越接近于某個固定的數值，如果逐漸穩(wěn)定在這一數值附近，那么這個數值就是該事件發(fā)生的概率，這就是概率的統(tǒng)計定義。當兩個事件都不斷接近于某個相同的數值時，我們就認為這兩個事件發(fā)生的可能性是相等的。

拿拋硬幣來說，要想驗證正面朝上和反面朝上的可能性相等，我們可以采用大數據統(tǒng)計方法。歷史上有許多數學家就進行了大量的拋硬幣試驗，得到了許多寶貴的數據，在數學教材的“你知道嗎”部分作了介紹。分析這些數據我們會發(fā)現，當拋硬幣的總次數越來越多時，正面朝上和反面朝上的次數會越來越接近。這里所說的“越來越接近”，不是指它們數量的絕對差越來越小，而是指數量差與總次數的比值(即相對差)越來越小，因此我們就認為拋硬幣時正面朝上和反面朝上的可能性相等。

對于這個內容，許多教師都是在課堂的最后向學生介紹數學家拋硬幣的結果，讓學生簡單了解。但是這樣的安排，學生并不能認識到表格中數據的真實價值，無法理解拋硬幣時正面朝上和反面朝上的可能性相等的真正含義，所以感覺是膚淺的，流于形式。因此，我們一定要充分利用硬幣的價值，讓學生通過拋硬幣的實踐操作，體會概率的這種統(tǒng)計定義，真正理解可能性相等的實質，對概率思想有更加深刻的認識。

在教學過程中，當學生通過摸牌活動，認識到可能性有大有小之后，教師讓學生再次思考乒乓球比賽前拋硬幣這個環(huán)節(jié)，提問學生：“我們知道可能性是有大小的，那么通過拋硬幣的方式來決定誰先發(fā)球，這種做法公平嗎？”“你們覺得拋硬幣時，正面朝上和反面朝上的可能性相等嗎？為什么相等？”關于這些問題，學生只能從經驗的角度，覺得可能性是相等的，但是無法說出具體理由。

接下來教師就讓學生進行驗證，每個學生各自拋10次硬幣，記錄正面朝上和反面朝上的次數，然后匯報給組長，組長對本組的數據進行匯總，然后教師把各組的數據填寫在一個表格中。在全班總共不到500次的操作中，正面朝上和反面朝上的次數相差幾十次，相差看似挺多，這是否表明，拋硬幣的時候正面朝上和反面朝上的可能性不相等？引導學生進行了深入思考。學生認為可能性是相等的，但是又說不出具體的理由，無法解釋為什么會有這么大的相差數。于是教師向學生提問：“剛才每個人都拋了10次，有哪些同學正面朝上的次數超過了反面朝上的3倍的？2倍的呢？”我們發(fā)現，都沒有，只是多了那么一點兒。由此可見，一個人拋10次，出現的差距可能會比較大，但是全班這么多同學進行匯總，總數量變大了，差距反而變小了。

通過對部分學生拋硬幣的結果和全班的統(tǒng)計結果進行比較，讓學生認識到，一個人拋硬幣出現的差距可能會比較大，而一旦把全班那么多同學的數據進行匯總，差距就會變小了，當然這種變小，指的是與總數量相比而言的變小。這種教學方式已經初步滲透了大數據的統(tǒng)計意義了。接下來讓學生思考，如果我們繼續(xù)拋下去，結果會怎樣呢？學生自然會想到，繼續(xù)拋下去，正面朝上和反面朝上的次數會越來越接近。此時，教師再出示教材中介紹的幾個數學家拋硬幣的數據，讓學生進行分析，更加肯定他們的想法，當拋的總次數越來越多，正面朝上和反面朝上的次數會越來越接近。于是教師告訴學生，從這個角度來說，拋硬幣時正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。

至此，學生已經完全經歷了拋硬幣時的大數據統(tǒng)計過程，對可能性相等的含義有了更加深刻的理解，而不僅僅是停留于直觀的表層，那么以后他們再遇到概率問題，也會嘗試著運用類似的方法進行分析，培養(yǎng)學生的實踐能力和探究能力。

四、體會確定性與不確定性之間的辯證關系

對于不可能發(fā)生的事件和一定發(fā)生的事件，在事件發(fā)生之前，我們就已經能夠知道結果了，因此這種結果是確定的。對于確定和不確定這兩種不同的情形，我們在課堂上都可以通過讓學生摸球的操作來體會。比如，讓學生在裝有一個紅球和一個黃球的不透明袋子里摸球，發(fā)現摸出來的球可能是紅球，也可能是黃球，每次摸球的結果都是不確定的，摸球之前無法預測摸出的是什么顏色的球，讓學生理解操作結果的不確定性。然后在袋子中裝進兩個紅球，再讓學生摸球，這時發(fā)現摸出來的一定是紅球，不可能是黃球，每次摸球的結果是確定的，摸球之前就能夠知道摸球的結果了，讓學生理解操作結果的確定性。

關于確定性和不確定性，許多教師的教學就到此為止，然后接下來就研究可能性的大小。但是，在現在這種情況下，學生對于確定性與不確定性的認識還是初步的。學生并沒有真正認識到這兩種不同情形之間的辯證關系。因此，我們的教學不能就此止步，而應該繼續(xù)探究下去，讓學生深入體會確定性與不確定性之間的辯證關系，從而對可能性以及概率思想有更加深刻的認識。

在教學中，為了讓學生認識到確定性與不確定性之間的辯證關系，教師利用摸球和摸牌這兩個操作活動，設計了兩個對比性的探究環(huán)節(jié)。

首先是結合剛才袋中裝有兩個紅球的情形，學生發(fā)現，每次摸出的“一定”是紅球，“不可能”是黃球，從而理解了“確定”的含義。此時，教師緊接著提問，剛才這個口袋里裝的是兩個紅球，所以摸出來的一定是紅球，不可能是黃球，這個結果是確定的，有沒有什么不能確定的情況出現呢？當學生回答不出時，教師接著提示，如果把這里的兩個紅球分別標上1號和2號，任意摸出一個球，會有什么結果？學生立刻意識到了，摸出來的可能是紅球1號，也可能是紅球2號，這時候的結果是不確定的。此時，教師稍作小結：換一個角度分析，確定性之中也隱含著不確定的因素，一定會發(fā)生的事件背后也存在著不同的可能。

接下來，教師出示4張撲克牌，分別是紅桃A、紅桃2、紅桃3和紅桃4，把這4張牌反扣在桌上，打亂順序，讓學生思考：“任意摸一張，可能摸到哪一張牌？”“在摸牌之前你能夠確定摸到的是哪張牌嗎？”學生回答：“無法確定能夠摸到哪張牌，這個結果是不確定的?！边@時教師緊接著進行追問：“在這4張牌中任意摸一張，有沒有能夠確定的結果？”細心的學生發(fā)現這4張牌都是紅桃，于是回答說摸到的一定是紅桃。由此看來，在不確定性的背后也可能會隱含著確定性的因素。

通過上面這兩個小環(huán)節(jié)的探究分析，學生能夠深刻地認識到確定性與不確定性兩者并不是相互割裂的，而是密切相關的。同時也體會到，換一個角度分析，得到的結果可能就會不相同，從而真正理解確定性與不確定性之間的辯證統(tǒng)一關系。

五、理解可能性與現實性之間的關系

拋硬幣時正面朝上和反面朝上的可能性相等，那么拋2次硬幣，是不是一定會出現1次正面朝上、1次反面朝上呢？拋10次硬幣，正面朝上和反面朝上是不是肯定各有5次呢？或者，如果某種獎券的中獎率是十分之一，是不是買10張獎券就一定會有一張中獎呢？答案都是否定的。這些都屬于不確定事件中的可能性問題，涉及確定事件與不確定事件的重要區(qū)別。對于確定事件來說，我們根據實際情況所計算出來的結果是確定的，是必然會實現的。但是，對于不確定事件來說，根據隨機事件發(fā)生的概率所計算得到的結果，僅僅表示一種可能性，是不確定、隨機的。

所以在課堂上，我們應該讓學生認識到隨機事件中的不確定性，體會可能性與現實性之間的關系，從而真正理解概率思想。

在這節(jié)課上，教師設計了兩個問題：“小明說，我拋2次硬幣，一定會有1次正面朝上，1次反面朝上?！薄靶←愓f，我拋10次硬幣，那么正面朝上和反面朝上肯定各有5次?！弊寣W生判斷他們兩人說得對不對。這時，結合學生剛才所進行的每人各拋10次硬幣的操作，了解有哪些學生正面朝上和反面朝上各有5次，結果發(fā)現只有很少的幾個學生得到這樣的結果，其他學生正面朝上和反面朝上的次數都不相等，甚至有的學生還出現了9次正面朝上和1次反面朝上的情況。結合學生拋硬幣的結果進行分析，讓學生明白“盡管我們知道拋硬幣時正面朝上和反面朝上的可能性相等，從而可以計算出拋10次硬幣時正面朝上和反面朝上應該各5次，但是因為拋硬幣是一種隨機事件，拋的結果是不確定的”，所以，我們不能說正面朝上和反面朝上一定各有5次，而只能說“可能”各有5次。每一次的結果都是不確定的，那么我們剛才得到的結論“拋硬幣時正面朝上和反面朝上的可能性相等”，是不是就沒有意義了呢？學生可能會有這樣的疑惑。教師可以結合剛才的統(tǒng)計過程，和學生進行分析，盡管在某個范圍內，不能保證正面朝上和反面朝上的次數相等，但是，當拋的次數越來越多時，正面朝上和反面朝上的次數就會越來越接近。所以，從這個意義上來說，拋硬幣時正面朝上和反面朝上的可能性確實是相等的。

六、拓展延伸

一節(jié)好課，必須具有一定的拓展性。下課時，不僅要讓學生把本節(jié)課所學的知識全都掌握，而且還要讓學生帶著問題和思考下課，讓學生把課堂上的探究活動延伸到課后，從而培養(yǎng)學生探究數學問題的能力。

在課堂的最后，教師讓學生思考，同時拋兩枚硬幣，會有幾種情況出現。哪種情形出現的可能性最大？這時學生眾說紛紜，教師沒有作任何判斷，只是告訴他們，要想知道正確的答案，可以自己課后進行探究，就像課堂上拋一枚硬幣那樣，同時拋兩枚硬幣，然后記錄下每一次得到的結果，當拋的次數越來越多時，再來看看會有什么發(fā)現。

這節(jié)課雖然結束了，但學生的思考并沒有結束，探究也沒有停止，相信會有一些感興趣的學生在課后繼續(xù)探究，數學研究的意識逐漸萌芽，數學研究的能力也在逐步培養(yǎng)。

通過對拋硬幣資源的充分利用，學生在拋硬幣的過程中，充分理解可能性的含義，認識可能性相等的真正內涵，體會隨機事件中不確定性與確定性的辯證關系，明確可能性與現實性之間的區(qū)別，從而能更好地感受隨機事件，深刻地理解概率思想。