胡生兵 李洪兵

【摘 要】 國(guó)培期間數(shù)學(xué)特級(jí)教師展示了一堂初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)觀摩課，課題是“二次函數(shù)的綜合應(yīng)用”，本節(jié)課起于一個(gè)主題干，成于八個(gè)追問(wèn).本節(jié)課展示問(wèn)題由封閉到開(kāi)放，探究性強(qiáng)，教學(xué)價(jià)值高，是一節(jié)成功的復(fù)習(xí)課，充分體現(xiàn)了以下特點(diǎn)：高處立意，踐行課改理念;問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，夯實(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程;指向評(píng)價(jià)，落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng).【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù);綜合應(yīng)用;教學(xué)實(shí)錄;教學(xué)評(píng)析

二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，是中考的熱點(diǎn).“二次函數(shù)的的綜合應(yīng)用”是初三復(fù)習(xí)的重要內(nèi)容，不少老師往往采取題海戰(zhàn)術(shù)進(jìn)行復(fù)習(xí)，但特級(jí)教師姜老師的教學(xué)卻另辟蹊徑——起于一個(gè)主題干，八個(gè)追問(wèn)螺旋上升層層遞進(jìn)，對(duì)二次函數(shù)作了全面復(fù)習(xí)，并取得了較好的效果.本文對(duì)該堂課的主要內(nèi)容進(jìn)行了實(shí)錄，并對(duì)幾位教研員和專(zhuān)家們的點(diǎn)評(píng)作了實(shí)錄和分析.

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

教學(xué)對(duì)象是重慶A中學(xué)（重慶市重點(diǎn)中學(xué)）的初三學(xué)生，該班學(xué)生思維活躍，善于思考，積極主動(dòng).該班總成績(jī)位于年級(jí)前列.

1.2 學(xué)情分析

本節(jié)課內(nèi)容是參照人教版初中數(shù)學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì).作為復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理，二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，但學(xué)生不能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).在前期的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了研究函數(shù)的方法，對(duì)函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想已有初步認(rèn)識(shí)，但依然缺乏解決數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題的思維方法，并且分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力還有待提高.因此本節(jié)課旨在鞏固與二次函數(shù)相關(guān)的知識(shí)，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、待定系數(shù)法、反證法等數(shù)學(xué)思維方法，提高“四能”.

1.3 例題設(shè)計(jì)

已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（0，2）、B（4，6）兩點(diǎn)，完成下面的問(wèn)題：

（1）求過(guò)A、B兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式;

（2）已知一個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B和點(diǎn)D（1，0），求該函數(shù)解析式并畫(huà)出函數(shù)圖象;

（3）利用函數(shù)圖象寫(xiě)出方程x2-3x+2=x+2的解和不等式x2-3x+2>x+2的解集;

（4）求△ABO的面積;

（5）求△ABD的面積;

（6）若點(diǎn)G是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△ABG面積最大時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo);

（7）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使M，A，B三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（8）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使P，A，B三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

意圖探析 以問(wèn)題為主線，體現(xiàn)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題是教學(xué)的心臟，問(wèn)題是學(xué)生認(rèn)知的心臟，展示問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)模式[1].遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計(jì)由淺入深、由易到難、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、邏輯聯(lián)系、前后鋪墊的問(wèn)題串，形成學(xué)習(xí)任務(wù)，通過(guò)這些問(wèn)題的解決，鞏固二次函數(shù)的基本性質(zhì)、解一元二次方程、解三角形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，幫助學(xué)生掌握解決二次函數(shù)問(wèn)題的基本方法，比如待定系數(shù)法、反證法、數(shù)形結(jié)合、割補(bǔ)法等.通過(guò)解決開(kāi)放型問(wèn)題和一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造能力.

2 課堂實(shí)錄

2.1 復(fù)習(xí)回顧，引入新課

師：同學(xué)們現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)？

眾生：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù).

師：它們的圖象是怎樣的呢？

眾生：一次函數(shù)圖象是直線、反比例函數(shù)圖象是雙曲線、二次函數(shù)圖象是拋物線.

師：很好，今天我們將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.

（教師板書(shū)課題，展示問(wèn)題）

評(píng)析 通過(guò)回顧，使學(xué)生集中注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊，同時(shí)拉近師生之間的距離.

2.2 分析問(wèn)題，解決問(wèn)題

問(wèn)題1 求過(guò)A，B兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式.

師：我們?cè)趺辞笠淮魏瘮?shù)的解析式？

生1：設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，然后將點(diǎn)代入，從而求出k，b.

教師：非常好，前面知識(shí)掌握不錯(cuò)，大家現(xiàn)在求解一下（停頓一會(huì)），同學(xué)們求出來(lái)沒(méi)有？

生2：一次函數(shù)解析式為y=x+2.

師：很好，大家會(huì)求一次函數(shù)解析式，那二次函數(shù)解析式呢？大家思考下面這個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題2 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B和點(diǎn)D（1，0），求該函數(shù)解析式并畫(huà)出函數(shù)圖象.

師：請(qǐng)同學(xué)們思考怎么求此解析式？

生2：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，然后將A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到方程組，從而解得a=1，b=-3，c=2，進(jìn)而y=x2-3x+2.

師：很好，這個(gè)解題過(guò)程可以簡(jiǎn)化嗎？或者說(shuō)解析式可以設(shè)成其他形式嗎？

生3：根據(jù)已知條件知，拋物線與y軸的截距為2，所以設(shè)解析式為y=ax2+bx+2.

師：非常好，對(duì)二次函數(shù)的系數(shù)理解很深刻.那同學(xué)們現(xiàn)在描點(diǎn)，找到對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖象.

評(píng)析 函數(shù)解析式是研究函數(shù)的基礎(chǔ)，問(wèn)題由簡(jiǎn)單到復(fù)雜符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過(guò)簡(jiǎn)單問(wèn)題的成功解決，使學(xué)生獲得成功感，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力.此問(wèn)題的解決方法是待定系數(shù)法，該方法不僅在初中很重要，在高中解決解析幾何問(wèn)題也常用，強(qiáng)化學(xué)生的思維方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ).

問(wèn)題3 利用函數(shù)圖象寫(xiě)出方程x2-3x+2=x+2的解和不等式x2-3x+2>x+2的解集.

師：根據(jù)圖1可知，一次函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，那這兩個(gè)交點(diǎn)代表什么意思？

生4：代表這兩個(gè)函數(shù)的自變量取交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等.

師：很好，那方程的解為多少？

生4：方程的解為0或4.

師：非常好，那不等式的解集？

生5：因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)值大于一次函數(shù)值，所以是二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方所對(duì)應(yīng)的自變量x，所以不等式的解集為x<0或x>4.

評(píng)析 運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合解一元二次方程，為解不等式作鋪墊，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)合思想.通過(guò)數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解方程與函數(shù)、方程與不等式、函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系，此問(wèn)題還為高中學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了教學(xué)的彈性.

問(wèn)題4 求△ABO的面積.

師：同學(xué)們能否在圖中找到三角形△ABO？能口算出三角形面積嗎？

眾生：能，面積為4.

師：為什么？

眾生：如圖2，因?yàn)榈譕A為2，高為4，所以面積為4.

師：還有其他方法嗎，同學(xué)們下去還可以再探究.

評(píng)析 面積是幾何中最基本的問(wèn)題，解決此問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找底和高.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，尋找解題方法，有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和解決問(wèn)題的能力，為下一個(gè)問(wèn)題作鋪墊.

問(wèn)題5 求△ABD的面積.

師：求解思路是什么？

生6：如圖3所示，過(guò)點(diǎn)D作y的平行線交AB于點(diǎn)F，則S△ABD=S△ADF+S△DBF=12DF·OC，而DF=1+2=3，OC=4，所以S△ABD=6.

生7：如圖3，連接OB，則S△ABD=S△AOB+S△DOB-S△ADO.

生8：如圖3，過(guò)點(diǎn)B做垂線交x軸于點(diǎn)C，則S△ABD=SABCO-S△ADO-S△BCD.

生9：如圖3，延長(zhǎng)BD交y軸于點(diǎn)H，則S△ABD=S△ABH-S△ADH.

師：方法靈活，但所有方法體現(xiàn)的是“割”與“補(bǔ)”的思想.

評(píng)析 問(wèn)題簡(jiǎn)潔，難度不大，學(xué)生易理解題意，從而重心放在分析問(wèn)題上.此問(wèn)題解題方法靈活，生7和生8的方法是學(xué)生所熟知，而生6的方法學(xué)生不易想到，但能簡(jiǎn)化求解過(guò)程，體現(xiàn)了多想少算的理念，所有方法體現(xiàn)的思想是“割”或“補(bǔ)”.通過(guò)一題多解，展示不同水平學(xué)生的思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和優(yōu)化思想.

問(wèn)題6 （思考題）若點(diǎn)G是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△ABG面積最大時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo).

師：求三角形面積，需要去確定三角形的底和高，說(shuō)說(shuō)你們的思路？

生8：如圖4所示，過(guò)點(diǎn)G作y的平行線交AB于點(diǎn)F，以FG為底，則根據(jù)問(wèn)題5可知△ABG的高為定值4，所以只需要FG最大即可.設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2-3x+2），則FG=x+2-（x2-3x+2）=-x2+4x（0

師：通過(guò)類(lèi)比尋找變與不變.

生9：以AB為底，則△ABG的高為點(diǎn)G到直線AB的距離.根據(jù)已知可得AB=42.而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得h=x（4-x）2（0

師：很好，學(xué)習(xí)能力很強(qiáng).點(diǎn)到直線距離公式初中不學(xué)，到高中才學(xué)，很多同學(xué)都不知道，感興趣的同學(xué)可以去推導(dǎo)一下.大家還有其他方法？生9你不用點(diǎn)到直線的距離公式能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？（學(xué)生保持沉默）

師：沒(méi)關(guān)系，我們一起來(lái)思考，其實(shí)當(dāng)以AB為底時(shí)，我們相當(dāng)于在拋物線下方去尋找距離直線最遠(yuǎn)的點(diǎn)，根據(jù)圖象可以感知，移動(dòng)直線AB與拋物線相切，則切點(diǎn)就是要找的那個(gè)點(diǎn).而相切時(shí)，判別式等于零，從而解出直線方程，進(jìn)而求得交點(diǎn).

評(píng)析 此問(wèn)題難度大，教師將其改成思考題，重點(diǎn)分析思路，提供了不同思維難度的方法供大家思考，體現(xiàn)了因材施教，分層教學(xué)的理念.此問(wèn)題的解題方法有切線法，代數(shù)法，蘊(yùn)含了類(lèi)比和數(shù)形結(jié)合的思想，使不同學(xué)生得到不同的展示和發(fā)展，培養(yǎng)了學(xué)生敢于挑戰(zhàn)的意志品質(zhì).

2.3 引發(fā)探究，深度學(xué)習(xí)

問(wèn)題7 在x軸上是否存在點(diǎn)M，使M，A，B三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（根據(jù)題意，在黑板上畫(huà)出圖5，然后再引導(dǎo)學(xué)生分析）

師：根據(jù)勾股定理有：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，這是一個(gè)充要條件.那我們現(xiàn)在知道哪個(gè)角是直角？

眾生：不知道.

師：從而我們要采用什么方法？

眾生：分類(lèi)討論.

師：那先假設(shè)點(diǎn)M存在，并設(shè)為（x，0），大家現(xiàn)在求解一下，看有幾個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足條件.

生9：以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，則AM2+AB2=MB2，而AM2=x2+4，AB2=32，BM2=（4-x）2+36，所以解得x=2;同理當(dāng)以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，無(wú)解;當(dāng)以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，解得x=10，綜上存在兩個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足條件，即（10，0）或（2，0）.

師：大家繼續(xù)思考，當(dāng)以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，還有別的方法計(jì)算點(diǎn)M的坐標(biāo)？

生10：過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線交x軸于點(diǎn)M，因?yàn)閗AM·kAB=-1，kAB=1，A（0，2），從而可以求出直線AM的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)M的坐標(biāo).

師：很好，這樣是可行的，但是你知道為什么直線相互垂直時(shí)斜率乘積等于-1？

生11：不知道，我記的結(jié)論.

師：很誠(chéng)實(shí)，因?yàn)槟鞘歉咧胁艑W(xué)的，但是如果你感興趣可以課后推導(dǎo)一下.其他同學(xué)還有別的方法？

生12：有，當(dāng)以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，△ABE為等腰直角三角形，從而△AOM也為等腰直角三角形，從而OM=OA=2，即點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，0）.

師：很好，觀察非常仔細(xì)，磨刀不誤砍材工，做題不要急動(dòng)筆，先想透徹，再書(shū)寫(xiě)，能提高解題效率.

問(wèn)題8 在x軸上是否存在點(diǎn)P，使P，A，B三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（根據(jù)題意，在黑板上畫(huà)出圖6，然后再引導(dǎo)學(xué)生分析）

師：等腰三角形有什么性質(zhì)？

眾生：兩腰相等，兩底角相等.

師：哪個(gè)是腰呢？不清楚，又要分類(lèi)討論，同樣假設(shè)點(diǎn)P存在，坐標(biāo)為（x，0），請(qǐng)同學(xué)計(jì)算一下，有幾個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足條件？

生13：AP2=x2+4，PB2=（x-4）2+36，AB2=32，當(dāng)P為頂點(diǎn)，PA=PB時(shí)，解得x=6;當(dāng)A為頂點(diǎn)，PA=AB時(shí)，解得x=±27;當(dāng)B為頂點(diǎn)，AB=PB時(shí)，無(wú)解;所以存在三個(gè)點(diǎn)分別是（27，0），（-27，0），（6，0）.

師：非常好，此問(wèn)題類(lèi)似于問(wèn)題7，都是列等式，解方程.問(wèn)題7和問(wèn)題8都是存在型問(wèn)題，我們均假設(shè)存在，然后驗(yàn)證，歸結(jié)起來(lái)都是采用了反證法，大家下去好好體會(huì).

評(píng)析 問(wèn)題7、8均屬于開(kāi)放型問(wèn)題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維.牛頓曾說(shuō)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一.”[2]反證法在高中、大學(xué)中都是非常重要的，能提解題效率.此類(lèi)題的解題思路都是先假設(shè)成立，然后去驗(yàn)證，本質(zhì)都是采用的反證法.這兩個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程很好的體現(xiàn)了數(shù)與形之間的統(tǒng)一，展示了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合思想.

2.4 歸納總結(jié)，反思升華

師：學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

眾生：一次函數(shù)，二次函數(shù)，二次方程，二次不等式，二次函數(shù)的最值.

師：運(yùn)用了哪些方法呢？

生：代數(shù)法，幾何法，數(shù)形結(jié)合，反證法.

師：學(xué)習(xí)了本節(jié)課你們有什么體會(huì)呢？

生14：對(duì)一個(gè)問(wèn)題可以多角度解決.

生15：對(duì)于存在型問(wèn)題，先假設(shè)存在，然后去驗(yàn)證.

評(píng)析 歸納總結(jié)有利于開(kāi)發(fā)元認(rèn)知，有利于學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展[1].教學(xué)中，學(xué)生是主體，要充分了解學(xué)生，讓學(xué)生表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力.

2.5 課后練習(xí)，鞏固提高（略）

3 教學(xué)評(píng)析

通過(guò)教學(xué)觀摩，教研員和專(zhuān)家們對(duì)本節(jié)課評(píng)價(jià)很高.本節(jié)課的特點(diǎn)是以問(wèn)題為主線，形成知識(shí)鏈，構(gòu)成學(xué)習(xí)任務(wù).問(wèn)題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，難度由淺入深.問(wèn)題類(lèi)型由封閉型到開(kāi)放型，探究性強(qiáng)，教學(xué)價(jià)值高，是一節(jié)成功的復(fù)習(xí)課，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

3.1 高處立意，踐行課改理念

從教學(xué)理念來(lái)看，本節(jié)課體現(xiàn)了新課標(biāo)教學(xué)理念.教師讓學(xué)生先思考，小組討論，上臺(tái)展示，再追問(wèn)，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)和數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)理念.本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)由淺入深，解決問(wèn)題方法，蘊(yùn)含許多常用的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了深度教學(xué)理念.

3.2 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，夯實(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程

從教學(xué)過(guò)程來(lái)看，教師圍繞問(wèn)題而教，學(xué)生圍繞問(wèn)題而學(xué)，體現(xiàn)了問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題是教學(xué)的心臟，問(wèn)題是學(xué)生認(rèn)知的心臟[3].數(shù)學(xué)從某種角度來(lái)講是由問(wèn)題構(gòu)成的，沒(méi)有問(wèn)題，就沒(méi)有數(shù)學(xué)，學(xué)生認(rèn)知的是問(wèn)題，思考的是問(wèn)題，問(wèn)題是思維的土壤.沒(méi)有問(wèn)題，就缺乏思維的土壤，也就難以思維，學(xué)生也就不能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.本節(jié)課是一堂高水平的解題教學(xué)課，通過(guò)有限道題的解題方法、解題策略、解題思想，去領(lǐng)悟解決無(wú)窮道題的智慧.

3.3 指向評(píng)價(jià)，落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

從教學(xué)效果來(lái)看，本節(jié)課充分體現(xiàn)了真、善、美，充分發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).首先課堂很真，在上課之前，教師沒(méi)有與學(xué)生進(jìn)行任何溝通.問(wèn)題很真，這些題目由淺入深，完全是經(jīng)過(guò)精心的設(shè)計(jì)，并且這些題目是平常教學(xué)和中考中經(jīng)常遇見(jiàn)的題目.該課有助于應(yīng)試也是真的，但這節(jié)課也是科學(xué)的探究，以問(wèn)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生思考方法，促進(jìn)知識(shí)自然生長(zhǎng)，是一堂非常有數(shù)學(xué)味的課.善體現(xiàn)在教學(xué)方法和處理問(wèn)題方法不斷改進(jìn)的過(guò)程中，教師特別強(qiáng)調(diào)“你先說(shuō)說(shuō)你的思路和方法”，算完之后老師又提問(wèn)“還有沒(méi)有別的方法”，體現(xiàn)了等一等，問(wèn)一問(wèn)的教學(xué)思想，充分展示了心中有學(xué)生，給學(xué)生提供展示的機(jī)會(huì).本節(jié)課呈現(xiàn)了課件的簡(jiǎn)潔美、問(wèn)題的邏輯美、數(shù)形的統(tǒng)一美.

參考文獻(xiàn)

[1]徐娟.一堂基于深度理解的二次函數(shù)綜合復(fù)習(xí)課[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（22）：27-29.

[2]王滟林，熊露，趙思林.反證法的教育價(jià)值與教學(xué)建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（23）：86-88.

[3]潘龍生.教學(xué)，少些一帶而過(guò)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，54（01）：14-16.

作者簡(jiǎn)介 胡生兵（1993—），男，四川廣安人，碩士，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)解題和教學(xué)研究.發(fā)表論文6篇，出版專(zhuān)著1本.

李洪兵（1973—），男，重慶璧山人，中學(xué)正高級(jí)教師，重慶市特級(jí)教師，重慶市學(xué)科帶頭人，重慶市學(xué)科名師.