一、問題的提出

對于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)概念往往比較抽象。如何讓學(xué)生經(jīng)歷和感受概念的形成過程，幫助學(xué)生正確理解、掌握數(shù)學(xué)概念，這個問題值得探究。當(dāng)今，教師可以借助信息技術(shù)使抽象的數(shù)學(xué)概念更加好懂，高深的數(shù)學(xué)思想表達更直觀，巧妙的數(shù)學(xué)方法更容易實現(xiàn)，現(xiàn)實與數(shù)學(xué)的聯(lián)系更加緊密。目前，一些國家在數(shù)學(xué)教材中使用圖形計算器已是常態(tài)^[1]。手持技術(shù)（比如圖形計算器）與傳統(tǒng)意義上的“人造工具”不同，它是“人造工具”與“智力技能”的綜合^[2]，是一種“認(rèn)知工具”。筆者以人教A版第4章“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”第4節(jié)第1課“對數(shù)函數(shù)概念”為例，論述圖形計算器支持下的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)。

“對數(shù)函數(shù)概念”教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過分析實例數(shù)據(jù)中蘊含的變化規(guī)律，抽象形成相應(yīng)的函數(shù)概念。教師要重視學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的獲得過程，注重數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系，注重數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯，從現(xiàn)實或數(shù)學(xué)事實出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、概括事物本質(zhì)的過程，讓學(xué)生學(xué)用數(shù)學(xué)認(rèn)識問題，盡可能將數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過程充分暴露在學(xué)生面前，吸引學(xué)生積極參與知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程^[3]。在這個過程中，教師教會學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！皩?shù)函數(shù)概念”是繼冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之后的第三類重要的基本初等函數(shù)。筆者按照人教A版教材給出的引導(dǎo)學(xué)生按研究函數(shù)的基本方法（背景—概念—圖象與性質(zhì)—應(yīng)用），為學(xué)生創(chuàng)設(shè)合適的情境，使其通過觀察、分析、探究等一系列思維活動，從具體的問題出發(fā)進行歸納、演繹，并通過抽象、概括或推理揭示本質(zhì)，從而理解對數(shù)函數(shù)的概念。筆者在概念建構(gòu)的過程中，以問題鏈的形式，引導(dǎo)學(xué)生計算、推理、歸納并概括對數(shù)函數(shù)的概念，讓概念教學(xué)過程自然展現(xiàn)，潛移默化發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

學(xué)生在學(xué)習(xí)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)這兩類函數(shù)的過程中已經(jīng)有了研究函數(shù)的基本經(jīng)驗，但對數(shù)函數(shù)在運算上相對前兩種麻煩很多。筆者在教學(xué)過程中，應(yīng)用圖形計算器的計算機代數(shù)功能和雙變量統(tǒng)計功能，幫助學(xué)生理解相關(guān)知識，使“不易見”的代數(shù)形式變“易見”的直觀呈現(xiàn)，掃除學(xué)生建構(gòu)概念的障礙，突破難點。

二、教學(xué)設(shè)計與實施

（一）情境創(chuàng)設(shè)

情境：假設(shè)某地初始物價為1元，每年以5%的增長率遞增，經(jīng)過年后的物價為 ^[5]。

問題1：10年后，該地的物價為多少？

學(xué)生1：物價為（1+5%）¹⁰，應(yīng)用圖形計算器的計算機代數(shù)功能可得≈1.63。

問題2：物價為是關(guān)于年份的函數(shù)嗎？

學(xué)生2：是。（1.05）是指數(shù)函數(shù)。

問題3：幾年后該地的物價會翻一番？

學(xué)生3：設(shè)年后該地物價翻一番，有2=（1+5%），即=log2，由計算器算得≈14.206 699 082 9，即大約14年后物價翻番。

問題4：按照解決問題2的方法，用圖形計算器的雙變量統(tǒng)計模塊完成下列計算（見表1）。

學(xué)生4：應(yīng)用雙變量統(tǒng)計功能在列C1中生成一個1到10，步長為1的數(shù)組;在列C2中生成一個log1到log10 ，真數(shù)步長為1的數(shù)組，該數(shù)組即為年份數(shù)據(jù)（可以四舍五入到整數(shù)）。

問題5：繼續(xù)利用圖形計算器，將剛才得到的數(shù)據(jù)畫到坐標(biāo)系中。

學(xué)生5：應(yīng)用圖形計算器的繪圖功能，可以生成坐標(biāo)圖象（如圖1）。

【設(shè)計意圖】在手持技術(shù)的支持下研究一個被抽象過的案例，讓學(xué)生將更多的精力放在探究數(shù)學(xué)問題上，直奔主題。

（二）概念建構(gòu)

問題6：圖象上的每個點（，）滿足什么關(guān)系？

學(xué)生6：=log

問題7：有無可能某個是多個對應(yīng)的結(jié)果？

學(xué)生7：不可能。通過指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)換，可知=（1.05），此時是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，可見和是一一對應(yīng)的。

問題8：那么=log能否作為一個新的函數(shù)？

學(xué)生8：可以，因為它符合函數(shù)的定義。

問題9：能否為這個新函數(shù)取個名稱？

學(xué)生齊答：對數(shù)函數(shù)。

問題10：對數(shù)函數(shù)中的底數(shù)有什么要求？

學(xué)生9：根據(jù)對數(shù)的概念可知>0且≠1。

問題11：對數(shù)函數(shù)的定義域有什么要求？

學(xué)生10：根據(jù)對數(shù)的概念可知，負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)的定義域為{|>0} 。

師生共同給出對數(shù)函數(shù)定義：一般地，函數(shù)=log（>0且≠1）叫對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，定義域是（0，+∞）。

【設(shè)計意圖】教學(xué)中，以問題鏈的方式讓學(xué)生從圖象上獲得直觀認(rèn)識，通過運算、推理和答問的方式思考什么是函數(shù)（和一一對應(yīng)），將數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過程充分暴露在學(xué)生面前，吸引學(xué)生積極參與知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程^[3]，理解對數(shù)函數(shù)的概念。在獲取概念的過程中，教師借助圖形計算器的使用讓學(xué)生歸納數(shù)學(xué)結(jié)論，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，提高數(shù)學(xué)抽象能力，突破學(xué)習(xí)難點。

（三）概念辨析

例題1：下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是 。

（1）=log（+1）

（2）=log（2）（>0且≠1）

（3）=log ²（>0且≠1）

（4）=ln

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念=log （>0且≠1）可知，符合的函數(shù)只有（4）。

變式1：若函數(shù) （）=（²+-5）log 是對數(shù)函數(shù)，如何求實數(shù)的值？

根據(jù)對數(shù)函數(shù)概念得²+-5=1，解得=2或=-3，又因為底數(shù)>0且≠1，得=2。

【設(shè)計意圖】通過問題再次強化之前歸納得到的數(shù)學(xué)概念，用程式化的途徑進一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

（四）概念運用

例題2：求下列函數(shù)的定義域：

（1）=log²;

（2）=log（4-）（>0且≠1）。

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念可得，（1）的定義域為{|≠0};題（2）中的定義域為{|<4}。

變式2：畫出下列函數(shù)的圖象：

（1）=lg 10 （2）=10^lg

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念可得（1）等價于函數(shù)=（∈），（2）等價于函數(shù)= （>0）。

【設(shè)計意圖】用教材提供的素材（例題和練習(xí)）進一步加深學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的認(rèn)識，幫助學(xué)生鞏固知識。

（五）課堂練習(xí)

1.求函數(shù)=log（+1）的定義域。

2.求下列函數(shù)的定義域：

（1）=ln（1-）

（2）=

（3）=log

（4）

3.已知集合={1，2，3，4，…} ，集合={2， 4，8，16，…}，下列函數(shù)能體現(xiàn)集合與集合對應(yīng)關(guān)系的是 。

A. =2 B.=^{619bd87bcf1b51f19b41e5f7a50e7cb92} C.=log D. =2

【設(shè)計意圖】練習(xí)是學(xué)生課內(nèi)學(xué)習(xí)活動的重要組成部分。教師讓學(xué)生接受課內(nèi)鞏固性訓(xùn)練，可以檢測課堂教學(xué)效果，有助于學(xué)生鞏固知識、拓展知識、深化理解和應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)能力。

（六）知識回扣

當(dāng)生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比例衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”。

已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量隨死亡時間的變化而衰減的規(guī)律。那么，已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何得知它死亡了多長時間呢？死亡時間是碳14的含量的函數(shù)嗎？筆者讓學(xué)生繼續(xù)思考并解答這些問題。

【設(shè)計意圖】這是教材中貫穿本章（章頭圖、4.2和4.4）的一個案例，在課尾回扣這個問題，可以幫助學(xué)生再次體驗對數(shù)函數(shù)概念形成的過程，使“單元—課時”形成一個有機整體。

（七）課堂小結(jié)

筆者用結(jié)構(gòu)圖歸納教學(xué)內(nèi)容（如圖2）。

【設(shè)計意圖】再次回顧研究思路，讓學(xué)生領(lǐng)會直觀的圖象認(rèn)知到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)推理的這個過程，體會概念建構(gòu)的合理性和數(shù)學(xué)形式化的嚴(yán)謹(jǐn)性。

三、總結(jié)

人教A版的教材提出了“背景—概念—圖象與性質(zhì)—應(yīng)用”的函數(shù)研究方法，又特別強調(diào)引導(dǎo)學(xué)生通過運算分析具體實例的數(shù)據(jù)中蘊含的變化規(guī)律，抽象形成相應(yīng)的函數(shù)概念。筆者在教學(xué)中，設(shè)計了問題鏈，在圖形計算器的支持下，讓學(xué)生關(guān)注對函數(shù)形成的過程，提高邏輯思維能力。

從抽象的代數(shù)運算進入直觀的圖象，到最后的概念形成環(huán)環(huán)相扣，以數(shù)學(xué)特有的方式循序漸進，在概念形成的過程上下功夫，這樣教學(xué)有助于學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)。筆者通過圖形計算器合理的應(yīng)用激發(fā)學(xué)生的求知欲望，使數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過程充分暴露，吸引學(xué)生積極參與知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程，讓學(xué)生在這個過程中學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，概念形成后，以例題和變式的方式對學(xué)生進行必要的訓(xùn)練，讓其學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界。總之，教師要合理應(yīng)用信息技術(shù)引導(dǎo)學(xué)生基于已有的認(rèn)知去建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)會遷移并進行新的詮釋，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力，為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成而教。

參考文獻

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[2] “中小學(xué)數(shù)學(xué)課程核心內(nèi)容及其教學(xué)的研究”課題組.數(shù)學(xué)·信息技術(shù)·數(shù)學(xué)教學(xué) [J].課程·教材·教法，2012（12）：62-66.

[3] 王凱，蘇有生.基于“兩個過程”合理性思考下的課堂教學(xué)設(shè)計——以“空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（6）：38-40.

（作者系浙江省杭州市源清中學(xué)高級教師）

責(zé)任編輯：祝元志