■河南師范大學(xué)附中西校區(qū) 楊承澤 楊承霖（指導(dǎo)老師 孟召臣）

或許是幸運(yùn)，也或許是我們的付出得到了回報(bào)，2021 年的高考，我們兄弟倆數(shù)學(xué)都考了滿分。剛剛走過的高中學(xué)習(xí)生活應(yīng)該說道路是曲折的，結(jié)局是光明的，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科，高考很幸運(yùn)地考了150 分。針對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)，我們簡單總結(jié)了一下自己在學(xué)習(xí)過程中的一些做法，希望能給各位讀者提供一些幫助。

常言道“干一行，愛一行，鉆一行，精一行”，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，從內(nèi)心要“愛”數(shù)學(xué)！ 三年的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們逐漸體會到高中數(shù)學(xué)教材中主編所寄語的：數(shù)學(xué)是有用的，是能提高能力的，是自然的，也是清楚的。“數(shù)學(xué)就在我們身邊，她是科學(xué)的語言，是一切科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，是我們思考和解決問題的工具”，“邏輯思維與探索結(jié)構(gòu)等正是理論的支架和脈絡(luò)，因而數(shù)學(xué)恰就在它們的核心處”。只有內(nèi)心清楚數(shù)學(xué)這門學(xué)科對自己很有用，我們才能從內(nèi)心重視它，激發(fā)出對數(shù)學(xué)學(xué)科更深的興趣和熱情。

當(dāng)然，想學(xué)好數(shù)學(xué)也不是僅憑一腔熱血，要在思想上重視，更要在行動上落實(shí)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

1.課前

預(yù)習(xí)！ 預(yù)習(xí)！ 預(yù)習(xí)！ 重要的事情說三遍。高中數(shù)學(xué)不同于初中數(shù)學(xué)，對邏輯思維能力要求更高，如果課前不預(yù)習(xí)，“打無準(zhǔn)備之仗”就可能跟不上課堂的節(jié)奏，出現(xiàn)老師已經(jīng)開始講下一個新的知識點(diǎn)的時(shí)候，自己卻還沒想通上一個問題為什么這樣處理。特別是課堂容量大的時(shí)候，很容易造成手忙腳亂，有些問題一知半解，有些問題沒跟上老師的思路。不僅如此，如果發(fā)現(xiàn)身邊的同學(xué)都做好了預(yù)習(xí)，在課堂上能搶著回答老師的問題，也就很容易感到自己的“弱小、可憐與無助”，久而久之就會嚴(yán)重影響學(xué)習(xí)的自信心和積極性。預(yù)習(xí)時(shí)可以先通讀課本，盡可能把課本上的概念、例題及例題講解先弄個八九不離十，之后盡可能完成課本上以及教輔資料上60%～80%的題目，遇到不會的及時(shí)標(biāo)記起來，同時(shí)可以把自己的想法簡單地批注在旁邊，以便帶著問題“精準(zhǔn)”上課。

2.課中

課堂上，我們通常是有選擇地聽課，“時(shí)聽，時(shí)不聽”，對于自己在預(yù)習(xí)過程中不懂的問題，以及老師所講解的基于課本內(nèi)容的拓展知識一定要專注地聽；而對于自己感覺已經(jīng)會了的就“不聽”，同時(shí)利用這些間斷的時(shí)間做一些同步的習(xí)題以減輕課后的作業(yè)負(fù)擔(dān)。就我們兄弟倆而言，高一高二時(shí)課堂上聽課還是很專注的，高三起逐漸學(xué)會了“偷懶”。不建議把大量的課堂時(shí)間花在記筆記上，實(shí)在怕忘或者真的沒聽懂就把關(guān)鍵內(nèi)容簡單記一下，下課借同學(xué)的筆記看看或者及時(shí)問一下老師。在我們看來，真正的筆記本應(yīng)該是課后自己整理總結(jié)的干貨，而不是課堂上照搬照抄板書。

3.課后

課后指的并不是下課后的課間十分鐘，而是上完這節(jié)課后的所有時(shí)間。課堂上四十分鐘的內(nèi)容，有時(shí)候需要課后數(shù)個小時(shí)的整理、思考、練習(xí)，才能逐漸消化吸收最終轉(zhuǎn)化為屬于自己的東西，并最終熟練地運(yùn)用在解題上。有時(shí)候，新學(xué)的知識如果比較抽象或者技巧性比較強(qiáng)，往往不能在短時(shí)間熟練掌握，比如我們最初接觸對數(shù)、基本不等式及解析幾何等內(nèi)容的時(shí)候，看書感覺都會了，應(yīng)該沒什么問題，可是一做題卻發(fā)現(xiàn)大多數(shù)題不會做，或者花費(fèi)時(shí)間很長才能做對。這很正常，因?yàn)檎J(rèn)識和熟悉一個新的事物或者一個新的知識點(diǎn)是需要一個過程，這完全不用擔(dān)心，但需要多做一些有針對性的練習(xí)，多看看一些教輔資料中的典型題型及技巧總結(jié)。學(xué)數(shù)學(xué)真的需要這樣“借力”，自己能夠把控的就是借助于某些資料或者雜志的“力”，好的資料及雜志其實(shí)不少，例如《中學(xué)生數(shù)理化》，我們孟召臣老師撰寫的《高中數(shù)學(xué)常考的二級結(jié)論》，及《更高更妙的高中數(shù)學(xué)思想與方法》等一些資料上總結(jié)的相關(guān)例題及解題技巧和方法都讓我們受益匪淺。當(dāng)然光看書是不夠的，還要有針對性地練習(xí)來增加應(yīng)用知識和技巧的熟練度。例如在初學(xué)基本不等式時(shí)，總是弄不清什么時(shí)候該用，該怎么用，該怎樣快速得到答案等，我們就通過練習(xí)增強(qiáng)了對知識和技巧的熟練度。

例如：已知a，b＞0，a＋b＝1，求：（1）的最小值；（2）a2＋b2的最小值；（3）的最大值。記得剛接觸這樣的題，總是要耗費(fèi)很長時(shí)間，或者做的方法很麻煩！ 經(jīng)過一周的鞏固訓(xùn)練，很快掌握了這類問題的解題技巧和方法。就拿這道題來說，如果想要快速得到答案，我們只需要根據(jù)題目及結(jié)論中字母a，b的對稱性，就可以知道a＝b＝時(shí)，取得最小值4，a2＋b2取得最小值取得最大值

若需要解答過程，則可以這樣做：

4.解題

題是基礎(chǔ)知識和思想方法的共同載體，多做一些習(xí)題有利于我們快速掌握并熟練應(yīng)用相關(guān)的知識點(diǎn)。

首先，做題不能盲目，要有所選擇地做。對于那些簡單易掌握的題目，預(yù)習(xí)的時(shí)候過一遍就可以了，多做純粹是浪費(fèi)時(shí)間。做題，要有選擇地做，平時(shí)練習(xí)時(shí)要多做一些能夠暴露自己知識漏洞或方法沒有掌握的問題，要多做一些難度適中或者稍有挑戰(zhàn)性的題目，多做一些能讓我們從中得到一些小結(jié)論的題目，多做一些解題方法技巧性比較強(qiáng)的題目。數(shù)學(xué)題目不是做得越多越好，我們還要平衡其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，高一高二的時(shí)候不要怕暴露自己的知識漏洞，根據(jù)知識漏洞有針對性地做題才能把我們所學(xué)的知識掌握得更牢固。高一高二把握得比較好，高三的時(shí)候就不會感覺自己沒掌握的太多，高三后期各種試卷特別多，要根據(jù)自己的情況，有選擇地做，否則會感覺天天很累，且效果不佳。我們高三下學(xué)期就主要做一些試卷中的中等偏上難度的試題。

其次，要認(rèn)真審題，注重方法。審題時(shí)首先讀題要慢，在讀到自己覺得有重要模型特征的、陌生的或者易錯的條件時(shí)，用筆把它們?nèi)Τ鰜?，需要利用幾何關(guān)系的題目時(shí)盡量把圖畫準(zhǔn)確，把對應(yīng)的條件標(biāo)注到圖上相應(yīng)位置。寫選擇題時(shí)，如果用排除法，盡量在排除的選項(xiàng)上做個記號，特別要注意題目問的是正確的項(xiàng)還是錯誤的項(xiàng)。選擇題的答案盡量統(tǒng)一寫到題號前，方便譽(yù)抄到答題卡上。關(guān)于解題方法的選擇，對于選擇題、填空題，這些題目不需要嚴(yán)密的推導(dǎo)過程，解題時(shí)完全可以“不擇手段”，考試時(shí)間有限，千萬不要“小題大做”，而要想著巧做、智做甚至“秒殺”，可以運(yùn)用排除法、極限法、特殊化法、估值法、數(shù)形結(jié)合法等快速把題目給解出來。對于解答題，解題時(shí)要注意前后的邏輯關(guān)系，注意答題的條理性和規(guī)范性，書寫過程要抓住解題的關(guān)鍵得分點(diǎn)，用我們孟老師的話說，“只寫對的，不寫廢的”。做完題還要注意檢驗(yàn)，以確保自己的思路和運(yùn)算結(jié)果沒問題。

5.筆記和糾錯

對于筆記，盡量不要在課堂上占用太多時(shí)間去記筆記，什么都記，就沒有足夠的時(shí)間去理解當(dāng)堂的知識，課堂學(xué)習(xí)效果會大打折扣。我們認(rèn)為需要記的有這些：①有些自己很難想到的解題技巧；②學(xué)習(xí)過程中遇到的常考、常用的二級結(jié)論；③在每一章節(jié)結(jié)束，總結(jié)的這一章常考的數(shù)學(xué)模型。對于自己很容易掌握的知識點(diǎn)以及在書店里的公式定理手冊中都很容易查到的知識點(diǎn)，就沒必要去記了。

對于錯題本，不是所有的錯題都要記，對于有些可能因考試狀態(tài)不好，而導(dǎo)致的明顯非智力因素錯誤就沒必要記。對于一些簡單但做題時(shí)某細(xì)節(jié)沒注意到而出錯的題目也不需要記。需要記下來的主要是自己做過的習(xí)題中，方法獨(dú)到，方法種類比較多，或者解題方法可以遷移到其他問題中的典型題。記錯題的時(shí)候，如果感覺解題步驟太多，可以只突出關(guān)鍵點(diǎn)，價(jià)值不大的地方只寫個思路，不用寫完整過程。對于記下來的題目要定期回過頭來看看，確保弄懂，下次不再出錯。在弄懂的基礎(chǔ)上，還要深入思考：題目中有什么“陷阱”，今后如何避免掉進(jìn)“陷阱”；有什么隱含條件，隱含條件該如何抓住，如何應(yīng)用；此類題目還可以怎樣改編，能不能把方法遷移到其他題目中去，能不能從中得到一些有用的二級結(jié)論。

不論是筆記還是錯題本，都建議把題目、解析過程以及自己的反思感悟用不同顏色的筆來寫，黑、藍(lán)、紅是不錯的選擇。

學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，高中知識量要比初中多很多，學(xué)起來并不輕松，因此，高一高二的時(shí)候就一定要端正態(tài)度，全力以赴，盡最大限度地不留知識漏洞，否則就很可能一步跟不上，步步跟不上。高三與其說是復(fù)習(xí)，不如說是對以前所學(xué)知識的綜合和升華，題目的綜合性更強(qiáng)，對思維能力的要求更高。除非你是天才，否則那種抱著“高一高二混過去，高三再好好學(xué)”的態(tài)度是肯定學(xué)不好的。

以上是我們兄弟倆在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一點(diǎn)粗淺之談，不當(dāng)之處，還望朋友們批評指正！

名師點(diǎn)評：孟召臣（本刊核心作者、封面人物）

今年的高考，楊承霖和楊承澤兄弟（雙胞胎）兩人數(shù)學(xué)都取得了滿分，雖然像他們自己所說的那樣，有那么一點(diǎn)幸運(yùn)的成分，但我覺得更多的是“一分耕耘，一分收獲”，是兩個孩子努力付出得到的必然結(jié)果。一路走來，我見證了他們的成長，兄弟兩個都有很強(qiáng)的進(jìn)取心，思維敏捷，愛動腦，勤鉆研，善總結(jié)，重要的內(nèi)容決不淺嘗輒止。平日里，兩人的學(xué)習(xí)生活安排得張弛有序，忙碌而不慌亂，他們學(xué)習(xí)主動性都比較強(qiáng)，對很多數(shù)學(xué)問題都有自己獨(dú)到的見解（我在教他們的過程中也深感受益匪淺）。在學(xué)習(xí)的過程中，雖然也有多次考試成績不理想，但面對失利，他們都能以平常心對待，面對挫折，他們從不言棄。

“十年磨一劍”，“滄海一聲笑”，無涯學(xué)海任逍遙，他們用努力的腳印，踏出了一片智慧的天地；用智慧與勤奮的鑰匙，打開了通往成功的大門！ 他們用實(shí)際行動很好地詮釋了“勤奮出天才”。希望在未來的征途中，他們會走得越來越好！