■河北南宮中學(xué) 溫世嫻 霍忠林

基本不等式常用來(lái)求函數(shù)最值（取值范圍）或證明不等式。高考中主要考查二元或三元基本不等式的應(yīng)用?！耙徽⒍?、三相等”是同學(xué)們耳熟能詳?shù)氖褂没静坏仁健翱谠E”。但是在解題過(guò)程中，部分同學(xué)對(duì)這“口訣”理解得不到位、對(duì)基本不等式的使用策略運(yùn)用不當(dāng)，從而導(dǎo)致得分不理想。鑒于此，本文總結(jié)了二元或三元基本不等式在使用過(guò)程中的“3大注意”和“11 個(gè)策略”，以期對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供幫助。

一、知識(shí)回顧

（1）若a∈R，b∈R，則a2＋b2≥2ab（*），其中當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立。

二、“口訣”的3大注意

（1）對(duì)“正”的理解：“一正”指的是數(shù)（代數(shù)式）必須均是正的，這是使用基本不等式的前提條件。比如，求函數(shù)y＝x＋的取值范圍時(shí)，顯然兩數(shù)不滿足“正”的條件，不能直接使用基本不等式，此時(shí)可以轉(zhuǎn)化為再使用基本不等式。因此，使用基本不等式之前應(yīng)先看已知條件是否滿足“正”的條件。

（3）對(duì)“相等”的理解：判斷取等條件，必須在出現(xiàn)“定值”之后。在利用基本不等式求最值時(shí)，必須滿足“相等”的條件，若不滿足條件，則不能利用基本不等式求最值。比如，求的最小值時(shí)，采用≥2 來(lái)求最值是“行不通”的，原因就在于取等條件不滿足。但是在利用基本不等式證明不等式時(shí)，即使取等條件不滿足也可以使用。比如，當(dāng)x＞1時(shí)，證明：x2＋。此時(shí)可以采用“x2＋”來(lái)處理。

三、解題的11個(gè)策略

策略1 直接套用公式

策略2 添“項(xiàng)”湊“定值”

該策略指的是通過(guò)添加系數(shù)或添加常數(shù)來(lái)“湊”定值。

評(píng)析：本題通過(guò)添加系數(shù)2，從而湊出“和”為定值。

評(píng)析：本題通過(guò)添加常數(shù)項(xiàng)1，從而湊出“積”為定值。

策略3 乘“1”法

乘“1”法常分為“整體乘1”和“局部乘1”兩種形式。

評(píng)析：本題通過(guò)“整體乘1”策略，為基本不等式的使用提供了條件。實(shí)際上形如“已知x，y，z，r，s均為正數(shù)，且xa＋yb＝z，求的最小值”均可以采用此策略。

評(píng)析：本題通過(guò)“局部乘1”策略，為基本不等式的使用提供了條件。

策略4 換元法

評(píng)析：通過(guò)m＝2x＋y，n＝y(tǒng)＋1將本題轉(zhuǎn)化為策略3 來(lái)處理。一般情況，代數(shù)式中含有根式或含有一次式時(shí)可以考慮將根式或一次式進(jìn)行換元，再求最值。

策略5 合理拆分

評(píng)析：注意到x＝，因此將拆成相等的兩項(xiàng)，這樣可以保證了基本不等式“取等”的條件?！捌骄鸱帧笔呛侠聿鸱值淖畛Ｒ?jiàn)手段。

策略6 因式分解

該策略就是先對(duì)已知條件進(jìn)行因式分解，再利用基本不等式解題。

例8已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求a＋b的最小值。

解析：由ab＝a＋b＋3，得（a－1）（b－1）＝4。

所以a＞1，b＞1。

故a＋b＝（a－1）＋（b－1）＋2≥＋2＝6，當(dāng)a－1＝b－1，即a＝b＝3時(shí)等號(hào)成立。

所以a＋b的最小值為6。

評(píng)析：一般形如“已知x，y，z，r，s均為正數(shù)，且ab＝xa＋yb＋z，求ra＋sb的最小值”可以考慮采用此策略。

策略7 連續(xù)多次使用基本不等式

評(píng)析：在多次使用基本不等式求最值時(shí)，必須保證等號(hào)同時(shí)成立。如果等號(hào)不同時(shí)成立，就無(wú)法使用基本不等式求最值。

策略8 主元思想

評(píng)析：在含有多個(gè)變量求最值時(shí)，可以考慮采用“主元思想，逐個(gè)擊破”策略，但是務(wù)必保證等號(hào)同時(shí)成立。

策略9 平方

該策略就是先將待求代數(shù)式平方，再應(yīng)用基本不等式求解。

策略10 待定系數(shù)法

策略11 利用取等條件

利用基本不等式的“取等”條件來(lái)求最值或證明不等式，常用來(lái)處理“已知條件”和“問(wèn)題”均是對(duì)稱式。

例13已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝2，求a3＋b3的最小值。

解析：a3＋1＋1≥3a，b3＋1＋1≥3b，所以（a3＋1＋1）＋（b3＋1＋1）≥3（a＋b）＝6，a3＋b3≥2。

當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立。

所以a3＋b3的最小值為2。

評(píng)析：注意到“題干”和“問(wèn)題”均是關(guān)于a，b的對(duì)稱式，因此可以嘗試從a＝b＝1 條件來(lái)入手，通過(guò)a3＋1＋1≥3a，b3＋1＋1≥3b來(lái)順利實(shí)現(xiàn)解題的目的。

例14已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求證：a2＋b2＋c2≥

綜上所述，基本不等式的學(xué)習(xí)中，要深入理解“一正、二定、三相等”這一條件。在解題過(guò)程中，要多整理、勤總結(jié)、善反思，只有這樣才能靈活掌握解題策略，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)備考。