張煥炬

摘要：《數(shù)列》是高中才學(xué)習(xí)的全新模塊，學(xué)生比較陌生。為了讓學(xué)生自然地接受“數(shù)列”、能更輕松地學(xué)好《數(shù)列》，我們?cè)诮虒W(xué)中可以嘗試從不同的角度講解，以達(dá)到最高效的教學(xué)。數(shù)列的通式公式和前項(xiàng)和公式分別與一次函數(shù)及二次函數(shù)關(guān)系密切，而這兩個(gè)函數(shù)是學(xué)生比較熟悉的，故本文便從一次函數(shù)及二次函數(shù)的角度探討等差數(shù)列的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列? 一次函數(shù)? 二次函數(shù)? 通項(xiàng)公式? 前項(xiàng)和

《數(shù)列》這一章內(nèi)容是高中才學(xué)習(xí)的全新模塊，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是每年高考的熱點(diǎn)，在高考試題中占的分值也比較高?！兜炔顢?shù)列》是其中的基礎(chǔ)部分，能否掌握這部分內(nèi)容，直接影響著能否掌握后面的知識(shí)點(diǎn)和整個(gè)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)。為了加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的理解，本文從函數(shù)的角度分析等差數(shù)列的主要性質(zhì)，讓學(xué)生能更好地掌握《數(shù)列》這一章節(jié)的內(nèi)容。

一、用一次函數(shù)的性質(zhì)探討等差數(shù)列的通項(xiàng)

在教學(xué)過(guò)程中，我們可以先探討一次函數(shù)與等差數(shù)列通項(xiàng)的關(guān)系。在等差數(shù)列中，因?yàn)橥?xiàng)公式：，可表示為，是以為自變量的一次函數(shù)。易證反之也成立。由此可見(jiàn)，等差數(shù)列與一次函數(shù)關(guān)系是很密切的。下面我在用一次函數(shù)的知識(shí)來(lái)解析等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)。

（1）根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)解析等差數(shù)列通項(xiàng)的單調(diào)性。一次函數(shù)的單調(diào)性是由一次項(xiàng)系數(shù)決定的，設(shè)等，則公差，所以當(dāng)時(shí)為遞增數(shù)列;當(dāng)時(shí)為遞減數(shù)列;時(shí)為常數(shù)數(shù)列。故等差數(shù)列的單調(diào)性由公差決定。

（2）一次函數(shù)圖像是直線，可從直線的斜率角度探討通項(xiàng)公式性質(zhì)。在等差數(shù)列通項(xiàng)公式中，公差是一次項(xiàng)系數(shù)，其幾何意義是：“圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率”。當(dāng)取直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，斜率，;當(dāng)取直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，斜率，可得到：。故等差數(shù)列的通項(xiàng)公式有兩種形式，同學(xué)們解題時(shí)要根據(jù)題意選擇正確的形式。

（3）通過(guò)直線中點(diǎn)公式探討中項(xiàng)公式定義及性質(zhì)。在等差數(shù)列中，設(shè)圖像上的點(diǎn)在直線上，在上任取兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則線段的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，從而得到等差中項(xiàng)公式。同理可得到一個(gè)相當(dāng)重要的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)有。

二、用二次函數(shù)的性質(zhì)探討等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)

其次，在教學(xué)過(guò)程中，我們還可以探討二次函數(shù)與等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)。因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和可化為：，可表示為。所以通項(xiàng)可看作是以為自變量且常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)?！岸魏瘮?shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同學(xué)們對(duì)二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該比較熟悉，故教學(xué)時(shí)可通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)解析等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)。下面就是我在教學(xué)中用二次函數(shù)的性質(zhì)探討等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)的三種解題方法。

（1）用二次函數(shù)形式的公式解題。當(dāng)已知是等差數(shù)列時(shí)，前項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)，反之也成立。

實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1：在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和滿足：，則=_________

解析：設(shè)，因?yàn)?img alt="" height="25" src="file：///C：/Users/ADMINI～1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image073.gif" width="91"/>，所以。.

（2）用二次函數(shù)配方法求等差數(shù)列前項(xiàng)和的單調(diào)性和最值。由于等差數(shù)列前項(xiàng)和是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)，故其單調(diào)性可通過(guò)拋物線的性質(zhì)來(lái)探討，其單調(diào)性關(guān)鍵看拋物線的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向。解答等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題可用以用二次函數(shù)配方法。

實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練2：已知等差數(shù)列{}中=13且=，那么n取何值時(shí)，取最大值。

解：設(shè)公差為d，由=可解得：d= -2， 所以，其圖像是開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是n=7，故由拋物線性質(zhì)可知當(dāng)n=7，取最大值49。

（3）設(shè)等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，不妨設(shè)，則，是關(guān)于的一次函數(shù)式，故也是等差數(shù)列，可直接用等差數(shù)列的性質(zhì)解題。

以上就是我在教學(xué)等差數(shù)列知識(shí)的時(shí)候，從一次函數(shù)及二次函數(shù)的角度探討等差數(shù)列的性質(zhì)總結(jié)出來(lái)的幾點(diǎn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)進(jìn)程中經(jīng)常能取得很好的教學(xué)效果。用已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)去學(xué)習(xí)新內(nèi)容，化“陌生”的知識(shí)為“熟悉”，能讓學(xué)生更容易接受，同時(shí)也體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“內(nèi)在美”。從多角度去分析和講解新知識(shí)，既豐富了課堂教學(xué)也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，我們教師在教學(xué)中可多嘗試多挖掘。