盧亞菡，楊立興，孟凡婷，夏東陽(yáng)，戚建國(guó)

（北京交通大學(xué)，a.軌道交通控制與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.交通運(yùn)輸學(xué)院；c.綜合交通運(yùn)輸大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)交通運(yùn)輸行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044）

0 引言

近年來(lái)，我國(guó)城市軌道交通發(fā)展迅猛，截至2019年底，已有40個(gè)城市開通運(yùn)營(yíng)軌道交通，其中19 個(gè)城市已實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營(yíng)[1]。網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營(yíng)極大地提高了出行可達(dá)性，從而吸引了大量通勤客流，給運(yùn)營(yíng)組織帶來(lái)了極大的挑戰(zhàn)。特別是早晚高峰時(shí)段，車站客流大量聚集，導(dǎo)致列車持續(xù)過載、站臺(tái)擁堵情況嚴(yán)重。考慮到客流時(shí)空分布與列車運(yùn)行時(shí)刻表密切相關(guān)，為緩解上述問題，各大城市分別從供給側(cè)和需求側(cè)進(jìn)行調(diào)控。供給側(cè)方面，主要通過縮短高峰期發(fā)車間隔以提高運(yùn)力；需求側(cè)方面，多采取高峰期常態(tài)化限流的管理措施，通過控制單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)站客流量，進(jìn)而減少站臺(tái)聚集人數(shù)。以北京地鐵為例，2019年工作日日均進(jìn)站量達(dá)654.1萬(wàn)人次，換乘量超500萬(wàn)人次，全年共有10條線路15 次縮短發(fā)車間隔，91 座車站實(shí)施常態(tài)化限流措施[2]。

鑒于此，如何應(yīng)對(duì)客流擁堵問題成為運(yùn)營(yíng)管理部門和眾多學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)。其中，黃倩等[3]以最小化乘客滯留時(shí)間和最大化運(yùn)送客流量為目標(biāo)，提出單線多站協(xié)同客流控制模型，并設(shè)計(jì)遺傳算法求解滿意的控制策略；Shi等[4]將研究的時(shí)間范圍離散化，針對(duì)單條線路各站的站外到達(dá)客流，構(gòu)建最小化乘客等待時(shí)間及客流聚集風(fēng)險(xiǎn)的雙目標(biāo)整數(shù)規(guī)劃模型；石俊剛等[5]以客流預(yù)警值最小為目標(biāo)，提出以安全為導(dǎo)向的地鐵單線客流協(xié)同控制模型，并利用CPLEX軟件進(jìn)行求解；楊陶源等[6]建立了地鐵單線列車跳站與客流控制協(xié)同優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)基于靈敏度分析的算法進(jìn)行求解；Meng等[7]以最小化乘客總等待時(shí)間為目標(biāo)，研究客流需求不確定時(shí)地鐵單線魯棒客流控制問題，并設(shè)計(jì)拉格朗日松弛算法求解魯棒模型。然而，以上文獻(xiàn)僅考慮站外到達(dá)客流，與實(shí)際偏差較大。目前，考慮換入客流影響的相關(guān)理論研究仍處于起步階段，比如，李佳杰等[8]分析了乘客換乘走行過程，并建立了面向換乘車站的客流控制與列車時(shí)刻表非線性協(xié)同優(yōu)化模型；吳開信等[9]針對(duì)客流控制問題，將換入客流折算為站廳到達(dá)乘客，統(tǒng)一進(jìn)行控制。然而實(shí)際中換入客流一般不經(jīng)過站廳，難以進(jìn)行統(tǒng)一控制。

綜上所述，既有研究大多僅探討了面向單一車站或單條線路站外到達(dá)客流的控制方法，忽略了換入客流對(duì)本線的影響；面向整條線路或網(wǎng)絡(luò)，考慮換入客流影響的列車時(shí)刻表和客流控制協(xié)同優(yōu)化的研究近為空白。在實(shí)際運(yùn)營(yíng)中，就部分換乘站而言，換入客流量遠(yuǎn)超站外到達(dá)客流量。因此，隨著很多城市軌道交通成網(wǎng)，僅考慮站外客流，針對(duì)單站或單線的站外客流進(jìn)行管控，對(duì)于緩解高峰期城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)擁擠現(xiàn)狀作用有限。鑒于此，有必要從城市軌道交通系統(tǒng)全局角度出發(fā)，綜合考慮換入客流和站外到達(dá)乘客，分析車流和客流之間的耦合關(guān)系，構(gòu)建列車時(shí)刻表和客流控協(xié)同優(yōu)化模型，以精準(zhǔn)匹配運(yùn)力運(yùn)量，實(shí)現(xiàn)運(yùn)營(yíng)服務(wù)和運(yùn)營(yíng)效益雙贏的目標(biāo)。

1 問題描述

針對(duì)高峰期軌道交通車站過度擁擠問題，以高峰期乘客過載的軌道交通線路為研究對(duì)象，考慮鄰接線路換入客流的影響，通過協(xié)同優(yōu)化軌道交通線路列車時(shí)刻表與客流控制策略，盡可能地減少乘車延誤人數(shù)。如圖1所示，本文研究對(duì)象為主線路1，即圖1(a)，該線路具有圖1(b)普通車站和圖1(c)換乘車站兩種類型，其中，普通車站僅有站外到達(dá)客流，換乘車站的客流則由站外到達(dá)和換入客流兩部分組成。站外到達(dá)乘客需在站廳排隊(duì)，等待進(jìn)站指令；換入乘客可直接走行至線路1 的站臺(tái)等待上車?？紤]線路2、3、4 換乘至主線路1 乘客的影響，調(diào)整線路1 的列車時(shí)刻表，使得線路1 列車的到站時(shí)間與鄰線列車的到站時(shí)間差接近換乘走行時(shí)間，則可使換入乘客盡量直接上車，減少站臺(tái)聚集人數(shù)以降低風(fēng)險(xiǎn)。為保證站臺(tái)安全，需輔以客流控制策略。所謂“客流控制”，需遵循“先控制進(jìn)站客流，后控制換乘客流”的運(yùn)營(yíng)原則，通過控制站外到達(dá)乘客的進(jìn)站人數(shù)，保證換入客流優(yōu)先乘車的同時(shí)避免大量乘客涌入站臺(tái)，從而降低運(yùn)輸組織壓力。此外，從系統(tǒng)優(yōu)化角度而言，協(xié)同優(yōu)化主線路列車時(shí)刻表與客流控制策略，可以精準(zhǔn)匹配運(yùn)力運(yùn)量，從根本上緩解高峰期沿線車站擁擠問題。

圖1 軌道交通線路及乘客走行過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of rail transit line and process of passengers'travelling

鑒于此，在考慮換入客流影響的基礎(chǔ)上，以列車發(fā)車間隔、到站、離站時(shí)刻和控制進(jìn)站人數(shù)為決策變量，構(gòu)建城市軌道交通線路列車時(shí)刻表與客流控制協(xié)同優(yōu)化模型，以期實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)優(yōu)化，緩解全線客流擁擠問題。

2 模型構(gòu)建

2.1 模型假設(shè)及參數(shù)定義

模型基本假設(shè)如下:

假設(shè)1 當(dāng)車站限流時(shí)，已經(jīng)到達(dá)車站的乘客不會(huì)選擇換乘其他交通工具，即客流需求總量保持不變。

假設(shè)2 客流需求及OD 結(jié)構(gòu)已知。在高峰時(shí)段出行的乘客大都以通勤為目的，乘客的家庭地址和工作地點(diǎn)相對(duì)固定，因此，通過統(tǒng)計(jì)分析AFC歷史數(shù)據(jù)，即可獲得各車站的客流需求和OD比例。

假設(shè)3 除主線路外，其他換乘線路列車時(shí)刻表不會(huì)發(fā)生改變，換入客流到站時(shí)刻及OD 結(jié)構(gòu)已知，此外，在實(shí)際運(yùn)營(yíng)中，高峰期允許短時(shí)過載?；诖?，假設(shè)列車總能力大于換入客流要求。

為便于描述，表1給出本文模型所涉參數(shù)及其定義。

表1 變量及參數(shù)定義Table 1 Definition of variables and parameters

2.2 約束條件

(1)列車時(shí)刻表約束

列車的到發(fā)時(shí)刻需滿足列車運(yùn)行過程的基本約束，即

為保證運(yùn)行安全，列車發(fā)車間隔應(yīng)控制在合理的范圍內(nèi)。由于運(yùn)行時(shí)間和停站時(shí)間是固定的，前車i與后車i+1在k車站的發(fā)車間隔由列車的離站時(shí)刻唯一確定，發(fā)車間隔只需在始發(fā)站滿足上、下限約束，即

(2)客流控制約束

本文假設(shè)當(dāng)車站進(jìn)行客流控制時(shí)，已到達(dá)車站站廳的乘客均不會(huì)換乘其他交通工具，即所有到站乘客均被服務(wù)，計(jì)算公式為

本文假定乘客到達(dá)車站后，先在站廳排隊(duì)等待，因此，當(dāng)?shù)?輛列車到達(dá)車站時(shí)，在站廳等待的乘客數(shù)量為累積的到達(dá)客流量；后續(xù)列車到達(dá)時(shí)，在站廳等待的客流量為累積的到達(dá)客流量與累積的已放入客流量之間的差值，且滿足非負(fù)約束，即

在客流控制策略下，當(dāng)列車i到達(dá)k車站時(shí)，允許進(jìn)站乘客的乘客數(shù)量一定小于等于等待的客流量，即

(3)動(dòng)態(tài)載客約束

動(dòng)態(tài)載客過程包含乘客上、下車過程。本文假定任意車站的乘客目的地比例是既定的，則當(dāng)列車i到達(dá)k車站時(shí)，下車客流量為以該站為目的地的上游車站的上車乘客總量，即

采用客流控制措施的主要目的之一是避免站臺(tái)客流積累過高，以保證乘客安全。因此，要求控制進(jìn)站乘客和在站臺(tái)等待的換入乘客都能夠搭乘下一班列車離站。則列車i離開k車站時(shí)，車載人數(shù)為

其中，任意時(shí)刻t，換乘至主線路k車站的客流量為該車站其他線路換入至該線路方向的客流量之和，即

2.3 目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化目標(biāo)為沿線所有車站的乘車延誤人數(shù)加和最少。所謂乘車延誤人數(shù)，是指受到客流控制措施及列車容量的限制，未能乘坐其到站后到達(dá)的首班列車離站，而需在站廳內(nèi)進(jìn)行二次等待的乘客人數(shù)，即為各列車駛離車站時(shí)，所有等待乘客與被服務(wù)乘客之間的差值，即

2.4 模型線性化及求解方法

對(duì)于?i∈I,?k∈S，列車i在車站k的發(fā)車時(shí)刻為決策變量，因此式(6)，式(9)和式(10)均為非線性約束。為便于求解，引入一組二元變量bi,k（t）|t∈Q，將以上約束進(jìn)行線性化轉(zhuǎn)換。如圖2所示，bi,k（t）=1表示t時(shí)刻列車i未到達(dá)且未經(jīng)過k車站，bi,k（t）=0表示t時(shí)刻列車i已到達(dá)或已經(jīng)過k車站，因此，該決策變量矩陣為非增矩陣，滿足

圖2 列車運(yùn)行狀態(tài)變量Fig.2 Variables related to operating process of trains

任意兩相鄰列車的發(fā)車間隔為其離開同一車站的時(shí)間差，如圖2所示，因此，發(fā)車間隔需滿足

進(jìn)一步，式(6)可轉(zhuǎn)化為線性約束，即

以式(16)中i=1 時(shí)為例，在時(shí)段t內(nèi)，若列車1未到達(dá)或經(jīng)過k車站，則bi,k（t）=1，與到達(dá)乘客數(shù)量相乘即為等待客流量；反之，bi,k（t）=0。將控制時(shí)段內(nèi)所有時(shí)間區(qū)段的結(jié)果進(jìn)行累加，即可得各車站等待列車1 的客流量。同理，式(9)和式(10)轉(zhuǎn)化為線性約束為

綜上，本文所構(gòu)建的協(xié)同優(yōu)化非線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的整數(shù)線性規(guī)劃模型，可利用優(yōu)化求解器CPLEX，調(diào)用分支定界法對(duì)其進(jìn)行快速求解。

3 實(shí)證研究

3.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

本文選擇某特大城市軌道交通線路為研究對(duì)象，通過獲取自動(dòng)售檢票系統(tǒng)(AFC)的刷卡數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析。如圖3所示，該線路連接中心城區(qū)與郊區(qū)新城，進(jìn)城方向在早高峰時(shí)段通勤客流需求數(shù)量龐大且集中，容易造成擁堵，因此，選取該條線路的進(jìn)城方向進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化研究。使用分支定界法進(jìn)行求解，并在優(yōu)化求解器CPLEX 12.6.2 Academic Version上實(shí)現(xiàn)，計(jì)算的終止條件為上下界Gap為1%。所有實(shí)驗(yàn)在CPU為i5-10500-3.10 GHz的Windows10 操作系統(tǒng)上進(jìn)行。

圖3 線路示意圖Fig.3 Schematic diagram of rail transit line

具體地，選取7:00-10:00 進(jìn)行研究，首先，將其離散為時(shí)間粒度為1 min 的時(shí)間區(qū)段，則7:00 為第1 個(gè)時(shí)間區(qū)段，10:00 為第180 個(gè)時(shí)間區(qū)段。此外，線路采用單一交路的列車運(yùn)行模式和“站站停”的停站方案，停站時(shí)間作為已知參數(shù)給定。模型相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 模型相關(guān)參數(shù)Table 2 Parameters related to model

3.2 結(jié)果分析

記本文模型所得方案為方案1，經(jīng)過62.42 min計(jì)算得出Gap 為0.99%的近似最優(yōu)解，其中乘車延誤人數(shù)為72607 人，列車運(yùn)行圖如圖4(b)所示?？梢钥闯?，第1～20 列車的發(fā)車間隔較小，均為2，3，4 min，這是因?yàn)樵摃r(shí)段內(nèi)客流需求較大，需要匹配相應(yīng)的運(yùn)力。

為分析本文協(xié)同優(yōu)化模型的有效性，記優(yōu)化前的方案為方案2，在該方案中列車時(shí)刻表采取實(shí)際運(yùn)營(yíng)時(shí)刻表，如圖4(a)所示。進(jìn)一步，基于方案1，考慮僅面向供給側(cè)，優(yōu)化列車時(shí)刻表以緩解擁堵，即采用方案1所得優(yōu)化后的列車時(shí)刻表，不施加客流控制策略，記為方案3。最后，與大多既有文獻(xiàn)一樣，在進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化時(shí)將第1列車的發(fā)車時(shí)刻設(shè)置為固定值，記為方案4。通過上述實(shí)驗(yàn)方案，選取乘車延誤人數(shù)、乘客平均延誤時(shí)間和乘客平均等待時(shí)間這3個(gè)關(guān)鍵性指標(biāo)，對(duì)本文所提方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

圖4 優(yōu)化前后列車運(yùn)行圖Fig.4 Comparison of train diagrams before and after optimization

表3 各方案結(jié)果Table 5 Comparison of experimental results

結(jié)果表明，與優(yōu)化前相比，方案1中乘車延誤人數(shù)和平均延誤時(shí)間分別降低28.36%和37.23%；與僅優(yōu)化時(shí)刻表相比，方案1可進(jìn)一步減少乘車延誤人數(shù)17.69%，這表明，針對(duì)擁堵線路進(jìn)行列車時(shí)刻表與客流控制協(xié)同優(yōu)化是十分有必要的。此外，方案1中乘車延誤人數(shù)、平均延誤時(shí)間及平均等待時(shí)間均低于方案4，說明面向車流側(cè)和客流側(cè)進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化時(shí)，人為地固定某列車的開行計(jì)劃不足以達(dá)到系統(tǒng)最優(yōu)。圖5為上游車站SM 站和下游車站DTLD站的客流聚集情況?？梢钥闯?，隨列車開行，進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化時(shí)，方案1 的客流聚集情況較方案4有所緩解，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。

圖5 客流聚集情況示意圖Fig.5 Comparison of accumulation situations

3.3 靈敏度分析

為探討最大滿載系數(shù)對(duì)乘車延誤人數(shù)的影響，對(duì)最大滿載系數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，并記錄本文模型(方案1)在不同最大滿載系數(shù)下的乘車延誤人數(shù)、乘客平均延誤時(shí)間、乘客平均等待時(shí)間的變化情況，如圖6所示。由圖6可知，當(dāng)最大滿載系數(shù)發(fā)生波動(dòng)時(shí)，本文模型均可尋找到近似最優(yōu)解，具有較好的穩(wěn)定性；此外，隨最大滿載系數(shù)的增大，上述3個(gè)指標(biāo)均呈遞減趨勢(shì)，這是由于隨運(yùn)力的增加，停站時(shí)允許進(jìn)站乘車的人數(shù)會(huì)增多，乘車延誤人數(shù)、乘客平均延誤時(shí)間、乘客平均等待時(shí)間將隨之減少。鑒于此，軌道交通運(yùn)營(yíng)商可通過增加運(yùn)力等策略，在保證高服務(wù)水平的前提下，提高運(yùn)力和運(yùn)量的匹配性從而滿足高峰期海量通勤需求。

圖6 不同最大滿載系數(shù)下乘車延誤人數(shù)、乘客平均延誤時(shí)間、乘客平均等待時(shí)間的對(duì)比Fig.6 Comparison among various values of λ

4 結(jié)論

為緩解城市軌道交通車站擁擠情況，本文提出一種考慮換入客流影響的列車時(shí)刻表與客流控制協(xié)同優(yōu)化方法，以最小化乘車延誤人數(shù)為目標(biāo)，通過將列車運(yùn)行過程及乘客出行過程進(jìn)行耦合并轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的狀態(tài)約束，構(gòu)建了協(xié)同優(yōu)化模型。最后將該方法應(yīng)用于我國(guó)某特大城市軌道交通的實(shí)證研究中。結(jié)果表明：

(1)本文模型對(duì)列車時(shí)刻表和客流控制進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化，可利用優(yōu)化求解器CPLEX 調(diào)用分支定界法進(jìn)行快速求解。分析案例發(fā)現(xiàn)，本文所提方法與優(yōu)化前方案相比，軌道交通線路各車站的乘車延誤人數(shù)、乘客平均延誤時(shí)間、乘客平均等待時(shí)間均顯著降低。

(2)本文模型所確定的列車時(shí)刻表和客流控制方案在最大滿載系數(shù)發(fā)生波動(dòng)時(shí)具有較好的穩(wěn)定性，可始終滿足約束；乘車延誤人數(shù)、乘客平均延誤時(shí)間、乘客平均等待時(shí)間均隨最大滿載系數(shù)增大而減小，與實(shí)際運(yùn)營(yíng)情況相符，驗(yàn)證了本文模型的實(shí)用性。