劉兆偉

摘 要 基于學(xué)生立場，從情境創(chuàng)設(shè)、活動設(shè)計(jì)、文化滲透這三個(gè)方面，對人教版、蘇教版、北師大版和青島版教材中“三角形的面積”內(nèi)容進(jìn)行橫向比較分析，進(jìn)而提出教學(xué)建議：情境創(chuàng)設(shè)從單元整體出發(fā)、活動設(shè)計(jì)從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)、文化滲透從意義理解出發(fā)。

關(guān)鍵詞 學(xué)生立場 教材橫向比較 三角形的面積 情境創(chuàng)設(shè) 活動設(shè)計(jì) 文化滲透

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）指出：“數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源?！彪m然不同版本教材的設(shè)計(jì)理念、編排體系與邏輯結(jié)構(gòu)等不完全一樣，但它們都是依據(jù)《課標(biāo)》編成的，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，可通過對不同版本教材中的同一內(nèi)容進(jìn)行橫向比較分析，豐富對所教內(nèi)容的認(rèn)識和理解，從而設(shè)計(jì)出更有利于學(xué)生發(fā)展的學(xué)習(xí)活動。本文以“三角形的面積”一課為例，對人教版、蘇教版、北師大版和青島版教材進(jìn)行橫向比較分析，并在分析的基礎(chǔ)上提出教學(xué)建議。

一、教材分析

1.對情境創(chuàng)設(shè)的對比分析

《課標(biāo)》指出：“教材所選用的學(xué)習(xí)素材應(yīng)盡量與學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系，應(yīng)有利于加深學(xué)生對所要學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)理解?！比私贪?、北師大版和青島版教材都選用生活素材創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，以引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。人教版教材以紅領(lǐng)巾為學(xué)習(xí)素材，并直接提出問題：“怎樣算出紅領(lǐng)巾的面積呢？”北師大版教材以流動紅旗為學(xué)習(xí)素材，并直接提出問題：“如何求出這面彩旗的面積？”青島版教材中則以道路標(biāo)志牌為學(xué)習(xí)素材，并用“你能提出什么問題？”引導(dǎo)學(xué)生提出問題：“制作這個(gè)標(biāo)志牌需要多少平方分米的鋁皮？”

與上述三種版本教材不同的是，蘇教版教材選擇數(shù)學(xué)素材創(chuàng)設(shè)了純數(shù)學(xué)情境：將三種不同類型的三角形置于方格圖上的平行四邊形中，讓學(xué)生“想辦法算出下面涂色三角形的面積”（如圖1）。純數(shù)學(xué)情境注重的是數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生在這樣的情境中不僅能借助方格圖數(shù)出三角形的面積，而且能依據(jù)三角形與平行四邊形之間的聯(lián)系算出三角形的面積，為學(xué)生探尋三角形的面積公式作鋪墊。

2.對活動設(shè)計(jì)的對比分析

《課標(biāo)》指出：“教材應(yīng)設(shè)計(jì)必要的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應(yīng)用。”人教版、蘇教版和青島版教材中探究活動的設(shè)計(jì)思路大致相同，都將三角形分成三類分別進(jìn)行研究，最后歸納得到三角形的面積公式，這體現(xiàn)了分類和歸納的思想，但它們的側(cè)重點(diǎn)不一樣。

人教版教材設(shè)計(jì)的探究活動分三步進(jìn)行。在提出探究問題后，啟發(fā)學(xué)生“能不能將三角形也轉(zhuǎn)化成學(xué)過的……”接著，引導(dǎo)學(xué)生用兩個(gè)完全一樣的三角形去拼平行四邊形，并得出結(jié)論“用兩個(gè)同樣的三角形可以拼出一個(gè)……”最后，依據(jù)轉(zhuǎn)化的過程推導(dǎo)出三角形的面積公式。蘇教版教材設(shè)計(jì)的探究活動側(cè)重下引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)三角形的面積公式。在學(xué)生完成用兩個(gè)完全一樣的三角形拼平行四邊形的活動后，組織學(xué)生討論：（1）拼成平行四邊形的兩個(gè)三角形有什么關(guān)系？（2）拼成的平行四邊形的底和高與三角形的底和高有什么關(guān)系？每個(gè)三角形的面積與拼成的平行四邊形的面積呢？（3）根據(jù)平行四邊形的面積公式，怎樣求三角形的面積？通過這三個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)出三角形的面積公式。青島版教材中設(shè)計(jì)的探究活動側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)和思考，花了大量的篇幅用數(shù)學(xué)的方法分別演示將銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形加倍轉(zhuǎn)化成平行四邊形的過程，并詳細(xì)地描述了由平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出三角形的面積公式的推理過程。

與上述三種版本教材不同的是，北師大版教材在提出探究問題后，直接將情境中的三角形抽象為一般三角形，并通過加倍法將這個(gè)三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和長方形，再依據(jù)平行四邊形和長方形的面積公式推導(dǎo)出三角形的面積公式（如圖2）。

四種版本教材中，北師大版教材設(shè)計(jì)的探究活動最為開放，最具有挑戰(zhàn)性，學(xué)生學(xué)習(xí)起來思維難度也較大，其他三種版本教材設(shè)計(jì)的探究活動則比較細(xì)膩，給學(xué)生提供了具體的方法引領(lǐng)。另外，人教版、蘇教版和青島版教材都將三角形加倍轉(zhuǎn)化成平行四邊形，而北師大版教材除了將三角形加倍轉(zhuǎn)化成平行四邊形外，還將三角形加倍轉(zhuǎn)化成長方形。

3.對文化滲透的對比分析

《課標(biāo)》指出：“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中?！彼姆N版教材中，人教版和蘇教版教材都注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，而北師大版和青島版教材對數(shù)學(xué)文化都未涉及。人教版教材在“你知道嗎”欄目中，向?qū)W生介紹了《九章算術(shù)》中的長方形和三角形的面積計(jì)算方法（如圖3）。蘇教版教材中，不僅向?qū)W生介紹《九章算術(shù)》中的三角形的面積計(jì)算方法，而且配以劉徽所著《九章注解》中“以盈補(bǔ)虛”的圖形，幫助學(xué)生理解“半廣以乘正從”的意思（如圖4）。

二、教學(xué)建議

1.情境創(chuàng)設(shè)從單元整體出發(fā)

數(shù)學(xué)知識具有整體性和結(jié)構(gòu)性，每個(gè)知識點(diǎn)都處于一個(gè)相對穩(wěn)定的系統(tǒng)之中。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不僅要掌握數(shù)學(xué)知識，而且要形成相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。四種版本教材中“三角形的面積”的學(xué)習(xí)內(nèi)容編排相似，這樣的安排雖然也能幫助學(xué)生形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，但如果從單元整體教學(xué)出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，將更有利于學(xué)生從整體上把握本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，形成整體認(rèn)知。

比如，在教學(xué)本單元的起始課時(shí)可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境：出示校園中一些區(qū)域的平面圖，其中有長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形（甚至有組合圖形），讓學(xué)生分別求某些區(qū)域的面積。學(xué)生依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)自然會用公式求得長方形、正方形的面積。在求得這兩個(gè)圖形的面積后，教師順勢引導(dǎo)學(xué)生回顧得到這兩個(gè)面積公式的過程。隨后，再讓學(xué)生逐一思考怎樣求平行四邊形、三角形和梯形的面積，進(jìn)行分課時(shí)教學(xué)。在分課時(shí)教學(xué)時(shí)，將此情境貫穿始終，后一課時(shí)在前一課時(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行。這樣就將“三角形的面積”置于“多邊形的面積”這個(gè)整體中，學(xué)生在學(xué)習(xí)“三角形的面積”時(shí)，既承接前面學(xué)習(xí)中獲得的知識經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)，又為后續(xù)學(xué)習(xí)梯形的面積積累新的經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)的過程中逐步形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.活動設(shè)計(jì)從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)

學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是經(jīng)驗(yàn)不斷積累的過程，新知的學(xué)習(xí)應(yīng)建立在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，這樣才能被學(xué)生深刻理解和掌握，并能在學(xué)習(xí)過程中催生新的經(jīng)驗(yàn)。因此，數(shù)學(xué)活動的設(shè)計(jì)應(yīng)從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)。

在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生在多邊形的面積計(jì)算方面已經(jīng)具有的經(jīng)驗(yàn)是：通過鋪面積單位得到長方形和正方形的面積公式，以及將平行四邊形等積轉(zhuǎn)化成長方形得到平行四邊形的面積公式。這些經(jīng)驗(yàn)理應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)本課的基礎(chǔ)，但四種版本教材中，并沒有考慮學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)。蘇教版教材中的例4直接暗示學(xué)生，兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，而沒有給學(xué)生提供調(diào)用已有經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會。其他三種版本教材雖然都提出了類似于“能把三角形轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形嗎？”這樣的問題以激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，但學(xué)生依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，能夠想到的是將三角形等積轉(zhuǎn)化成長方形或平行四邊形，而教材隨后設(shè)計(jì)的探究活動中卻是讓學(xué)生將三角形加倍轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長方形，與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)脫鉤。

等積轉(zhuǎn)化雖然是學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，但用其來探尋三角形的面積公式思維難度較大，加上受課堂時(shí)間所限，所以四種版本教材都選擇了直接讓學(xué)生用加倍轉(zhuǎn)化這一相對簡單的方法探尋三角形的面積公式。其實(shí)，如果從關(guān)照學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展學(xué)生的思維能力，以及積累活動經(jīng)驗(yàn)的角度來看，完全可以讓學(xué)生依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，自主探索三角形的面積公式。先讓學(xué)生求一個(gè)方格圖中的直角三角形的面積，學(xué)生除了能夠數(shù)出這個(gè)三角形的面積外，還會想到三種方法將這個(gè)三角形等積轉(zhuǎn)化成長方形，并算出面積（如圖5）。接著，學(xué)生可以利用前面活動中獲得的經(jīng)驗(yàn)，將一般直角三角形等積轉(zhuǎn)化成長方形，并得到直角三角形的面積計(jì)算方法，再依據(jù)直角三角形的面積計(jì)算方法類推銳角三角形和鈍角三角形的面積計(jì)算方法。根據(jù)“所有銳角三角形和鈍角三角形都可以沿高分成兩個(gè)直角三角形”，運(yùn)用直角三角形的轉(zhuǎn)化方法將銳角三角形和鈍角三角形等積轉(zhuǎn)化成長方形，從而確定它們的面積計(jì)算方法。最后通過完全歸納得到三角形的面積公式（如圖6）。這樣從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)設(shè)計(jì)的探究活動，相比四種版本教材中設(shè)計(jì)的探究活動需要更多的時(shí)間，但相對于學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)與收獲來說是值得的。

3.文化滲透從意義理解出發(fā)

數(shù)學(xué)文化凝聚了古人的智慧與創(chuàng)造，在數(shù)學(xué)課中滲透數(shù)學(xué)文化能夠提升學(xué)生的素養(yǎng)，增長學(xué)生的智慧。雖然人教版和蘇教版教材都注重滲透數(shù)學(xué)文化，但它們所采用的方式是附加式，即在課的最后通過“你知道嗎”欄目向?qū)W生介紹《九章算術(shù)》中三角形的面積計(jì)算方法。但《九章算術(shù)》中三角形的面積計(jì)算方法是依據(jù)等積轉(zhuǎn)化得到的，與教材中的加倍轉(zhuǎn)化不一樣，學(xué)生對其只是了解，感悟是不深刻的，所以他們很難從中感受到古人發(fā)現(xiàn)的偉大，更談不上汲取智慧。

如果引導(dǎo)學(xué)生將探究三角形的面積公式的過程與古人發(fā)現(xiàn)三角形面積計(jì)算方法的過程結(jié)合起來，在經(jīng)歷了上述探究過程后，再出示“你知道嗎”中的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生不僅能夠理解《九章算術(shù)》中記載的三角形面積計(jì)算方法，而且能體會“以盈補(bǔ)虛”的價(jià)值，并將其用于梯形面積公式的探究過程中。學(xué)生不僅從中獲得數(shù)學(xué)知識，而且能夠感悟到古人的智慧與創(chuàng)造，獲得智慧的生長。

從學(xué)生立場出發(fā)，對多種版本教材中的同一內(nèi)容進(jìn)行橫向比較，能夠讓我們突破自身的經(jīng)驗(yàn)及思維定勢，發(fā)現(xiàn)更多的教學(xué)可能，從而為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供更好的教學(xué)設(shè)計(jì)。

[責(zé)任編輯：陳國慶]