■四川省成都經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗中學(xué)校 杜海洋

一、三角形的有關(guān)性質(zhì)

（1）在△ABC中，A＋B＋C＝π；a＋b＞c，a－b＜c；a＞b?sinA＞sinB?A＞B。

二、正弦定理和余弦定理

表1

三、解三角形的類型

（1）已知兩角一邊，用正弦定理，有解時，只有一解。

（2）已知兩邊及其一邊的對角，用正弦定理時，有解的情況可分為以下情況，在△ABC中，已知a、b和角A時，解的情況如表2：

表2

四、正弦、余弦定理在解三角形中的五大應(yīng)用

1.在解三角形中的應(yīng)用

方法總結(jié)：利用正弦定理可解決以下兩類問題：一是已知兩角和其中一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊與角（該三角形具有不唯一性，常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷）。利用余弦定理可解決以下兩類問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個角。由于這兩種情形下的三角形是唯一的，所以其解也是唯一的。

2.在三角形解的判定中的應(yīng)用

例2不解三角形，請判斷下列三角形解的個數(shù)：

（1）a＝5，b＝4，A＝120。；

（2）a＝5，b＝10，A＝150。；

（3）a＝9，b＝10，A＝60。；

（4）a＝18，b＝24，A＝44。。

解析：（1）因為a＞b，且A為鈍角，所以△ABC有唯一解。

（2）因為b＞a，且A為鈍角，所以△ABC無解。

（3）因為bsinA＝10×，所以bsinA＜a＜b，△ABC有兩解。

（4）因為bsinA＝24sin44。＜24sin45。＝12，且12＜18＜24，所以△ABC有兩解。

方法總結(jié)：（1）已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由正弦定理可以求出另一邊的對角的正弦值，從而解出三角形，但這個三角形不一定有解。這類問題可以通過計算來判斷，也可以通過畫圖用幾何方法來判斷。討論時應(yīng)注意兩點：一是其正弦值與“1”的大小關(guān)系，從而決定符合正弦值的角是否存在；二是由此確定的角（0?！?80。）有幾個，它與已知角的和是否小于180。。

（2）依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法：（1）利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；（2）利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論。

3.正弦、余弦定理與其他知識的綜合應(yīng)用

例3在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，并且內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列。

方法總結(jié)：正弦、余弦定理與三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量綜合考查出現(xiàn)頻率較高。解決此類問題：首先要把握題目重點考查的知識點是什么，它們之間有怎樣的聯(lián)系，怎樣將他們整合在一起；然后將問題合理轉(zhuǎn)化，特別注意三角形中角的取值范圍。

4.在三角形的范圍與最值問題中的應(yīng)用

例4在△ABC中，已知tanA＝。

若△ABC為銳角三角形，其面積為6，求BC的取值范圍。

方法總結(jié)：（1）求式子的取值范圍，可以將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個角的三角函數(shù)求最值問題。

（2）利用正弦定理求有關(guān)三角函數(shù)最值的求法：①利用正弦定理厘清三角形中基本量間的關(guān)系或求出某些基本量；②將要求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)（包括三角函數(shù)），從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。

5.在結(jié)構(gòu)不良及開放型問題中的應(yīng)用

例5已知a，b，c，分別為△ABC內(nèi)角A，B，C，的對邊，若△ABC同時滿足下列四個條件中的三個：①cosB＝－；②cos2A＋2cos2＝1；③a＝；④b＝2。

（1）滿足有解三角形的序號組合有哪些？

（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對應(yīng)△ABC的面積。

方法總結(jié)：結(jié)構(gòu)不良題型是新課改地區(qū)新增加的題型，其實所謂結(jié)構(gòu)不良題型就是給出一些條件，另外的條件題目中給出三個，同學(xué)們可以從中選擇1 個或者2 個作為條件，進行解題。在選擇的條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較復(fù)雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過程規(guī)范，都會得滿分。同學(xué)們在解決這樣的結(jié)構(gòu)不良問題時，不存在選哪個更好。而且，這種新題型才開始進入大家的視野，考查難度一般都不會太大。所以，在學(xué)習(xí)的過程中，我們可以將解三角形和數(shù)列的結(jié)構(gòu)不良問題作為訓(xùn)練的重點。