學(xué)科融合是教育發(fā)展趨勢。數(shù)學(xué)學(xué)科中的“圖形與幾何”領(lǐng)域和3D建模有著統(tǒng)整的天然優(yōu)勢。教師充分利用信息技術(shù)，立足于學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)，對數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系與3D建模進行系統(tǒng)化可行性分析之后，可優(yōu)化課程，以項目工程的思維方式深度融合，切實解決“圖形與幾何”領(lǐng)域中學(xué)科思維建構(gòu)支撐工具匱乏的問題，幫助學(xué)生建立空間觀念，讓思維可視化，使創(chuàng)新創(chuàng)意具象化。

一、指向思維可視化的3D建模與數(shù)學(xué)融合

數(shù)學(xué)思維可視化是借助數(shù)字、符號、圖示、動作等多維表征方式，將看不見的思維路徑顯性化，對形式的本質(zhì)內(nèi)容進行內(nèi)化理解、視覺化呈現(xiàn)的深度學(xué)習(xí)的過程^[1]。教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“直觀看”“形象畫”“出聲想”……讓學(xué)生以多元、生動的學(xué)習(xí)方式活化學(xué)科知識。然而在立體知識學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生僅擁有立方體塊等極少數(shù)演示性學(xué)科工具，在學(xué)科思維難度最大的地方，卻只能依托“空間想象”，無實體化學(xué)科工具支撐?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，要充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。筆者立足學(xué)科核心素養(yǎng)，針對圖形與幾何中的難點，利用3D建模的技術(shù)優(yōu)勢，在集合圈中的交叉部分做融合研究（如圖1），找尋立體幾何學(xué)習(xí)的“腳手架”，讓學(xué)生在“操作”中建立空間觀念，于“拖曳”下外顯思維，使思維可視、創(chuàng)新有形，助力學(xué)生成長。

二、3D建模與小學(xué)數(shù)學(xué)融合課程的構(gòu)建

（一）內(nèi)容選擇

小學(xué)數(shù)學(xué)在課程內(nèi)容上劃分為四大領(lǐng)域：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐。筆者基于小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的圖形與幾何模塊，參考課標(biāo)，從學(xué)科內(nèi)容、核心素養(yǎng)點以及與3D建模融合的可行性方面進行系統(tǒng)化分析，將融合點定位在立體幾何部分中的觀察物體（三視圖）、立體圖形截面、立體圖形展開圖、體積單位量化，以及圖形運動部分中的二維三維轉(zhuǎn)化等學(xué)科思維難度較大的地方（如圖2）。

（二）系統(tǒng)化設(shè)計

在確定3D建模與小學(xué)數(shù)學(xué)融合落腳點的基礎(chǔ)上，筆者設(shè)計了“1+4+ ”的融合課程體系，即1個軟件平臺專題、4個典型專項主題活動和多個整合式拓展課例。教學(xué)內(nèi)容與課時安排參考表1。

下面，筆者結(jié)合“看得見”的截面、“堆砌”的體積和平面線索里的“拼搭”三個案例，簡要闡述3D建模與小學(xué)數(shù)學(xué)的融合課程設(shè)計。

案例1：“看得見”的截面——讓截面在3D布爾運算下顯影

截面的認(rèn)識是思維可視的典型教學(xué)實踐，在以往的教與學(xué)中，幾乎沒有學(xué)具支撐學(xué)生空間想象力的階梯式生長。筆者為學(xué)生打造積累直觀空間經(jīng)驗的學(xué)科工具，幫助學(xué)生發(fā)展空間想象能力。

教學(xué)準(zhǔn)備： 3D One平臺、設(shè)計好的長方體、正方體、圓柱體、圓錐體等及“正方形”截面、3D One中組合編輯—減運算模型演示儀。

環(huán)節(jié)一：讓學(xué)生利用組合編輯—減運算模型演示儀，自主學(xué)習(xí)減運算操作，截取長方體、正方體、圓柱體、圓錐體等的橫截面，觀察截面是否與想象一致。

【設(shè)計意圖及實踐成效】在以往的教學(xué)中，為了讓學(xué)生有直觀認(rèn)識，教師用胡蘿卜等當(dāng)學(xué)具，讓學(xué)生動手切一切之后進行觀察，也能起到基本效果但存在安全性和截切不可逆的問題。在3D建模環(huán)境下，讓學(xué)生利用減運算技術(shù)操作完成幾何體“取截面”的過程，在安全、有效的數(shù)學(xué)活動中，經(jīng)歷“想象—操作—驗證”的可重復(fù)、可逆的全過程，提高學(xué)習(xí)的趣味性和成就感。

相關(guān)研究表明：學(xué)生的空間想象能力依賴于空間感知，與觀察、思考、實驗等活動密切相關(guān)。直觀操作固然好，如果沒有工具輔助想象，仍難以提升空間想象力;而僅有空間想象，沒有實際操作驗證，所得到的結(jié)論也難以令人信服。直觀操作與空間想象結(jié)合是培養(yǎng)空間觀念的重要途徑。通過這一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生在畫出頭腦中的“截面”與操作驗證的截面等操作上正確率達(dá)98.7%，明顯高于傳統(tǒng)模式（正確率78.4%）。

環(huán)節(jié)二：想象一下，用不同的方式截取同一個正方體，會得到什么樣的截面？按照想象在紙上畫出來，然后在3Done中進行驗證（如圖3）。

【設(shè)計意圖及實踐實效】在環(huán)節(jié)一的基礎(chǔ)上，筆者以“大問題”的理念設(shè)計了環(huán)節(jié)二，讓學(xué)生的空間想象能力從直觀感知進一步提升到圖形規(guī)范量化表達(dá)的維度。學(xué)生經(jīng)歷“驗證基本圖形”“尋找復(fù)雜圖形”“整合四邊形”等多維度的活動，實現(xiàn)“初步驗證猜想—縱向建構(gòu)—橫向建構(gòu)”的遞進，其空間想象能力階梯式生長。

學(xué)生借助3D建模技術(shù)學(xué)習(xí)截面知識，讓本看不見、摸不著的截面在3D布爾運算的技術(shù)支撐下顯影，變戲法般在三維世界里切割幾何體。學(xué)生應(yīng)用3D建模技術(shù)也是為他們的空間想象能力“畫像”。以前利用PPT等常規(guī)工具，教師只能完成環(huán)節(jié)一的教學(xué)任務(wù)，現(xiàn)在有了3D建模這一可視化工具的加持，空間想象力的培育可以走得更遠(yuǎn)、落得更實。

案例2：“堆砌”的體積——讓體積公式從單位累加中自然形成

單位意識不僅統(tǒng)領(lǐng)著“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，而且是“圖形與幾何”的核心。長度、面積、體積都用“單位”做度量，是不同維度上的“單位”的累加?！岸哑鲶w積”是典型的思維可視的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)課題。教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)體積公式的過程中，將學(xué)生的思維從一維引向三維。

教學(xué)準(zhǔn)備：3DOne平臺、陣列操作提示卡、準(zhǔn)備好的不同形狀的積木若干。

環(huán)節(jié)一：觀察教師提供的棱長1厘米的立方體塊搭成的不同形狀的幾何體，數(shù)一數(shù)，它們的體積各是多少立方厘米？

【設(shè)計意圖及實踐實效】在二維的面積教學(xué)中，筆者提供小紙片（面積單位）讓學(xué)生經(jīng)歷面積累加的過程。在立體圖形中筆者為學(xué)生打造三維學(xué)習(xí)活動中的“立體化紙片”，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)”體積單位的過程，進一步加強體積是累加而來而非用公式計算得來的意識。

在教學(xué)中，筆者提供了更加多元化的“學(xué)具”，讓學(xué)生認(rèn)識不同形狀的積木的體積，在更加多元的活動中發(fā)散思維，梳理共性，這是用其他學(xué)科工具無法實現(xiàn)的。學(xué)生切換視圖，甚至將其“拆解”，將完全不同形狀的積木，在不同的思維路徑下“數(shù)”出它們的體積來。學(xué)生“數(shù)”的策略外顯為其思維能力發(fā)展刻下清晰的路徑。

環(huán)節(jié)二：初步猜想。

擺一擺：擺放48個小積木，拼擺出不同的長方體。（可以用陣列的方式）

數(shù)一數(shù)：每個長方體的體積是多少立方厘米？（記錄在學(xué)習(xí)單的表格中）

看一看：每個長方體的長、寬、高各是多少厘米？（記錄在學(xué)習(xí)單的表格中）

議一議：根據(jù)操作和記錄的數(shù)據(jù)，說一說自己的發(fā)現(xiàn)。

【設(shè)計意圖及實踐實效】學(xué)生觀察自己搭建的不同形狀的長方體，在陣列的過程中初步感受體積累加的過程與幾行、幾列、幾層，也就是兩次“幾個幾”的連乘模型的高度關(guān)聯(lián)性，再加上在面積的探究中有幾個幾的乘法模型的前情積累，很容易有“長方體體積=長×寬×高”的初步猜想。

此環(huán)節(jié)，每個學(xué)生都經(jīng)歷整個探究歷程，在交流中發(fā)現(xiàn)規(guī)律?；顒咏Y(jié)束后，筆者從實物、模型、口語、符號、圖形等數(shù)學(xué)多元表征對學(xué)生進行多維度評價，發(fā)現(xiàn)3D建模與其他可視化工具相比在提高學(xué)生空間想象能力和建構(gòu)整體思維方面存在較明顯的優(yōu)勢。

環(huán)節(jié)三：驗證猜想。

想一想：如果取走一部分單位小積木，能想象出原來的長方體積木的樣子嗎？

做一做：在大長方體中去掉相應(yīng)單位的小積木，要能想象出它的形狀。

議一議：這是什么道理，與體積公式有關(guān)系嗎？

【設(shè)計意圖及實踐實效】讓學(xué)生在充分動手操作中體驗一步步抽象的過程，從整體中一步步抽象出底層單位數(shù)量和高所在的單位數(shù)量，再到長、寬、高所在的長度單位的“替代式”表征，讓體積的表征方式走向統(tǒng)一。

3D建模能讓學(xué)生在淺層猜想的基礎(chǔ)上自主操作，一步步體味“抽絲剝繭”的歷程，逐步獲得“線—面—體”螺旋上升的認(rèn)知（如圖4），其空間思維能力也得以發(fā)展。

環(huán)節(jié)四：根據(jù)表格中的長、寬、高數(shù)據(jù)，計算相應(yīng)的體積，然后用陣列的方式還原出它的形狀，在還原的過程中注意數(shù)出體積，驗證用公式計算的結(jié)果。

【設(shè)計意圖及實踐實效】在學(xué)生經(jīng)歷3D建模技術(shù)支撐下體積累加過程后，讓學(xué)生再次動手驗證，這是“抽絲剝繭”的逆過程，是對體積單位累積的本質(zhì)再現(xiàn)，是對學(xué)生思維序列完整化的再度強化。

案例3：平面線索里的“拼搭”——讓幾何推理在“按圖索驥”中生長

直觀和推理是“圖形與幾何”模塊要求的核心能力，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神的基石。在三視圖的教學(xué)中，設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動提升學(xué)生的推理能力、創(chuàng)新意識尤為重要。筆者以“大問題”的視角，從直觀感知—操作確認(rèn)—演繹推理—度量計算等維度，設(shè)計了具有思維深度、物化創(chuàng)新精神的融合課例。

教學(xué)準(zhǔn)備：3DOne平臺、3D打印的立方體塊、A4網(wǎng)格紙。

環(huán)節(jié)一 ：觀察3DOne中的立方體塊（如圖5），在A4網(wǎng)格紙上完成主視圖、左視圖、俯視圖的繪制。（提示：畫好一個視圖后可旋轉(zhuǎn)進行觀察）

【設(shè)計意圖及實踐實效】在以往的教學(xué)中，教師常以小組為單位發(fā)放實體學(xué)具，以“動”生觀“靜”體的形式開展學(xué)習(xí)活動。這樣的教學(xué)存在著很大弊端——觀察的角度很難做到精準(zhǔn)，更難以描畫出正確的視圖。

在3D建模技術(shù)的加持下，筆者讓“靜”體“動起來”。學(xué)生用鼠標(biāo)“旋轉(zhuǎn)”讓三個視圖以精準(zhǔn)的角度投射于眼球，并拓印到A4網(wǎng)格紙上，輕松地留下了難忘的印痕。

環(huán)節(jié)二：根據(jù)教師出示的標(biāo)注立方體層塊數(shù)的三視圖（如圖6），利用3D打印的立方體塊進行立體還原。

【設(shè)計意圖及實踐實效】在實際操作中，學(xué)生經(jīng)歷了直觀感知到操作確認(rèn)的過程，思維在操作中活化。

此環(huán)節(jié)，學(xué)生用便宜且易制作的3D立方體塊當(dāng)學(xué)具，在思考和探究上下功夫，釋放了空間和時間能量，使空間觀念從“附屬”走向“核心”，實現(xiàn)了基礎(chǔ)知識與發(fā)展空間觀念的交融，有利于高階思維能力發(fā)展。

環(huán)節(jié)三：根據(jù)教師出示的主視圖、左視圖、俯視圖（無標(biāo)注），利用3DOne完成推演還原立體圖形且數(shù)出立體圖形的體積。（前提：滲透體積單位的相關(guān)知識）

【設(shè)計意圖及實踐實效】去掉了層塊數(shù)的標(biāo)注，讓學(xué)生按照三視圖在頭腦中建構(gòu)推演多種可能的立體圖形，在操作中提高推理能力。同時，還拿走了實物學(xué)具的“支撐”。3D建模中一個個立方體塊的演進式呈現(xiàn)就是學(xué)生推理能力和創(chuàng)新能力生長的最好表征。

使用3D打印的學(xué)具，學(xué)生真正全員參與學(xué)習(xí)活動。3D建模給學(xué)生提供了新的學(xué)習(xí)方式。在層層遞進的活動中，學(xué)生根據(jù)“平面”多角度的“線索”，按圖索驥，通過鼠標(biāo)“拖曳”“堆積”，在嘗試中建構(gòu)、推演，還原幾何體的本來模樣，空間想象、幾何推理乃至創(chuàng)新品質(zhì)在“旋轉(zhuǎn)”“堆砌”中的被動態(tài)建構(gòu)起來。

三、成效與反思

（一）數(shù)學(xué)學(xué)科思維讓3D建?！坝雄E可循”

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，也是一種交流語言、特殊工具、科學(xué)態(tài)度，根本意義在于助力理性精神的培養(yǎng)與學(xué)生思維方式的建構(gòu)。數(shù)學(xué)的測量（單位的累加）、布爾運算、平移與旋轉(zhuǎn)的圖形運動，這些數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思維方式為3D建模的過程提供了理性化、條理化的路徑，在數(shù)學(xué)探究中形成的空間想象力、推理能力、整體性思維等正是3D建模的基礎(chǔ)?？梢哉f，正是加入了數(shù)學(xué)知識的“深蹲助跑”才有了3D建模的“起跳跨越”。

（二）3D建模搭起空間想象（思維）與現(xiàn)實的“橋梁”

3D建模可以讓平面圖形立體化、運動歷程可視化，讓學(xué)生以更直觀的方式認(rèn)識圖形的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、動態(tài)成體的過程。3D建模的過程中，學(xué)生經(jīng)歷從平面圖形到立體圖形的立體化過程。3D建模技術(shù)為空間觀念比較薄弱的學(xué)生提供了一個思考的“腳手架”，讓學(xué)生的思維在直觀可視的環(huán)境下自覺建構(gòu)、動態(tài)生長——每一次“移動”“推拉”“旋轉(zhuǎn)”既是直觀想象、真實體驗，又是立體構(gòu)思、物化思維。

3D建模與數(shù)學(xué)的融合應(yīng)基于學(xué)科本位，以數(shù)學(xué)學(xué)科為內(nèi)核設(shè)計3D建模項目，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在建模工具的支撐下整體建構(gòu)、立體呈現(xiàn)，最終思維能力和創(chuàng)新意識得以提升。筆者實踐的整體效果是顯而易見的。當(dāng)然，在具體實施的過程中也存在不足：3D建模與需要的關(guān)聯(lián)性數(shù)學(xué)知識在時空上異步;課時分散造成探究銜接性較差;等等。3D建模作為STEAM教育的一種新形式，在中小學(xué)雖有發(fā)展，但大部分只是將其作為獨立于課程標(biāo)準(zhǔn)之外的活動課程來開展。筆者希望各學(xué)科教師深入思考與研究，改變現(xiàn)狀，破除壁壘，走向真正的跨學(xué)科統(tǒng)整的融合，以學(xué)科思維助力技術(shù)建模，以技術(shù)呈現(xiàn)物化創(chuàng)新思維，真正做到“思維可視，創(chuàng)新有形”。

注：本文系山東省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度青年專項課題“指向思維可視化的小學(xué)數(shù)學(xué)與3D建模的融合研究”（編號：2020QZC003）的階段性研究成果。

參考文獻

[1] 蔡慧英，陳婧雅，顧小清.支持可視化學(xué)習(xí)過程的學(xué)習(xí)技術(shù)研究[J].中國電化教育，2013（12）：27-33.

（作者王宗寶系山東省淄博市臨淄區(qū)玄齡小學(xué)一級教師;李紅梅系山東省淄博市臨淄區(qū)玄齡小學(xué)高級教師，特級教師）