李嫚嫚，楊京帥，趙建有，趙博選，丁楠

（長安大學(xué)，汽車學(xué)院，西安 710061）

0 引言

單向電動汽車共享是一種新興的綠色交通模式[1]。該模式下，用戶可在任意共享車站借還電動汽車，以完成出行。它可使出行者享受汽車出行的便利，而無需擁有汽車，也可提高汽車利用率，減少溫室氣體和CO 等有毒氣體的產(chǎn)生，有助于解決交通擁堵和環(huán)境污染問題[2]。

然而，共享出行需求的潮汐性和不均衡性易導(dǎo)致站點車輛失衡，即部分車站電動汽車積壓，而另一部分車站電動汽車短缺。站點車輛失衡不僅會降低客戶滿意度，而且會浪費系統(tǒng)資源。解決站點車輛失衡的主要方法是動態(tài)定價和車輛重位[3]。動態(tài)定價是通過給引起車輛失衡的出行定高價，給平衡車輛分布的出行定低價，改變出行需求分布，平衡站點車輛。車輛重位是通過將車輛從富裕車站移動到缺失車站，調(diào)整車輛分布。

單向電動汽車共享系統(tǒng)配置會影響出行定價和車輛重位方案，也受出行定價和車輛重位方案的影響。例如，購置的電動汽車給定了可重位車輛數(shù)；不考慮車輛重位，共享系統(tǒng)所需電動汽車數(shù)將會顯著增加。為減少投資成本，獲取最大利潤，電動汽車共享服務(wù)商應(yīng)對單向電動汽車共享系統(tǒng)配置與運營決策進行聯(lián)合優(yōu)化。Jorge 等[4]和Xu 等[5]分別考慮價格對出行需求的線性與非線性影響，構(gòu)建非線性規(guī)劃模型，設(shè)計模型求解算法，提供聯(lián)合優(yōu)化出行價格、車輛重位方案和電動汽車購置規(guī)模的方法。但是，上述方法忽視了共享出行需求的隨機性，設(shè)計的共享系統(tǒng)與運營方案魯棒性較差，無法幫助電動汽車共享服務(wù)商獲取最大利潤。

為此，本文考慮共享出行需求的時變性和隨機性，以最大化利潤為目標，構(gòu)建以共享車站規(guī)模、電動汽車規(guī)模、調(diào)度員規(guī)模、出行價格、車輛重位和人員重位為決策變量的一個混合整數(shù)規(guī)劃模型，并基于外點法設(shè)計模型求解算法，提供單向電動汽車共享系統(tǒng)規(guī)劃與運營決策支持方法。在此基礎(chǔ)上，通過數(shù)值實驗，解析共享需求隨機性、共享需求彈性以及共享需求量對共享電動汽車系統(tǒng)的影響規(guī)律。

1 問題描述與建模

1.1 問題描述

某共享電動汽車公司擬在一個區(qū)域經(jīng)營I個共享車站，并給共享車站的每個停車位配備充電樁。經(jīng)營區(qū)的每個停車位日租金為Cl元。共享車站i（i∈I）處最大可租用停車位為Lmax,i個。

共享出行需求是不確定的，可用S種典型需求情景模擬[6]。1年中，需求情景s（s∈S）的發(fā)生概率為Hs，所有情景發(fā)生概率之和為1，即而且，共享出行需求具有時變性，故需將1 d分為相等的若干個小時段，如15 min 為一個時段，考慮每個時段的需求。情景s（s∈S）中，時段t（t∈T），車站i,j(i,j∈I)間的最大潛在需求為di,j,s,t,0，且為已知量。共享出行需求也受出行價格影響，會隨價格的升高而不增，可表示為di,j,s,t,1=Φ(pi,j,s,t,di,j,s,t,0,Ei,j,s,t)。

為調(diào)整電動汽車分布，減少電動汽車配置量，共享電動汽車公司會雇傭一批調(diào)度員，重位電動汽車，如圖1所示。當(dāng)圖1(b)可執(zhí)行時，電動汽車共享系統(tǒng)所需電動汽車數(shù)為5輛；否則，為6輛。每個調(diào)度員的日工資為Cr元。調(diào)度員自己利用折疊電動自行車調(diào)整位置。

圖1 規(guī)劃層與運營層間的相互影響Fig.1 Interaction between planning and operational decisions

提供共享服務(wù)的電動汽車是同質(zhì)的。每輛車日折舊為Cv元。在運營過程中，每輛純電動汽車必須以滿電狀態(tài)開始服務(wù)。純電動汽車的續(xù)航里程大于任意兩車站間的距離。每天開始時，純電動汽車都是滿電狀態(tài)。純電動汽車的行駛速度為Vckm·h-1。根據(jù)該行駛速度，可得各車站間的純電動汽車行駛時間為Tc,i,j個時段。每個時段純電動汽車的耗電成本為Cf元·時段-1。同理，根據(jù)電動自行車行駛速度Vbkm·h-1，可得各車站間的電動自行車行駛時間為Tb,i,j個時段。

上述情景下，該共享電動汽車公司應(yīng)如何配置車位、車輛和調(diào)度員，如何定價、重位車輛和人員，獲得最大利潤，是本文要解決的問題。

1.2 問題建模

首先，利用模型對上述問題進行描述。為減少跟蹤車輛和調(diào)度員位置的變量數(shù)，以車輛狀態(tài)和車站集計車輛，人員狀態(tài)和車站集計人員建模，如圖2所示。每種情景，每個時段，每個車站的車輛狀態(tài)僅有3種：重位、等待和服務(wù)客戶，每個車站的調(diào)度員狀態(tài)也僅有3種：重位、等待和重位車輛。所以，以狀態(tài)和車站集計車輛和調(diào)度員，可將每種情景，每個時段，跟蹤車輛位置的變量從I×I×N(N為車輛總數(shù))縮減到I×I×3，跟蹤調(diào)度員的變量從I×I×R(R為調(diào)度員總數(shù))縮減到I×I×3。

圖2 電動汽車與調(diào)度員集計示意圖Fig.2 Illustration of aggregation of electric car and personnel

據(jù)此，可將上述問題用數(shù)學(xué)模型描述如下。

(1)已知參數(shù)

I——共享車站集合，i,j∈I；

T——時間段集合，t,u,w∈T={1,2,…,Tmax} ；

Nd——共享電動汽車系統(tǒng)年運營天數(shù)；

S——需求場景集合，s∈S；

Cl——停車位日租金；

Cr——調(diào)度員日工資；

Cd——電動汽車日折舊；

Cf——電動汽車一個時段的耗電成本；

Hs——每個需求場景的發(fā)生概率；

Tc,i,j——車站i,j間電動汽車行駛時間；

Tb,i,j——車站i,j間電動自行車行駛時間；

Tr,i,j——車站i,j間包括充電時間的電動汽車行駛時間；

Lmax,i——車站i處最大可租用停車位數(shù)；

Tmax——每個運營日的最后一個運營時段；

di,j,s,t,0——情景s，第t時段車站i,j間潛在共享出行需求量，即共享出行服務(wù)免費時的需求量；

Ei,j,s,t——情景s，第t時段車站i,j間共享出行需求價格彈性；

di,j,s,t,1=Φ(pi,j,s,t,di,j,s,t,0,Ei,j,s,t)——情景s，第t時段車站i,j間共享出行需求與出行價格關(guān)系式。

(2)決策變量

li——共享車站i處租用的車位數(shù)；

N——購置的車輛數(shù)；

P——雇傭的調(diào)度員數(shù)；

hi,s,t——情景s，時段t開始時，車站i處的電動汽車數(shù)；

fi,s,t——情景s，時段t開始時，車站i處的調(diào)度員數(shù)；

di,j,s,t——情景s，第t時段，車站i,j間需求被服務(wù)量；

pi,j,s,t——情景s，時段t，車站i,j共享服務(wù)定價；

yi,j,s,t——情景s，時段t，車站i,j間車輛重位數(shù)；

zi,j,s,t——情景s，時段t，車站i,j間的調(diào)度員重位數(shù)。

(3)輔助決策變量

Ai,s,t——情景s，時段t開始時，車站i處的滿電狀態(tài)車輛；

qi,s,t——情景s，時段t，車站i服務(wù)的客戶；

qi,s,t,-——情景s，時段t，服務(wù)客戶到達車站i的車輛；

Ri,s,t,-——情景s，時段t，服務(wù)客戶到達車站i，且充滿電的車輛；

xi,s,t——情景s，時段t，從車站i出發(fā)的重位電動汽車；

xi,s,t,-——情景s，時段t，到達車站i的重位電動汽車；

Xi,s,t,-——情景s，時段t，到達車站i，且充滿電的重位電動汽車；

wi,s,t——情景s，時段t，從車站i出發(fā)的重位調(diào)度員；

wi,s,t,-——情景s，時段t，到達車站i的重位調(diào)度員；

as,t——情景s，時段t開始時，正在服務(wù)客戶的電動汽車；

bs,t——情景s，時段t開始時，正在重位的電動汽車。

式(1)為目標函數(shù)，最大化平均日利潤。式(2)為停車位約束，每個共享車站租用的停車位小于等于最大可租用停車位。式(3)～式(23)適用每個情景。式(3)約束共享電動汽車系統(tǒng)服務(wù)的需求小于等于共享需求。式(4)～式(16)為針對共享電動汽車的約束：式(4)統(tǒng)計了情景s，時段t，車站i服務(wù)的需求數(shù)；式(5)統(tǒng)計了情景s，時段t，服務(wù)客戶到達車站i的電動汽車數(shù)；式(6)為電動汽車守恒約束；式(7)約束每個時刻，車站處的電動汽車小于等于停車位；式(8)指定一天開始時，可用電動汽車等于車站電動汽車擁有量；式(9)約束每時段，從車站離開的電動汽車小于等于該處可用電動汽車；式(10)統(tǒng)計了情景s，時段t，服務(wù)客戶到達車站i，且充滿電的電動汽車數(shù)；式(11)統(tǒng)計了時段t，到達車站i，且充滿電的重位車輛數(shù)；式(12)統(tǒng)計了正在服務(wù)客戶的電動汽車數(shù)；式(13)統(tǒng)計了正在重位的電動汽車數(shù)；式(14)統(tǒng)計了每個時段開始時，車站可用電動汽車數(shù)，如圖3(a)所示；式(15)統(tǒng)計了每個時段開始，車站擁有的電動汽車數(shù)；式(16)指定單向電動汽車共享系統(tǒng)運營1 d后，需還原車輛分布。式(17)～式(23)為針對調(diào)度員的約束：式(17)為調(diào)度員守恒約束；式(18)計算時段t，車站i處重位車輛的調(diào)度員數(shù)；式(19)統(tǒng)計了時段t，重位車輛到達車站i的調(diào)度員數(shù)；式(20)統(tǒng)計了時段t，車站i處重位的調(diào)度員數(shù)；式(21)統(tǒng)計了時段t，重位到達車站i的調(diào)度員；式(22)約束車站i的重位調(diào)度員和重位車輛的調(diào)度員總和小于該車站調(diào)度員擁有量；式(23)描述了上下兩個時段車站調(diào)度員擁有量的關(guān)聯(lián)，如圖3(b)所示。式(24)指定了決策變量取值范圍。

圖3 時段t 車站i 的電動汽車與調(diào)度員變化Fig.3 Changes of electric car and personnel at station i in interval t

2 算法設(shè)計

(3)除此之外，本文所建模型為一個混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型。Duran 和Grossmann[7]提出的外逼近算法是求解混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型的一種經(jīng)典方法。其核心思想是尋找一系列上下界，直至上下界差異不超過預(yù)設(shè)容忍度ε。

當(dāng)Gi,j,s,t是一個上凸函數(shù)時，式(3)僅在最優(yōu)解處有效，模型可轉(zhuǎn)換為

因此，利用外點法求解本文模型的誤差可完全由外逼策略g(di,j,s,t) 控制，而且僅需迭代一次就可求解到小于ε的最優(yōu)解。當(dāng)設(shè)定求解誤差為ε時，外逼策略應(yīng)滿足

式中：|I|——共享車站數(shù)量；

|S|——需求情景數(shù)；

|T|——時間段數(shù)。

當(dāng)共享出行需求是出行價格的下凸函數(shù)時，如式(29)的線性函數(shù)，式(30)的指數(shù)函數(shù)以及式(31)的冪函數(shù)，Gi,j,s,t是一個上凸函數(shù)。根據(jù)上凸函數(shù)特征可知，Gi,j,s,t的一階泰勒展開式大于等于Gi,j,s,t。又因di,j,s,t是整數(shù)變量，因此，Gi,j,s,t可僅在整數(shù)點處進行一階泰勒展開。進一步分析可知，將泰勒展開式中的導(dǎo)數(shù)調(diào)整成割線斜率，可獲得相對更緊的外逼函數(shù)，如圖4所示。同時，依據(jù)求解誤差，可僅在部分整數(shù)點處，對Gi,j,s,t進行一階泰勒展開，包括展開點選擇的外點法。具體流程如下：

圖4 基于割線的外逼策略Fig.4 Outer-approximation scheme based on secant

Step 1 如果s,t,i,j所有組合遍歷，轉(zhuǎn)Step 5；否則，找一個新s,t,i,j組合，轉(zhuǎn)Step 2。

Step 2 如果di,j,s,t,0=0,Ω=-1，轉(zhuǎn)Step 1；如果di,j,s,t,0=1, Ω={(0,1)}，轉(zhuǎn)Step 1；否則，初始化Ω={([0 ,1],[di,j,s,t,0-1,di,j,s,t])},k=1,m=1 。 設(shè)定

Step 3 如果k≤m，則尋找兩條割線的相交點Ii,j,s,t,k=Ω{k} ；否則，轉(zhuǎn)Step 1。

Step 4 如果Ii,j,s,t,k∈Z+,Δ=Gi,j,s,t(Ii,j,s,t,k)-?scant(Ω{k} (1),Ii,j,s,t,k)(?scant(Ω{k} (1),Ii,j,s,t,k)為由Ω(k)(1)中兩點確定的割線函數(shù)，在Ii,j,s,t,k處的函數(shù)值)，當(dāng)Δ≤δ,k=k+1；否則，m=m+1，Ω{k} (1)=[Ii,j,s,t,k,Ii,j,s,t,k+1] ，Ω{m} (2)=[Ii,j,s,t,k+1,Ii,j,s,t,k+2] ，轉(zhuǎn)Step 3。否則，表示向下取整)，當(dāng)Δ≤δ,k=k+1；否則，m=m+1，表示向上取整)，轉(zhuǎn)Step 3。

Step 5 ?s,t,i,j，如果Ω=-1，將Gi,j,s,t≤0 添加到模型約束；否則，Gi,j,s,t≤?scant(Ω{k} (?)),?k,?=1,2。

Step 6 利用分支定界法求解OP-2。

3 數(shù)值試驗

數(shù)值試驗中，外點法利用MATLAB 2019b 編譯，模型OP-2 利用MATLAB 2019b 調(diào)用GUROBI 9.1.1求解。

3.1 算例設(shè)計

每個需求情景中OD 對間的潛在需求量等于基本需求與需求乘子的乘積。以[0,5] 均勻分布生成OD 對基本需求[5]；以符合[-σ,0.2-σ] 和[σ-0.2,σ],0.2 ≤σ≤1 的均勻分布生成需求乘子。各共享車站的最大可租用車位為300 個。各共享車站間的距離以符合[5,15] 的均勻分布生成(單位：km)。電動汽車行駛速度為25 km·h-1，電動自行車的行駛速度為20 km·h-1。車位租用成本為100 元·d-1，調(diào)度員日工資為90元·d-1，電動汽車日折舊為60 元·d-1。共享出行需求與出行定價為線性關(guān)系，如式(29)，其中，Ei,j,s,t=-0.2,?i,j,s,t。算例中不考慮電動汽車的充電時間。

3.2 算法效率分析

GUROBI 9.1.1 雖然也可直接求解算例(非凸非線性規(guī)劃模型)，但其求解效率比本文設(shè)計的外點算法差。如表1所示，GUROBI 9.1.1 求解I×T=7×24 規(guī)模案例所用時間超過3600 s，而外點法所需時間小于3 s。

表1 設(shè)計算法與GUROBI的求解速度對比Table 1 Comparison of solving speed between designed algorithm and GUROBI

進一步，外點法求解效率隨時間段數(shù)量的變化也被分析，如圖5所示。圖5中的求解時間針對的站點規(guī)模為I=19。它顯示，當(dāng)時間段增加，外點法的求解時間將顯著增加，且增速加快。因此，建議問題時間段不易分的太細，增加求解負擔(dān)；同時，也建議進一步提高外點法求解效率。

圖5 外點法求解時間隨時間段數(shù)量的變化Fig.5 Change of computation time of outer-approximation approach over number of intervals

3.3 共享需求不確定性的影響

圖6對比了考慮需求不確定性與平均需求(各情景需求平均值)下的共享電動汽車系統(tǒng)利潤。圖中的差異比為5 個案例的平均值。每個案例的差異比為

圖6 不確定需求與平均需求下的共享電動汽車系統(tǒng)利潤對比Fig.6 Comparison between profit of one-way electric carsharing systems with uncertain demand and average demand

式中：G——差異比；

U——不確定需求下的利潤(元)；

C——平均需求下的利潤(元)。

圖6顯示，考慮需求不確定性配置的共享電動汽車系統(tǒng)獲得的利潤高于以平均需求配置的系統(tǒng)(G＞0)，可多獲高達90%以上的利潤，表明在配置電動汽車共享系統(tǒng)時，應(yīng)考慮共享需求的不確定性。這主要是因為共享電動汽車系統(tǒng)可獲利潤是共享需求的非線性函數(shù)，因此，高需求下的利潤并不等于低需求下的利潤之和。

同時，觀測了不同需求方差下的共享電動汽車系統(tǒng)特征，如表2所示。表2顯示，共享電動汽車系統(tǒng)利潤隨需求方差的增大而增加，增加的利潤來源于服務(wù)了更多的共享出行需求，也源于更高的服務(wù)價格。

表2 不同需求方差下的共享電動汽車系統(tǒng)特征Table 2 Characteristics of one-way electric car-sharing system under different demand variations

3.4 敏感度分析

本節(jié)分析需求價格彈性和需求量對共享電動汽車系統(tǒng)的影響，為共享服務(wù)商提供管理建議。表3為不同需求彈性下的共享電動汽車系統(tǒng)特征。其顯示，共享電動汽車系統(tǒng)利潤隨需求價格彈性絕對值的增加而迅速下降。這是因為共享電動汽車系統(tǒng)的服務(wù)量和服務(wù)價格都下降了。當(dāng)需求價格彈性絕對值等于或大于0.3 時，共享電動汽車系統(tǒng)將無法獲利。這些結(jié)果表明，共享需求價格彈性對共享電動汽車系統(tǒng)利潤有顯著影響，建議共享電動汽車服務(wù)商在配置系統(tǒng)、設(shè)計系統(tǒng)運營策略前，對擬服務(wù)區(qū)域的共享出行需求價格彈性展開深入調(diào)查。

表3 不同需求價格彈性下的共享電動汽車系統(tǒng)特征（σ=0.2）Table 3 Characteristics of electric car-sharing system under different price elasticities of demand（σ=0.2）

表4為不同共享需求量下的共享電動汽車系統(tǒng)特征。它顯示，共享電動汽車系統(tǒng)的利潤、平均服務(wù)需求量和電動汽車配置數(shù)都隨潛在共享需求的增加而增加，表明潛在共享需求增加時，共享電動汽車服務(wù)商應(yīng)為系統(tǒng)配置更多的電動汽車和車位。潛在共享需求低于一定水平時，如案例中需求比低于0.6 時，共享系統(tǒng)將無法獲利。這意味著從盈利角度，當(dāng)潛在需求較低時，電動汽車共享業(yè)務(wù)不應(yīng)開展。

表4 不同需求下的共享電動汽車系統(tǒng)特征（σ=0.2;Ei,j,s,t=-0.2,?i,j,s,t）Table 4 Characteristics of one-way electric car system under different demand quantities

4 結(jié)論

本文以多情景處理隨機需求，構(gòu)建了融合車輛重位、調(diào)度員重位以及出行定價決策的共享電動汽車系統(tǒng)配置模型。針對3 類共享出行需求價格彈性函數(shù)，基于割線設(shè)計了用于模型求解的外點法，提供了動態(tài)隨機需求下的共享電動汽車系統(tǒng)最優(yōu)配置方法。通過案例分析得知：

(1)共享出行需求的不確定性會顯著地影響系統(tǒng)利潤；

(2)共享電動汽車系統(tǒng)利潤隨需求方差的增大而增加；

(3)共享電動汽車系統(tǒng)利潤隨需求價格彈性絕對值的增加而迅速下降；

(4)共享電動汽車系統(tǒng)利潤、所需電動汽車和停車位都隨潛在共享需求的增加而增加。