陳淑婕 李欣業(yè) 張華彪 張利娟

摘要 根據(jù)麥克斯韋電場(chǎng)理論得到的電磁力模型并結(jié)合PD控制理論，在差動(dòng)激磁方式下建立了二自由度電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。基于多尺度法對(duì)泰勒展開后的方程進(jìn)行攝動(dòng)分析，求得了關(guān)于系統(tǒng)振幅和相位的平均方程。利用同倫延拓法對(duì)平均方程進(jìn)行求解，得到了系統(tǒng)的幅頻特性曲線，發(fā)現(xiàn)幅頻特性曲線表現(xiàn)出明顯的滯后現(xiàn)象，在升速和降速通過共振區(qū)域時(shí)都會(huì)發(fā)生跳躍，利用數(shù)值仿真對(duì)解析計(jì)算的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。分析了電流及控制參數(shù)對(duì)幅頻特性曲線的影響，研究表明共振區(qū)域的最大振幅及其對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速隨著電流的增大而增大，隨比例系數(shù)的增大而減小。

關(guān) 鍵 詞 電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng);非線性動(dòng)力學(xué);PD控制;多尺度法;數(shù)值仿真

中圖分類號(hào) O322? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

Abstract According to the electromagnetic force model obtained by Maxwell's electric field theory and PD control theory， the dynamic equation of the two-degree-of-freedom electromagnetic bearing rotor system is established under differential excitation mode. The perturbation analysis of Taylor's expanded equations is based on the method of multiple scales， and the average equations for the amplitude and phase of the system are obtained. Using the homotopy continuation method to solve the average equation， the amplitude-frequency characteristic curve of the system is given. It is found that the amplitude-frequency characteristic curve shows obvious hysteresis， and jumps occur when the speed is increased and the speed is reduced. The simulation verified the correctness of the analytical calculation. The influence of current and control parameters on the amplitude-frequency characteristic curve is analyzed. The results show that the maximum amplitude of the resonant region and its corresponding rotational speed increase with the increase of current， and decrease with the increase of the proportional coefficient.

Key words active magnetic bearing rotor system; nonlinear dynamics; PD control; the method of multiple scales; numerical simulation

0 引言

電磁軸承（Active Magnetic Bearing，AMB）具有無接觸、無潤(rùn)滑、允許轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)、功耗低、維護(hù)成本低且壽命長(zhǎng)[1-2]等優(yōu)點(diǎn)，從而得到了越來越廣泛的應(yīng)用。但是由于電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有的非線性，使其表現(xiàn)出非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。所以電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)及其控制問題一直備受研究者的關(guān)注。

Schweitzer 等[1]系統(tǒng)地介紹了主動(dòng)磁軸承的基本原理、總體結(jié)構(gòu)以及各組成部分的設(shè)計(jì)方法，為后面的研究奠定了理論基礎(chǔ);魏金強(qiáng)[3]以五自由度磁懸浮軸承為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的主要電磁參數(shù)，并對(duì)傳統(tǒng)算法和模糊PID控制進(jìn)行了研究，最終實(shí)現(xiàn)了模糊PID控制算法，滿足了系統(tǒng)的控制要求，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的精確控制;Ji等[4]研究了主動(dòng)磁電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性響應(yīng)問題，利用多尺度方法對(duì)其進(jìn)行了攝動(dòng)分析，結(jié)果表明，穩(wěn)態(tài)解通過鞍結(jié)點(diǎn)分岔或Hopf分岔失去穩(wěn)定性。李澤輝等[5]以自行設(shè)計(jì)的磁懸浮儲(chǔ)能飛輪測(cè)試樣機(jī)以徑向磁懸浮軸承為例，應(yīng)用ANSYS有限元分析軟件對(duì)徑向磁懸浮軸承磁路進(jìn)行仿真與計(jì)算;安華貞等[6]研究了電磁軸承的非線性振動(dòng)，利用牛頓定律對(duì)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模，由于非線性項(xiàng)的影響，系統(tǒng)出現(xiàn)了正規(guī)、橢圓、準(zhǔn)周期等運(yùn)動(dòng)類型;文獻(xiàn)[7]基于四極對(duì)模型和PID控制研究了徑向電磁軸承的可控性問題;王媛[8]研究了電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，建立了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程并進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果得到了轉(zhuǎn)子中心軌跡圖、相應(yīng)的時(shí)間歷程圖、分岔圖及Poincaré映射圖。展示了電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期解、準(zhǔn)周期解等非線性動(dòng)力學(xué)行為;虞烈等[1]系統(tǒng)介紹了軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的基本理論及其在工程中的應(yīng)用，內(nèi)容涉及了單跨單質(zhì)量轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)、多跨多質(zhì)量轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)、多平行軸系統(tǒng)和電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等;劉熙娟[9]針對(duì)一類電磁軸承-剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，研究了它在某些參數(shù)區(qū)域中出現(xiàn)的Hopf分岔、全局分岔等動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在局部處的動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行了定性、定量的研究。通過中心流形定理，對(duì)四維高階系統(tǒng)進(jìn)行降維操作得到了二維降階系統(tǒng)。利用范式理論對(duì)該降維系統(tǒng)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)該軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在局部處發(fā)生了超臨界Hopf分岔。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬得到分岔圖，驗(yàn)證了理論分析的正確性。張海燕[10]研究了電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)，發(fā)現(xiàn)了電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在某些參數(shù)區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)全局分叉和混沌運(yùn)動(dòng)情況。季進(jìn)臣等[11]對(duì)高速不平衡剛性轉(zhuǎn)子在應(yīng)急情況下跌落在保持軸承內(nèi)的非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究，數(shù)值分析了轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)響應(yīng)，給出了跌落過程中轉(zhuǎn)子在保持軸承中的軌跡、滑動(dòng)渦動(dòng)階段的速度和功率損耗。

本文利用非線性動(dòng)力學(xué)理論對(duì)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了分析，運(yùn)用PD控制理論對(duì)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動(dòng)進(jìn)行控制研究，并利用多尺度法對(duì)無量綱化后的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行求解，得到平均方程，再利用同倫延拓法對(duì)平均方程進(jìn)行穩(wěn)定性分析，最終得到解的幅頻特性曲線。將利用MATLAB對(duì)無量綱化后的運(yùn)動(dòng)微分方程求解得到的幅頻特性曲線與利用多尺度法及同倫延拓法求解得到的幅頻特性曲線作對(duì)比，發(fā)現(xiàn)數(shù)值仿真的結(jié)果與理論分析的結(jié)果相吻合，證明了理論推導(dǎo)的正確性。同時(shí)分析了電流和控制參數(shù)對(duì)幅頻特性曲線的影響。以及共振區(qū)域最大振幅和最大振幅對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速與電流和控制參數(shù)的關(guān)系。

1 兩自由度電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)如圖1所示結(jié)構(gòu)的電磁軸承，定子端面橫截面極性相同，稱為同極磁極。這種結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)是磁極周圍的磁場(chǎng)變化較小，從而使渦流的變化減小因而無需使用疊片，這便使得這種軸承可應(yīng)用于由于某些原因不能使用疊片的場(chǎng)合。圖2為磁鐵的電磁力示意圖。

1.1 電磁力模型

電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個(gè)集機(jī)、電、磁一體化的綜合系統(tǒng)，電磁力的計(jì)算涉及磁場(chǎng)和磁路。磁鐵的吸引力產(chǎn)生在具有不同導(dǎo)磁率的界面上，這些力的計(jì)算以磁場(chǎng)能量為基礎(chǔ)。在閉合系統(tǒng)中，力f可由虛位移原理導(dǎo)出：

在建立模型之前，先將轉(zhuǎn)子作為集中質(zhì)量處理、忽略繞組漏磁、忽略鐵芯和轉(zhuǎn)子中的磁阻即認(rèn)為磁勢(shì)均勻降落在氣隙上并且忽略磁性材料的磁滯和渦流。

根據(jù)電磁理論，通過每一個(gè)磁極產(chǎn)生的電磁力[fm]可以表示為

1.2 基于PD（Proportional-Differential）控制的電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

本文采用的是PD控制，控制電流可以表示為

式中：[kp]為比例控制系數(shù);[kd]為微分控制系數(shù)。由比例控制所提供的電磁力起著抵消原位移負(fù)剛度的作用，并使系統(tǒng)在被矯正后具有一定的正剛度;微分控制部分相當(dāng)于向系統(tǒng)提供正阻尼，從而使系統(tǒng)具有足夠的穩(wěn)定性。

作用在每個(gè)磁極上的電磁力是電磁軸承內(nèi)側(cè)的磁鐵的吸引力。根據(jù)圖1電磁軸承轉(zhuǎn)子受力示意圖可知，在[x]方向和[y]方向的電磁力的表達(dá)式為

2 近似解析分析

由于電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的非線性微分方程非常復(fù)雜。對(duì)它的高階非線性動(dòng)力學(xué)方程只能求得高精度的數(shù)值解。但是數(shù)值解是不能完全代替近似解析解的，所以攝動(dòng)分析方法成了研究非線性方程的重要工具。根據(jù)多尺度法，選擇1∶1的共振比情況進(jìn)行研究和分析，設(shè)式（8）的解為

圖3是由多尺度法和同倫延拓法相結(jié)合得到的幅頻特性曲線，圖中實(shí)線代表穩(wěn)定解，虛線代表不穩(wěn)定解。圖4給出了根據(jù)無量綱化后得到的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值求解所得到的結(jié)果。通過圖4可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速?gòu)牡退僦饾u上升時(shí)，如圖中實(shí)線箭頭所示，轉(zhuǎn)子的振幅由緩慢上升到加速上升，當(dāng)達(dá)到一定值時(shí)發(fā)生跳躍現(xiàn)象，最終振幅趨于零，系統(tǒng)處于單穩(wěn)態(tài)。同理，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速?gòu)母咚僦饾u降低時(shí)，如圖中虛線箭頭所示，轉(zhuǎn)子的振幅開始緩慢增大，之后增大速度加快，達(dá)到一定值時(shí)，系統(tǒng)從雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域進(jìn)入單穩(wěn)態(tài)區(qū)域，振幅逐漸趨于零。比較圖3與圖4，可以看出兩者吻合較好。

偏置電流對(duì)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)性能的影響如圖5所示。從圖5中可以看出，減小偏置電流會(huì)使系統(tǒng)在較低的轉(zhuǎn)速下發(fā)生共振，但共振區(qū)域的最大振幅相對(duì)較小，系統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域較小。反之增大偏置電流，會(huì)使系統(tǒng)在高轉(zhuǎn)速下出現(xiàn)共振，且共振區(qū)域的最大振幅相對(duì)較大，雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域也隨之增大。隨著偏置電流的增大，共振區(qū)域的最大振幅對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速[np]也隨之上升。圖6和圖7為偏置電流對(duì)共振區(qū)域的最大振幅和最大振幅對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速的影響曲線。由圖可知，隨著偏置電流的增大，共振區(qū)域的最大振幅和最大振幅對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速也隨之增大。

比例系數(shù)對(duì)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響如圖8所示。從圖中可以看出隨著比例系數(shù)的增大共振區(qū)域逐漸減小，共振區(qū)域的最大振幅和最大振幅對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速都隨之減小。增大比例系數(shù)使系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速低的情況下發(fā)生共振，共振區(qū)域減小。反之，減小比例系數(shù)使系統(tǒng)在較高的轉(zhuǎn)速下發(fā)生共振，共振區(qū)域的最大振幅增大，共振區(qū)域增大。圖9和圖10為比例系數(shù)對(duì)共振區(qū)域的最大振幅和最大振幅對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速的影響曲線。由圖可知，隨著比例系數(shù)的增大，共振區(qū)域的最大振幅和最大振幅對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速隨之減小。

3 結(jié)論

本文基于二自由度電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，利用多尺度法對(duì)泰勒展開后的無量綱運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行攝動(dòng)分析，求得了關(guān)于系統(tǒng)振幅和相位的平均方程。利用同倫延拓法對(duì)平均方程進(jìn)行求解，給出了系統(tǒng)的幅頻特性曲線，發(fā)現(xiàn)幅頻特性曲線表現(xiàn)出明顯的滯后現(xiàn)象，在升速和降速通過共振轉(zhuǎn)速時(shí)都會(huì)發(fā)生跳躍，利用數(shù)值仿真對(duì)解析計(jì)算的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果表明數(shù)值計(jì)算的結(jié)果與解析解相吻合。研究了偏置電流和比例系數(shù)對(duì)幅頻特性曲線的影響，結(jié)果表明在其他參數(shù)一定的情況下，隨著偏置電流的增大，共振區(qū)域的最大振幅和最大振幅對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速隨之增大。隨著比例系數(shù)的增大，共振區(qū)域的最大振幅和最大振幅對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速隨之減小。

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