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美英早期幾何教科書中的等腰三角形性質(zhì)與判定

2021-12-16 18:19錢秦汪曉勤

錢秦 汪曉勤

【摘 要】 選取1800—1959年間出版的103本英美早期幾何教科書,研究發(fā)現(xiàn)教科書中關(guān)于等腰三角形性質(zhì)——“等邊對(duì)等角”的證明方法共有六種,即歐幾里得的方法、帕普斯的方法、勒讓德的方法、萊斯利的方法、作高法和實(shí)驗(yàn)操作法.而關(guān)于等腰三角形判定定理——“等角對(duì)等邊”的證明方法共有七種,即歐幾里得的反證法、想象有兩個(gè)三角形、大邊對(duì)大角、作頂角角平分線、作底邊的高、做底角的角平分線和實(shí)驗(yàn)操作法.早期教科書中的等腰三角形知識(shí),為今日教學(xué)提供了豐富素材.

【關(guān)鍵詞】 等腰三角形;等邊對(duì)等角;等角對(duì)等邊;美英早期教科書

1 引言

在平面幾何中,三角形的“等邊對(duì)等角”“大邊對(duì)大角”“等角對(duì)等邊”“大角對(duì)大邊”是對(duì)三角形邊角關(guān)系的定性刻畫,是三角學(xué)中邊角定量關(guān)系的基礎(chǔ).在西方數(shù)學(xué)史上,《幾何原本》卷一命題5(等腰三角形底角相等)是一個(gè)著名的幾何定理,被稱為“驢橋定理”,既因?yàn)闅W幾里得在證明該定理時(shí)所用的圖形像一座簡(jiǎn)單的桁架橋,也因?yàn)樗钃趿嗽S多中世紀(jì)的學(xué)習(xí)者進(jìn)一步學(xué)習(xí)《幾何原本》后續(xù)命題的腳步.

關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)和判定,我國(guó)現(xiàn)行五種初中數(shù)學(xué)教材(人教版、北師大版、滬教版、浙教版及蘇教版)的內(nèi)容安排大同小異.在引入上,五種教材均設(shè)計(jì)了折紙活動(dòng);在“等邊對(duì)等角”的證明上,人教版和北師大版教材通過(guò)作底邊的中線,利用SSS定理加以論證,而滬教版和浙教版教材通過(guò)作頂角的平分線,利用SAS進(jìn)行說(shuō)理,而蘇教版教材除折紙驗(yàn)證外,并未給出具體的說(shuō)理過(guò)程.關(guān)于“三線合一”性質(zhì),浙教版教材設(shè)計(jì)了以“幾何畫板”為工具的探究活動(dòng),而另四種教材均通過(guò)“等邊對(duì)等角”加以說(shuō)理.關(guān)于“等角對(duì)等邊”,北師大版教材僅僅作輔助線的提示而未給出完整的證明,其余四版教材均通過(guò)作頂角平分線,運(yùn)用AAS定理進(jìn)行說(shuō)理[1-4].已有的教學(xué)設(shè)計(jì)大多從教材出發(fā),通過(guò)剪紙、折疊引入新課,個(gè)別教師運(yùn)用了數(shù)學(xué)史.

不難發(fā)現(xiàn),關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)與判定,現(xiàn)行教科書傾向于作輔助線(中線、角平分線)來(lái)構(gòu)造全等三角形,但這幾種方法的合理性受到人們的質(zhì)疑.如,在《幾何原本》中,SSS定理(命題I.8)的證明用到了三角形的唯一性(命題I.7),而三角形唯一性的證明又需要用到“等邊對(duì)等角”(命題I.5),這就使得涉及SSS定理的證明具有循環(huán)論證之嫌.而角平分線(命題I.9)的存在性又要用到SSS定理,使得作角平分線的合理性也得不到保證[1].鑒于此,我們聚焦等腰三角形性質(zhì)與判定,對(duì)19世紀(jì)初至20世紀(jì)中葉的美、英幾何教科書進(jìn)行考察,試圖回答以下問(wèn)題:關(guān)于等腰三角形的性質(zhì)與判定,早期幾何教科書中采用了哪些證明方法?證明方法有何演變規(guī)律?對(duì)今日課堂教學(xué)有何啟示?

2 教科書的選取

本文從有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)中選取1800—1959年間出版的103種美英早期平面幾何教科書作為研究對(duì)象,其中85種出版于美國(guó),18種出版于英國(guó).在選取的過(guò)程中,對(duì)于同一作者再版的書籍,若相關(guān)內(nèi)容無(wú)明顯差異,則視為同一種;若內(nèi)容有明顯差異,則視為不同的教科書.以20年為一個(gè)時(shí)間段,各教科書的分布情況如圖1所示.

早期幾何教科書的章節(jié)劃分不像今天一般細(xì)致清晰,有的教科書甚至未劃分章節(jié),直接以一個(gè)個(gè)命題的形式呈現(xiàn).103種幾何教科書中,等腰三角形主題所在章節(jié)主要有“命題”“直線形”“三角形”“等腰三角形”“線、角與直線圖形”“全等三角形”等.表1為具體分布情況.我們也發(fā)現(xiàn),無(wú)論章節(jié)名如何,本節(jié)內(nèi)容在各教材中所處的位置都比較靠前.由此可以說(shuō)明,等腰三角形的性質(zhì)與判定是平面幾何的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容.

等腰三角形的性質(zhì)主要有“等邊對(duì)等角”和“三線合一”,但大部分教材中,“三線合一”并未給出論證,而是將其作為“等邊對(duì)等角”的推論直接給出.判斷一個(gè)三角形是否為等腰三角形時(shí),可以根據(jù)定義,也可通過(guò)“等邊對(duì)等角”來(lái)判斷.因此,本文將從“等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”兩個(gè)角度梳理早期教科書中的證明方法.

3 “等邊對(duì)等角”的證明

考察發(fā)現(xiàn),在103種教科書中,有2種只提示學(xué)生作輔助線,通過(guò)三角形全等進(jìn)行證明,但未給出完整的證明過(guò)程;101種教科書給出了完整的證明,證明方法大致可分為6類:歐幾里得的方法、帕普斯的方法、勒讓德的方法、萊斯利的方法、作高法、實(shí)驗(yàn)操作法.

3.1 歐幾里得的方法

歐幾里得的偉大貢獻(xiàn)在于公理化體系的建立,其《幾何原本》從給定的少數(shù)公理、公設(shè)及定義出發(fā),用邏輯推論方法推導(dǎo)了四百多個(gè)命題[2].“等邊對(duì)等角”作為《幾何原本》第一卷命題5,其證明過(guò)程嚴(yán)格遵循公理化體系,只用到了命題5之前的公設(shè)、公理及命題.

有10種教科書沿用了歐幾里得的證明.如圖1,在等腰△ABC中,CA=CB.在兩腰CA和CB的延長(zhǎng)線上取兩點(diǎn)D,E,使得AD=BE,并連接AE和BD,則CD=CE.由SAS定理,可證△CAE≌△CBD,故有∠CAE=∠CBD;再由SAS定理,可證△BAE≌△ABD,故有∠EAB=∠DBA.根據(jù)“等量減等量,差相等”,得∠CAB=∠CBA[3].

3.2 帕普斯的方法

11種教科書采用了古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯(Pappus,公元3世紀(jì)末)的方法:將等腰三角形△CAB和△CBA看作兩個(gè)三角形,然后用SAS證明△CAB≌△CBA.

也許有人會(huì)認(rèn)為,把一個(gè)三角形看作兩個(gè)三角形,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較為抽象,于是把另一個(gè)三角形“外化”出來(lái)了.如圖2,已知等腰△ABC,CA=CB.想象△ABC被拿起、翻轉(zhuǎn)后放下,記作△A′B′C′(A′,B′,C′分別對(duì)應(yīng)A,B,C).那么,AC=A′C′=BC=B′C′,則在△ABC和△A′B′C′中,AC=B′C′,BC=A′C′,且∠C=∠C′.根據(jù)SAS定理有△ABC≌△B′A′C′,則∠A=∠B′,又因?yàn)椤螧=∠B′,等量代換得∠A=∠B[4].

3.3 勒讓德的方法

法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德(A. M. Legendre,1752—1833)通過(guò)作底邊中線的方法來(lái)構(gòu)造全等三角形,從而得到“等邊對(duì)等角”.有4種教科書采用他的方法.如圖3,在等腰△ABC中,CA=CB.過(guò)點(diǎn)C作底邊AB的中線CD.由SSS定理可證△CAD≌△CBD,則∠A=∠B[5].

3.4 萊斯利的方法

蘇格蘭數(shù)學(xué)家萊斯利(J. Leslie, 1766—1832)的方法有69種教科書采用.如圖4,在等腰△ABC中,CA=CB.過(guò)頂點(diǎn)C作∠BCA的角平分線,交AB于點(diǎn)D.根據(jù)定理SAS可證△ACD≌△BCD,故得∠A=∠B[6].

3.5 作高法

4種教科書采用作高法.給定CA和CB為等腰△ABC中相等的兩邊,作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D,如圖5.在Rt△CAD和Rt△CBD中,CA=CB,CD=CD,根據(jù)HL定理,可證△CAD≌△CBD,所以∠A=∠B[7].

3.6 實(shí)驗(yàn)操作法

有5種教科書采用了實(shí)驗(yàn)操作(折疊).如圖6所示,通過(guò)尺規(guī)作圖構(gòu)造一個(gè)等腰△CAB,小心地將三角形從紙上剪下.沿底邊AB的中線將三角形折疊,并比較∠CAB和∠CBA的大小.接著再構(gòu)造不同尺寸的等腰三角形,同樣比較兩個(gè)底角的大小.我們觀察到,等腰三角形的底角是相等的[8].

3.7 證明方法的演變

19世紀(jì)初至20世紀(jì)中期,早期教科書中呈現(xiàn)了豐富的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.以20年為一個(gè)時(shí)間段,圖7給出了“等邊對(duì)等角”的六種證明方法在每個(gè)時(shí)間段的分布.

由圖7可見(jiàn),在考察的整段時(shí)間,教科書用來(lái)說(shuō)明“等邊對(duì)等角”的方法呈現(xiàn)多元化的特點(diǎn),但始終以萊斯利的作角平分線方法為主流.歐幾里得延長(zhǎng)兩腰的做法,由于其嚴(yán)密的邏輯及在幾何上的獨(dú)特地位,使它在兩千多年后的教科書中仍占有一席之地.帕普斯的方法,巧妙地將三角形對(duì)應(yīng)的部分重合,在歷史上流行了很長(zhǎng)一段時(shí)間.但隨著更簡(jiǎn)便的作輔助線(角平分線、底邊中線及高)證明三角形全等的方法出現(xiàn),歐幾里得和帕普斯的方法逐漸淡出了歷史舞臺(tái).到了20世紀(jì),實(shí)驗(yàn)幾何開始受到人們的重視,一些教科書相應(yīng)設(shè)計(jì)了折紙的實(shí)驗(yàn)操作來(lái)豐富學(xué)生的直觀體驗(yàn).

那么,是否如引言中提到的質(zhì)疑一樣,一些證法存在著邏輯上的漏洞呢?今天,人們對(duì)“等邊對(duì)等角”某些證法的質(zhì)疑主要依據(jù)的是《幾何原本》的體系.然而,本文所考察的美英早期幾何教科書采用了不同的邏輯體系,不同的邏輯體系就造成了知識(shí)點(diǎn)編排順序的差異.勒讓德在《幾何基礎(chǔ)》中采用了圖8所示的命題順序[5],SSS定理并未建立在等腰三角形性質(zhì)之上,他通過(guò)作底邊中線來(lái)證明“等邊對(duì)等角”,是完全合理的.萊斯利則采用了圖9所示的命題順序[6],其通過(guò)作角平分線證明“等邊對(duì)等角”,也是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?

4 “等角對(duì)等邊”的證明

“等角對(duì)等邊”,即如果三角形中有兩個(gè)角相等,那么其對(duì)邊相等,這個(gè)三角形為一個(gè)等腰三角形.83種教科書給出了完整的證明,證明方法大致可分為以下7種.

4.1 歐幾里得的反證法

23種教科書沿用了歐幾里得的反證法.如圖10,令∠CAB=∠CBA.假設(shè)對(duì)邊AC比另一邊BC要長(zhǎng),令A(yù)D=BC,那么△DBA明顯要比△ABC小.但因?yàn)镃B與BA及其夾角∠CBA等于DA與AB其夾角∠DAB,故知△DAB≌△CAB,這是不可能的(大小不同的三角形不全等).因此,AC不能比BC長(zhǎng).類似可證明BC不能比AC長(zhǎng),所以BC=AC[9].

4.2 想象有兩個(gè)三角形

11種教材采用“想象兩個(gè)三角形”的方法.如圖11,給定△ABC,其中∠A=∠B.假設(shè)△A′B′C′是△ABC的一個(gè)復(fù)制品,將△A′B′C′翻轉(zhuǎn)后放在△ABC上,那么B′將落在A上,A′將落在B點(diǎn),則B′A′與AB重合.因?yàn)椤螦′=∠B′,∠A=∠A′,等量代換得∠A=∠B′,所以B′C′將與AC重合.類似地,A′C′將與BC重合.因此,C′將同時(shí)落在AC和BC上,即C′落在它們的交點(diǎn)C上.所以,B′C′=AC.又有B′C′=BC,則AC=BC[10].

4.3 大邊對(duì)大角

6種教科書先證明“大邊對(duì)大角”,再由此說(shuō)明“等邊對(duì)等角”.如圖12,給定△ABC,其中∠A=∠B,以下三個(gè)命題中必有一個(gè)是正確的:(1)a=b,(2)ab.但a>b不可能為真,因?yàn)槿绻闪ⅲ鶕?jù)三角形中“大角對(duì)大邊”的定理,有∠A>∠B,與已知矛盾.同樣地,a

4.4 作底邊上的高

27種教材采用作底邊的高的方法.如圖13,給定△ABC,其中∠A=∠B.作CD⊥AB,那么在兩個(gè)直角△CAD和△CBD中∠A=∠B,所以∠ACD=∠BCD.因此,△CAD和△CBD中有兩個(gè)角及其夾邊CD對(duì)應(yīng)相等,由ASA定理知△CAD≌△CBD,則AC=BC[12].

4.5 作頂角的平分線

11種教科書中采用作頂角平分線的方法.如圖13,在△ABC中∠A=∠B.作∠ACB的平分線CD,易證△CAD≌△CBD,故AC=BC[13].

4.6 作底角的平分線

有2種教科書采用作底角角平分線的方法.如圖14,給定△ABC,其中∠ABC=∠BAC.作BD平分∠ABC,AE平分∠BAC,由ASA定理知△DBA≌△EAB,從而∠BDA=∠AEB,所以∠CDB=∠CEA,且BD=AE,又∠C=∠C,故△ACE≌△BCD,故得AC=BC[14].

4.7 實(shí)驗(yàn)操作法

3種教科書采用剪紙、折疊的方式來(lái)驗(yàn)證“等角對(duì)等邊”,證明過(guò)程與“等邊對(duì)等角”的類似,這里不再贅述.

4.8 證明方法的演變

圖15給出了“等角對(duì)等邊”的各種證明在各時(shí)間段的分布情況.

由此可見(jiàn),19世紀(jì)80年代之前“歐幾里得的反證法”占有絕對(duì)優(yōu)勢(shì),而后“作底邊的高證三角形全等”成為使用頻率最高的方法.歐幾里得的方法十分經(jīng)典,只用到SAS定理,一度受到人們的青睞.但作底邊的高后無(wú)需分類討論,能通過(guò)一次三角形全等解決問(wèn)題,相比之下證明過(guò)程更加簡(jiǎn)便.“大邊對(duì)大角”“實(shí)驗(yàn)操作”“想象有兩個(gè)三角形”和“作頂角的角平分線”等,都只是在少數(shù)幾個(gè)時(shí)間段內(nèi)零星出現(xiàn)的方法.

奇怪的是,20世紀(jì)40年代涌現(xiàn)了一種新的方法,即“作底角的角平分線”證兩次三角形全等,從證明過(guò)程來(lái)看,該方法不如前面的大部分方法簡(jiǎn)便,但它卻被20世紀(jì)40年代的教科書所采用.這看似較為復(fù)雜的證法,恰恰體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家們不懈探究、追求創(chuàng)新的精神.

5 結(jié)論與啟示

“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”是歷史悠久的兩個(gè)命題,在兩千多年的歷史長(zhǎng)河中,涌現(xiàn)了許多優(yōu)秀的證明方法.這些證明方法相繼出現(xiàn)于本文所考察的103種早期幾何教科書中.遺憾的是,我們?cè)诮裉斓慕炭茣袇s幾乎看不見(jiàn)它們的蹤影.美英早期幾何教科書中的證法各有特色,關(guān)于“等邊對(duì)等角”的證明,“萊斯利的方法”在各教科書中占絕對(duì)優(yōu)勢(shì).而關(guān)于“等角對(duì)等邊”的證明,“歐幾里得的反證法”在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)都是主流方法,但到了19世紀(jì)80年代以后,“作底邊上的高”后來(lái)居上,而歐氏方法逐漸退出了歷史舞臺(tái).

美英早期幾何教科書為HPM視角的等腰三角形教學(xué)提供了一定的啟示.

(1)營(yíng)造探究之樂(lè).本節(jié)內(nèi)容可采用探究式學(xué)習(xí)的模式,設(shè)計(jì)不同大小等腰三角形的折紙活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生歸納出等腰三角形的性質(zhì).通過(guò)體驗(yàn)性極強(qiáng)的折紙活動(dòng),學(xué)生能提高學(xué)習(xí)興趣,讓數(shù)學(xué)課堂活起來(lái).接下來(lái),教師則可以利用幾何畫板等現(xiàn)代工具對(duì)學(xué)生的猜想加以檢驗(yàn).在定理的證明上,先由學(xué)生自主探究其證明方法,再由教師進(jìn)行講授,使學(xué)生充分參與到課堂中來(lái).

(2)彰顯方法之美.無(wú)論是“等邊對(duì)等角”還是“等角對(duì)等邊”,早期教科書都呈現(xiàn)了豐富的證明方法.這些來(lái)自不同時(shí)空的靈活、多樣的方法,能夠拓寬學(xué)生的視野.教科書上呈現(xiàn)的一兩種推導(dǎo)方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,教師應(yīng)該對(duì)歷史上的多種證明方法進(jìn)行介紹.而且,數(shù)學(xué)知識(shí)畢業(yè)后不用就很快遺忘了,但排除法、反證法等思想對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)卻是受益終身的.因此,教學(xué)不能僅局限于證明過(guò)程本身,更重要的是讓學(xué)生掌握證明背后蘊(yùn)含的思想方法.

(3)實(shí)現(xiàn)能力之助.“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”互為逆命題,要判斷這兩個(gè)命題的真假必須分別對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格的證明,這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力有著極大的幫助.同時(shí),課堂上安排折紙的實(shí)驗(yàn)操作,也有利于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展.

(4)達(dá)成德育之效.一方面,教學(xué)過(guò)程中可以講述“驢橋”的故事,告訴同學(xué)們中世紀(jì)時(shí)期人們學(xué)習(xí)幾何也同樣會(huì)遇到挫折,讓學(xué)生們得到安慰,使數(shù)學(xué)變得不那么可怕.另一方面,通過(guò)折紙活動(dòng)感知“等邊對(duì)等角”后進(jìn)一步說(shuō)明論證的安排,使學(xué)生明白數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)密的學(xué)科,任何內(nèi)容的學(xué)習(xí)不能僅停留在直觀.數(shù)學(xué)家們不懈探究、追求創(chuàng)新的治學(xué)態(tài)度,在早期幾何教科書對(duì)等腰三角形性質(zhì)與判定定理的證明中體現(xiàn)得淋漓盡致.相信學(xué)生們通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),能夠樹立正確的數(shù)學(xué)觀,培養(yǎng)理性精神.

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作者簡(jiǎn)介 錢秦(1999—),女,重慶人,華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院碩士研究生,主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究.汪曉勤(1966—),男,浙江衢州人,教授,華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院博士生導(dǎo)師,主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究.

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