高紅成 霍云娟

(1.天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387； 2.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 科學(xué)技術(shù)史研究院，呼和浩特 010022； 3.天津市第六十三中學(xué)，天津 300190)

晚清，中國(guó)數(shù)學(xué)逐步走向近代化。一方面，諸如解析幾何、微積分、符號(hào)代數(shù)、概率論等西方數(shù)學(xué)傳入中國(guó)，逐漸被中算家承認(rèn)、理解、吸收和運(yùn)用；另一方面，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)受到西方數(shù)學(xué)概念、方法的影響，逐漸被“西化”，最終被取代，如天元術(shù)、垛積術(shù)等領(lǐng)域。[1]不過(guò)，這個(gè)近代化過(guò)程是復(fù)雜的，面對(duì)近代西方數(shù)學(xué)的“優(yōu)勢(shì)”，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)并非“一邊倒”地立即被取代，有的甚至還有所發(fā)展，出現(xiàn)一些有特色的成果，如華蘅芳(1833—1902)所創(chuàng)造的積較術(shù)。本文要討論的陳平瑛“積較開(kāi)方新術(shù)”則是華蘅芳積較術(shù)的發(fā)展。

陳平瑛是清末民初福建數(shù)學(xué)家。郭金彬在《清代八閩數(shù)學(xué)家略論》[2]中對(duì)他做過(guò)簡(jiǎn)單介紹。筆者在《代數(shù)布式，天元開(kāi)方——卡爾達(dá)諾公式在晚清的境遇》[3]中討論了陳氏對(duì)卡爾達(dá)諾公式的理解和應(yīng)用，在《〈中西算學(xué)題鏡〉研究》[4]中對(duì)陳氏的數(shù)學(xué)著作《中西算學(xué)題鏡》進(jìn)行了較為全面的論述，對(duì)積較開(kāi)方新術(shù)也有初步的解讀。上述研究或沒(méi)有論及陳氏積較開(kāi)方新術(shù)，或是對(duì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想挖掘不夠，特別是對(duì)這個(gè)方法與陳氏本人對(duì)垛積術(shù)的研究之間的關(guān)系揭示不夠。本文先利用新史料考訂陳平瑛的生平，其次討論陳氏對(duì)垛積術(shù)與招差術(shù)的研究創(chuàng)見(jiàn)及其思想來(lái)源，然后考察陳氏“零邊積較”的構(gòu)造及其“簡(jiǎn)商之法”，接著討論陳氏還原表以及“徑求開(kāi)方之法”，最后對(duì)這一成果的歷史意義進(jìn)行評(píng)述，以期對(duì)陳氏積較開(kāi)方新術(shù)的數(shù)學(xué)意義和歷史意義有更深入的認(rèn)識(shí)。陳氏著作采用了晚清李善蘭(1811—1882)、偉烈亞力(A. Wylie，1815—1887)共創(chuàng)的漢譯代數(shù)符號(hào)(正文中有示例)，為了便于討論，本文改用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表述。

1 陳平瑛生平考證

陳平瑛，字修常，號(hào)仲容，福建侯官(現(xiàn)屬福州市閩侯縣)人，清末民初數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)著作有《中西算學(xué)題鏡》(1901)8卷[注]光緒三十二年(1906)八月十二日，陳氏曾將《中西算學(xué)題鏡》贈(zèng)送給時(shí)任廣州府中學(xué)堂監(jiān)督的丘逢甲。[5][6]、《直乘法》(1916)[注]按陳平瑛序言記載，此書(shū)為他《算學(xué)觀海》5種的第一種?！端銓W(xué)觀海》1914在年德國(guó)柏林圖書(shū)賽會(huì)、1915年在巴拿馬圖書(shū)賽會(huì)展出。另，1914年《廣東教育公報(bào)》第5期報(bào)道了陳平瑛請(qǐng)德國(guó)駐廣州領(lǐng)事代為轉(zhuǎn)寄參會(huì)的新聞。[7][8]。關(guān)于陳氏的生平，以往的研究[2，4]只有一些簡(jiǎn)短的介紹，現(xiàn)基于部分新發(fā)現(xiàn)的史料做一些訂正和補(bǔ)充。

首先是陳平瑛的生年。陳氏在其《直乘法》的序中稱：“中華民國(guó)二年十一月閩侯陳平瑛仲容自序于廣州，時(shí)年三十有五?！盵8]又，盧朋著在光緒壬寅(1902)四月為《中西算學(xué)題鏡》作序稱贊陳氏“今年才二十四，大集彬彬，又成不朽盛業(yè)”。([6]，盧朋著序) 盧朋著(1876—1839)，名雄飛，廣東新會(huì)(現(xiàn)江門(mén)市新會(huì)區(qū))人，近代著名的中醫(yī)教育理論家。早年好算學(xué)，著有《算學(xué)心得初集》、《算學(xué)講義》。[9]盧氏與陳氏為世交，年少時(shí)“同習(xí)算”，“比長(zhǎng)嘗共事學(xué)堂”，二人給對(duì)方著作寫(xiě)序時(shí)互以“同譜兄弟”相稱。[10]“中華民國(guó)二年”(1913)35歲，“光緒壬寅”24歲，兩條史料相互印證，可以推定陳氏生于1879年。[注]我們?cè)J(rèn)為陳氏生于1881年[4]，所據(jù)為網(wǎng)絡(luò)資料，在此依據(jù)新發(fā)現(xiàn)的史料予以訂正。

其次補(bǔ)充陳氏的一些生平信息。盧朋著曾介紹說(shuō)：

仲容之家學(xué)淵源盛矣。遵甫謹(jǐn)庵先生斐然有作，既著《算珠》，近復(fù)成《天學(xué)題鏡》，啟誘來(lái)茲。令昆伯達(dá)、令弟懷祖俱深于形代。仲容幼即嗜算，七八歲時(shí)便日以白堊涂塾壁作幾何圖，長(zhǎng)更博涉英文，孶孶不倦。([6]，盧朋著序)

盧氏還稱陳氏“一門(mén)之內(nèi)，父子兄弟孜孜為學(xué)，而于幾何天算之藝治之尤專。”([11]，盧朋著序) 可見(jiàn)，陳家可謂數(shù)學(xué)世家。陳平瑛本人自幼喜好數(shù)學(xué)，有數(shù)學(xué)著作出版；其兄陳修齡，號(hào)伯達(dá)，有《公式演算》5卷(1905)[11]傳世；其父有數(shù)學(xué)著作《算珠》、《天學(xué)題鏡》；其弟懷祖對(duì)幾何和代數(shù)有研究。

根據(jù)《福建鄉(xiāng)試錄(光緒丁酉科)》記載，陳平瑛參加福建省丁酉(1897)科鄉(xiāng)試，中式第75名。[12]他第三場(chǎng)的天文算學(xué)策問(wèn)優(yōu)異，為世人稱道。他的學(xué)生馬麟書(shū)說(shuō)他“生而穎悟，幼通算理，年未弱冠，以算學(xué)名天下，其丁酉科闈中所對(duì)天算策問(wèn)，傳誦于時(shí)?！?[6]，馬麟書(shū)后敘) 盧朋著也稱“仲容丁酉舉于鄉(xiāng)，已以天算作驚人一鳴?！?[6]，盧朋著序) 又，陳平瑛后來(lái)給黃啟明(字佩星)的《微積通詮》一書(shū)作序稱：“歲甲辰，余課算于廣州府中學(xué)堂，花縣黃君佩星惠然造訪，談?wù)摂?shù)理，彼此甚歡?！盵13]在其自著的《直乘法》“又序”中稱：“民國(guó)三年四月任職數(shù)學(xué)教員于廣東高等師范學(xué)堂?！盵8]從這兩條史料可知，陳氏曾前后在廣州府中學(xué)堂和廣東高等師范學(xué)堂任數(shù)學(xué)教師。陳氏懂英語(yǔ)，《中西算學(xué)題鏡》卷8“幾何”就是其譯作。

《中西算學(xué)題鏡》(以下簡(jiǎn)稱《題鏡》)是陳平瑛的代表作，兼及“發(fā)明古義”和“獨(dú)創(chuàng)新術(shù)”([6]，盧朋著序)。陳氏對(duì)傳入的微積分、代數(shù)學(xué)都有很深刻的認(rèn)識(shí)，如他對(duì)《代數(shù)術(shù)》中卡爾達(dá)諾公式的理解和把握是同時(shí)代中算家中的佼佼者。[3]他的“積較開(kāi)方新術(shù)”是他對(duì)垛積術(shù)(卷3“論垛積之理”)和開(kāi)方術(shù)(卷4“論開(kāi)方之理”)綜合研究的成果。

2 陳氏垛積公用表與朱世杰招差術(shù)的推廣

2.1 朱世杰招差術(shù)的推廣：“一切垛積之題皆以此法通之”

由于符號(hào)代數(shù)學(xué)和微積分學(xué)的傳入及其影響，特別是符號(hào)代數(shù)在數(shù)學(xué)表示上的優(yōu)越性，晚清數(shù)學(xué)家對(duì)垛積術(shù)、招差術(shù)的一般性的認(rèn)識(shí)越發(fā)清晰。

圖1 p乘三角垛 (賈憲三角形)

(1)

式(1)是垛積術(shù)的基礎(chǔ)。([1]，345頁(yè))

同時(shí)，晚清數(shù)學(xué)家逐漸認(rèn)識(shí)到朱世杰招差術(shù)的一般性，即這個(gè)方法給出了解決一類垛積求和問(wèn)題的算法：先將給定的垛積分解為若干“乘數(shù)遞次增一，項(xiàng)數(shù)遞次減一”的p乘三角垛(p=3，2，1，0)，然后再依據(jù)式(1)求和。根據(jù)其分解規(guī)律，各階差分即為分解出的各p乘三角垛的個(gè)數(shù)，即“所招各差”，其中“初差(上差)”為垛積首項(xiàng)。[14]

陳平瑛《題鏡》卷3“專論垛積之理”，所用垛積名稱承續(xù)李善蘭的《垛積比類》。他明確指出，朱世杰招差術(shù)可以推廣到解“一切垛積之題”，而不僅僅局限于解“乘方垛招兵”一類的題。他說(shuō)：

原術(shù)(指朱世杰招差術(shù))專為解“乘方垛”、“招兵”一類題而設(shè)。今因《四元玉鑒》中“嵐峰落一”門(mén)類頗多，學(xué)者每苦難于記憶，因?yàn)橥茝V原術(shù)，一切垛積之題皆以此法通之。執(zhí)簡(jiǎn)馭繁，無(wú)待探索，亦習(xí)是術(shù)者之一快事也。([6]，卷3: 2b頁(yè))

他的做法就是，先一律將所求垛積分解為若干p乘三角垛(即便是按p乘三角垛規(guī)律給出的垛積也如此)，再基于式(1)求和。以《題鏡》卷3第4題為例，原題為：

今有茭草八千五百六十八束，欲令撒星更落一形垛之，問(wèn)底子幾何？([6]，卷3: 9b頁(yè))

圖2 朱世杰招差術(shù)求諸差(r從1開(kāi)始)

(2)

兩邊對(duì)r求和，由式(1)有

(3)

要求出“高”(n)，一般方法是，先得到關(guān)于n的開(kāi)方式，最后運(yùn)用開(kāi)方術(shù)解出n。根據(jù)已知條件有

(4)

(5)

展開(kāi)、合并，可得開(kāi)方式:

n5+10n4+35n3+50n2+24n=120×8568

(6)

開(kāi)五次方得n=14。原題得解。

陳平瑛何以看出招差術(shù)的一般性呢？他在《題鏡》卷3第1題“注文”指出他思想的來(lái)源：“解題之理，則從嘉善陳氏‘垛積’、‘招差術(shù)’推出?！?[6]，卷3: 2b頁(yè)) 這里的“嘉善陳氏”指的是陳維祺，生卒年不詳，曾從數(shù)學(xué)家劉彝程(約1840—？)學(xué)習(xí)算學(xué)?！吨形魉銓W(xué)大成》是陳維祺主持編纂的一部大型算學(xué)類書(shū)，較為全面地系統(tǒng)匯集了當(dāng)時(shí)中西數(shù)學(xué)主要內(nèi)容，共100卷，由劉彝程“鑒定”，1889年由上海同文書(shū)局石印刊行。

陳平瑛提到的“垛積”、“招差術(shù)”分別指的是《中西算學(xué)大成》卷43“天元術(shù)四”的兩節(jié)內(nèi)容：“朱氏垛積”和“垛積招差術(shù)解”。前者摘錄《四元玉鑒》中的垛積術(shù)和招差術(shù)，共11題。后者是對(duì)招差術(shù)的解釋。陳維祺解釋道：“松庭朱氏《四元玉鑒》中‘如像招數(shù)’五問(wèn)為垛積最精奧之理?！瓏L深思而得其理，不外求諸方積各層之較數(shù)，亦不外三角平立各垛之各層。洞悉其原，勢(shì)如破竹?！盵15]為說(shuō)明“洞悉其源”，陳維祺運(yùn)用晚清的代數(shù)符號(hào)，給出了一個(gè)“三乘方招兵”(即按自然數(shù)4次方規(guī)律招兵)的例題，仿照招差術(shù)思路進(jìn)行解答并給出了算法分析。該題雖依然局限于招兵，但通項(xiàng)次數(shù)比朱氏“立方招兵”高了一次，從三次升到四次，朱氏招差術(shù)的一般性已昭然若揭了。顯然，陳平瑛在陳維祺的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，將招差術(shù)大膽地推廣到解“一切垛積之題”。

需要指出的是，陳平瑛以為“垛積招差術(shù)解”是陳維祺所作，并不確切。數(shù)學(xué)家周達(dá)(1879—1949)曾記載說(shuō)“聞之沈君立民云”，這個(gè)術(shù)解“本于興化劉省庵先生”。[16]沈立民(生卒年不詳)，即沈善蒸，浙江桐鄉(xiāng)人，也曾從劉彝程(字省庵)學(xué)習(xí)算學(xué)，后在上海廣方言館任副教習(xí)，為劉彝程的助手。[17]劉氏對(duì)垛積術(shù)很有研究，成果頗豐，沈善蒸、陳維祺都是劉彝程的學(xué)生，周達(dá)的記載應(yīng)該可信。這樣，可以畫(huà)出朱世杰招差術(shù)被明確推廣的研究路徑：劉彝程→陳維祺→陳平瑛。

2.2 垛積公用表：多項(xiàng)式差分形式到冪和形式的過(guò)渡矩陣

從式(4)到式(6)的運(yùn)算過(guò)程中，涉及多項(xiàng)式乘法、通分、同類項(xiàng)合并等運(yùn)算，這在籌算和晚清漢譯數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)中，演算均有諸多不便。陳平瑛說(shuō)：“各項(xiàng)連乘后復(fù)相加減，其法必甚繁重，而幾至不能用?！?[6]，卷3: 4a頁(yè))

表1 垛積公用表(n從1起算)

圖3 差分形式變形為冪和形式的表格算法

這個(gè)“橫乘豎加”的過(guò)程用現(xiàn)今的矩陣乘法可以表示如下：

=24n+50n2+35n3+10n4+n5

(6′)

綜上可知：第一，陳氏明確地把朱世杰招差術(shù)推廣到任意的高階等差數(shù)列求和，相當(dāng)于求出多項(xiàng)式的差分形式(與牛頓向前插值公式相當(dāng))，最后基于(1)式求和。第二，構(gòu)造了“垛積公用表”，基于此表進(jìn)行“橫乘豎加”，可以很快地將多項(xiàng)式的(弱)差分形式化為冪和形式。陳氏對(duì)此表頗為自得，認(rèn)為它“以之推一切垛積之題，無(wú)不可通，誠(chéng)可為垛積公用之表。”([6]，卷3: 5b頁(yè))

3 陳氏積較表以及“簡(jiǎn)商之法”

垛積“有積求高”題，若要用開(kāi)方術(shù)求解，則最后的開(kāi)方式須是從上到下降冪排列的冪和形式。這樣做之前需通過(guò)多項(xiàng)式變形或者利用“垛積公用表”把差分形式的式(5)變形為式(6)。華蘅芳曾創(chuàng)造了積較術(shù)從另外一個(gè)角度解決這個(gè)問(wèn)題。該術(shù)先給出一種求多項(xiàng)式在零點(diǎn)的差分表達(dá)式的方法，這個(gè)表達(dá)式相當(dāng)于多項(xiàng)式的牛頓向后插值公式，其系數(shù)被稱為“零邊積較”；由“零邊積較”可得到多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)方程的差分表，即所謂的“積較表”；該表具有減根變換的作用，華氏最終運(yùn)用它求解方程的整數(shù)根。[18]華氏積較術(shù)是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的招差術(shù)和開(kāi)方術(shù)在晚清的發(fā)展，很有影響，學(xué)界對(duì)此的研究頗多。[18- 22]陳平瑛洞悉華氏積較術(shù)用以“開(kāi)方”的本意，但他認(rèn)為華氏原法“太覺(jué)繁重，因變通其例，別演新術(shù)”，在《題鏡》卷4也給出了一種通過(guò)方程的零邊積較和積較表來(lái)解方程的算法，陳氏稱其為“積較開(kāi)方新術(shù)”。([6]，卷4: 16b頁(yè)) 陳氏所用術(shù)語(yǔ)仿照華氏，不過(guò)數(shù)學(xué)意義有所不同。

3.1 陳平瑛的“零邊積較”和“積較表”：“加減”求根

表2 陳氏積較表(n從0起算，原表略)

因?yàn)槎囗?xiàng)式是系列np的線性組合，運(yùn)用積較表可以較快地得到多項(xiàng)式的零邊積較，進(jìn)而“依次加減”得到整個(gè)差分表。以陳氏解開(kāi)方式(7)為例進(jìn)行說(shuō)明。

n3-8n2-13n+140=0

(7)

取表2的前4行，按圖4所示程序進(jìn)行“橫乘豎加”，可以得到式(7)的零邊積較(140，-20，-10，6)，對(duì)應(yīng)的方程陳氏稱為“積較式”，即式(8)。

圖4 多項(xiàng)式方程化成零邊方程的表格算法

(8)

既得到零邊積較，便可以遞推出(8)“增率為一”(n=0，1，2，…)的整個(gè)差分表(積較表)，部分如表3。

表3 積較式的積較表

由表3可以看出n=5和n=7是開(kāi)方式(7)的兩個(gè)根。

同樣地，圖4“橫乘豎加”的過(guò)程若用矩陣乘法可表示如下：

方程(7)的零邊積較還可以直接通過(guò)朱世杰招差術(shù)得到，程序參考圖2。零邊積較無(wú)論是直接得到還是通過(guò)積較表獲得，目的是通過(guò)“加減”求得整個(gè)差分表(積較表)，因?yàn)椴罘直砭哂袦p根變換的性質(zhì)，這樣就能得到方程的根。

陳氏零邊積較與華氏零邊積較沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別。前者可以看成多項(xiàng)式的牛頓向前插值公式的系數(shù)，后者相當(dāng)于是向后插值公式的系數(shù)；在求各階差分的具體操作時(shí)，前者將差寫(xiě)在減項(xiàng)之下，后者將差寫(xiě)在被減項(xiàng)之下。方程的根是根據(jù)零邊積較“加減”而成的“積較表”得到，而不再是通過(guò)傳統(tǒng)的(正負(fù))開(kāi)方術(shù)。

3.2 求零邊積較的“簡(jiǎn)商之法”：基于多項(xiàng)式的嵌套形式

陳氏認(rèn)識(shí)到，求方程的零邊積較是一個(gè)關(guān)鍵步驟。他設(shè)計(jì)了一個(gè)程序，“不用積較表以求積較”，稱之為“簡(jiǎn)商之法”。下面以他求方程(9)的零邊積較為例進(jìn)行說(shuō)明。

n4+2n3-41n2-42n+360=0

(9)

方程按降冪排列后，前4項(xiàng)以(n-1)除，所得商的前3項(xiàng)以(n-2)除，所得商的前2項(xiàng)以(n-3)除，由此得到余數(shù)列{1，8，-28，-80，360}，分別依次乘以4!、3!、2!、1!、1，得到數(shù)列{24，48，-56，-80，360}，即為零邊積較，對(duì)應(yīng)的零邊方程(積較式)為

(10)

“簡(jiǎn)商之法”的程序如圖5所示。其運(yùn)算的代數(shù)意義如下：

圖5 求零邊積較的“簡(jiǎn)商之法”

這個(gè)例子具有一般性。設(shè)多項(xiàng)式為p次，降冪排列，前p項(xiàng)用(n-1)除，所得商的前(p-1)項(xiàng)用(n-2)除，……，所得商的前(p-k)項(xiàng)用(n-k-1)除，……，所得商前2項(xiàng)用(n-p-1)除。各次除法后的余數(shù)列依次乘以p!、(p-1)!、…、1!、1，所得數(shù)列即為零邊積較。

陳氏“簡(jiǎn)商之法”相當(dāng)于先運(yùn)用綜合除法將多項(xiàng)式冪和形式逐步變形為嵌套形式，然后變形為差分形式，最終得到零邊積較。相較于積較表的表格算法(圖4)，“簡(jiǎn)商之法”更簡(jiǎn)捷，程序性更強(qiáng)，可操作性也很強(qiáng)。這是陳氏的一個(gè)創(chuàng)見(jiàn)。

4 積較還原表和“徑求開(kāi)方之法”

4.1 積較還原表：從差分形式到冪和形式

表4 陳氏積較還原表(n從0起算，原表略)

4.2 “徑求方之法”：嵌套形式的展開(kāi)

陳氏認(rèn)為利用還原表求開(kāi)方式還是比較麻煩，他設(shè)計(jì)了一個(gè)“徑求開(kāi)方之法”，更具有程序性。以前文的零邊方程(10)為例進(jìn)行說(shuō)明，相應(yīng)程序如圖6所示。

圖6 “徑求開(kāi)方之法”

陳氏先將零邊積較24、48、-56、-80、360分別除以4!、3!、2!、1!、1，得到數(shù)列{1，8，-28，-80，360}，然后進(jìn)行3次乘加運(yùn)算：

第一次乘加：1乘以-3與8相加得5，5乘以-2與-28相加得-38，-38乘以-1與-80相加得-42，停止；

第二次乘加：1乘以-2與5相加得3，3乘以-1與-38相加得-41，停止；

第三次乘加：1乘以-1與3相加得2，結(jié)束。

最后得到數(shù)列{1，2，-41，-42，360}，即為開(kāi)方式n4+2n3-41n2-42n+360=0各項(xiàng)的系數(shù)。

陳氏指出“徑求開(kāi)方之法”為“前法(簡(jiǎn)商之法)之還原”，實(shí)際上就是“簡(jiǎn)商之法”的逆操作，相當(dāng)于將差分表達(dá)式按次數(shù)展開(kāi)逐次合并同類項(xiàng)，最后得到冪和形式(開(kāi)方式)，程序性強(qiáng)，省去了表格算法之繁。這也是陳氏的一個(gè)創(chuàng)新。

5 結(jié) 語(yǔ)

一般而言，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的垛積問(wèn)題有兩類：第一類，已知通項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)(n)，求和，即所謂的“有高求積”。第二類，已知通項(xiàng)與和，求項(xiàng)數(shù)(n)，即所謂的“有積求高”。晚清垛積類的問(wèn)題大多數(shù)是以第二類情形出現(xiàn)。中算家基本上都認(rèn)識(shí)到賈憲三角形斜行(p乘三角垛，圖1)的重要性質(zhì)——式(1)，這是垛積術(shù)的基礎(chǔ)。

第一類問(wèn)題，是基于式(1)求和的，而式(1)左右兩邊多項(xiàng)式都是以差分形式表現(xiàn)出來(lái)的，所以這類問(wèn)題需將通項(xiàng)化成差分形式才能求和，這是招差術(shù)的數(shù)理基礎(chǔ)。第二類問(wèn)題是第一類問(wèn)題的逆問(wèn)題，需要先按第一類問(wèn)題求和，這時(shí)的和依然是差分形式，一般需要將這個(gè)差分形式轉(zhuǎn)化為冪和形式(開(kāi)方式)，最后運(yùn)用開(kāi)方術(shù)求解出“高”(n)。所以解決這類問(wèn)題，要綜合運(yùn)用到垛積術(shù)、招差術(shù)、天元術(shù)、(積較)開(kāi)方術(shù)，到晚清還需加上代數(shù)術(shù)。這也是陳平瑛“積較開(kāi)方新術(shù)”雖然是開(kāi)方方法，卻要從垛積術(shù)談起的原因。

陳平瑛從陳維祺的解讀中將朱世杰招差術(shù)進(jìn)行了推廣。同時(shí)，他還深刻認(rèn)識(shí)到了華蘅芳“零邊積較”的來(lái)由和目的，故能用推廣的朱世杰招差術(shù)來(lái)構(gòu)造自己的“零邊積較”，也給出了多項(xiàng)式冪和形式化成差分形式(積較式)的方法。

在陳平瑛(和華蘅芳)積較術(shù)中，“高”(n)不通過(guò)正負(fù)開(kāi)方術(shù)得到，而是通過(guò)方程的差分表的減根變換的特性得到，理論上只要得到方程的差分表即可，但在實(shí)際操作時(shí)，方程根為多位數(shù)時(shí)，為節(jié)省計(jì)算，往往將方程按整十、整百做減根變換后，再將變化后的方程化成冪和形式的還原方程以求低位的根。這樣也涉及多項(xiàng)式的兩種形式的互化。 兩種形式的互化從算法上講是互逆的，這也導(dǎo)致了積較表與還原表(垛積公用表)之間的互逆關(guān)系。

陳平瑛“積較開(kāi)方新術(shù)”是受到華蘅芳積較術(shù)啟發(fā)得到的，兩人的積較表和還原表數(shù)學(xué)意義一致，但陳氏有所變化和創(chuàng)新。第一，他設(shè)計(jì)的求零邊積較的“簡(jiǎn)商之法”，程序性很強(qiáng)，省去了查積較表、進(jìn)位退位之繁，簡(jiǎn)化了橫乘豎加計(jì)算。第二，他設(shè)計(jì)的“徑求開(kāi)方式”的方法也很快捷，省去查還原表之繁。這兩點(diǎn)可以看成多項(xiàng)式的差分形式與嵌套形式的互化算法和互逆程序。陳、華兩種積較術(shù)都是源于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中垛積問(wèn)題引出的開(kāi)方算法，目的是解方程。陳氏方法較之華氏的方法有更強(qiáng)的程序性。陳氏于垛積術(shù)和開(kāi)方術(shù)的研究成果之間的關(guān)系可以用圖7示意。盧朋著評(píng)價(jià)陳氏不僅能“發(fā)明古義”，還能“獨(dú)創(chuàng)新術(shù)”，的確如此，也確屬不易。

圖7 陳平瑛垛積術(shù)、開(kāi)方術(shù)研究成果關(guān)系圖

我們注意到，及至晚清，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)逐漸“西化”，但開(kāi)方術(shù)卻還有較強(qiáng)的生命力，屢有發(fā)展。例如，三次方程的求根公式(卡爾達(dá)諾公式)和四次方程求根方法通過(guò)《代數(shù)術(shù)》的翻譯而傳入了中國(guó)。運(yùn)用公式求解三次方程，遇到三個(gè)根均為實(shí)根的“不可約方程”時(shí)，虛數(shù)的三次開(kāi)方運(yùn)算就變得不可避免，這在西方數(shù)學(xué)傳統(tǒng)中也是比較詭異的情形，并且五次及其以上次數(shù)方程沒(méi)有一般的公式解。這時(shí)若用中國(guó)傳統(tǒng)的開(kāi)方術(shù)求解，反而“顯得順利”。因此晚清求解高次方程時(shí)，一般做法是，吸收了西方數(shù)學(xué)中方程的代數(shù)表示形式，中間的化簡(jiǎn)運(yùn)算也是代數(shù)的，最后的開(kāi)方卻還是要求助于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的開(kāi)方術(shù)(確切地說(shuō)，是基于天元術(shù)的開(kāi)方術(shù))，即所謂的“代數(shù)列式，天元開(kāi)方”。[3]因此，我們看到，傳入的微積分、符號(hào)代數(shù)等西方數(shù)學(xué)雖然具有“優(yōu)勢(shì)”，但傳統(tǒng)數(shù)學(xué)并沒(méi)有立即被取代，甚至還有所發(fā)展，出現(xiàn)一些有特色的成果，華蘅芳積較術(shù)屬此，陳平瑛的新術(shù)亦屬此。

當(dāng)然，陳平瑛這些有特色的成果，并不完全是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，他的表述方式、說(shuō)理與推導(dǎo)過(guò)程均采用了傳入的符號(hào)代數(shù)語(yǔ)言。這種語(yǔ)言很大程度上解決了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中“言之甚繁，推之甚難”的問(wèn)題，也有助于發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中算法的一般性和程序性，推動(dòng)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展。這其實(shí)也是“西化”的表征?？缥幕目茖W(xué)傳播有其復(fù)雜性，在傳播過(guò)程中，科學(xué)知識(shí)本身的“優(yōu)越性”并不起決定作用，傳播者和接受者雙方的特點(diǎn)決定了西方科學(xué)知識(shí)傳播的特點(diǎn)和內(nèi)容。([1]，371頁(yè)) 長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，陳平瑛的成果雖富有特色，但依然是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)被取代的過(guò)程中一個(gè)過(guò)渡性成果，折射出傳統(tǒng)數(shù)學(xué)近代化復(fù)雜的一面。

致 謝感謝中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所田淼研究員、鄒大海研究員和匿名審稿專家提出的寶貴意見(jiàn)。