王幼軍 高 飛

1962年，美國(guó)科學(xué)哲學(xué)家、科學(xué)史家托馬斯·庫(kù)恩在《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》 （以下簡(jiǎn)稱為《結(jié)構(gòu)》）①Thomas S. Kuhn， The Structure of Scientific Revolutions， Chicago： Chicago University Press， 1st edition， 1962；2nd edition，1970. 中譯本：托馬斯·庫(kù)恩：《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》，金吾倫、胡新和譯，北京：北京大學(xué)出版社2003年版。中提出了一個(gè)令人耳目一新的科學(xué)哲學(xué)理論，其中構(gòu)建科學(xué)哲學(xué)的概念框架以及科學(xué)革命的思想方法立刻在眾多領(lǐng)域引起了熱烈的反響。對(duì)于科學(xué)史界而言，其理論的魅力主要緣于兩點(diǎn)：一是庫(kù)恩所描繪的與傳統(tǒng)觀點(diǎn)大異其趣的科學(xué)革命模式，這個(gè)模式意味著科學(xué)的發(fā)展歷史并不是一個(gè)科學(xué)事實(shí)不斷累積增加的單一過(guò)程，而是充斥著因危機(jī)而導(dǎo)致的革命階段，也就是新舊范式的轉(zhuǎn)換，這是一個(gè)非連續(xù)的過(guò)程；二是其理論中所蘊(yùn)含的強(qiáng)烈的“反輝格史觀”，庫(kù)恩在該書(shū)引言中明確提出反對(duì)貫穿于20世紀(jì)科學(xué)教育中的以進(jìn)步為主線的科學(xué)觀，他倡導(dǎo)從歷史中認(rèn)識(shí)科學(xué)的本質(zhì)，呼吁摒棄不足以反映科學(xué)真實(shí)歷史的輝格史觀。①Joan L. Richards， “The History of Mathematics and L’esprithumain： A Critical Reappraisal”， Osiris， Vol. 10，1995，pp. 122—135.庫(kù)恩理論及其所蘊(yùn)含的嶄新觀念為現(xiàn)代科學(xué)史研究的豐富性打開(kāi)了大門，對(duì)科學(xué)史領(lǐng)域的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。

但值得注意的是，庫(kù)恩在《結(jié)構(gòu)》中只是把革命模式的適用性限制在自然科學(xué)范圍內(nèi)，他未將數(shù)學(xué)納入其革命理論的探討之中，至于該理論對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的適用性或有效性，他似乎持謹(jǐn)慎甚至懷疑的態(tài)度。不過(guò)，鑒于其對(duì)于科學(xué)史研究的巨大啟發(fā)性，庫(kù)恩理論也逐漸引起愈來(lái)愈多的數(shù)學(xué)史家的關(guān)注。自20世紀(jì)70年代以來(lái)，人們對(duì)該理論與數(shù)學(xué)史之關(guān)系及一些相關(guān)的問(wèn)題展開(kāi)了熱烈的討論，這些討論對(duì)以后的數(shù)學(xué)編史產(chǎn)生了一定的影響。那么，庫(kù)恩理論究竟對(duì)該領(lǐng)域產(chǎn)生了什么作用和影響？這是一個(gè)在學(xué)界還鮮有人專門研究的問(wèn)題。有感于此，本文將基于編史學(xué)的視角，遵循歷史研究進(jìn)路，聚焦于對(duì)近代西方數(shù)學(xué)史研究領(lǐng)域的主要文獻(xiàn)和案例的分析評(píng)論，探討庫(kù)恩理論與西方數(shù)學(xué)史研究之關(guān)系的總體脈絡(luò)。本文主要包括三個(gè)方面的內(nèi)容：首先概述18世紀(jì)以來(lái)西方數(shù)學(xué)編史傳統(tǒng)的形成，再對(duì)發(fā)生在20世紀(jì)70年代的庫(kù)恩理論對(duì)數(shù)學(xué)史適用性的爭(zhēng)論進(jìn)行辨析，最后探討庫(kù)恩理論對(duì)現(xiàn)代西方數(shù)學(xué)史研究轉(zhuǎn)向和實(shí)踐的具體影響。

一、西方數(shù)學(xué)史研究傳統(tǒng)溯源

數(shù)學(xué)編史的源頭可以追溯至古希臘，而數(shù)學(xué)史作為一門專業(yè)研究則興起于18世紀(jì)初。當(dāng)時(shí)，近代數(shù)學(xué)本身的快速發(fā)展及其應(yīng)用于其他領(lǐng)域所取得的輝煌成就，使得數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)家的聲譽(yù)和地位得到空前的提升，這種狀況激發(fā)了人們對(duì)收集和整理數(shù)學(xué)史料的重視。由于數(shù)學(xué)家在研究中可能會(huì)有意無(wú)意地重復(fù)或使用他人的成果，因此，將榮譽(yù)歸于應(yīng)得之人成為數(shù)學(xué)歷史的首要目標(biāo)①德國(guó)數(shù)學(xué)史家施奈德（I. Schneider）認(rèn)為，近代意義上的數(shù)學(xué)史研究的緣起與18世紀(jì)初牛頓和萊布尼茨關(guān)于微積分發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權(quán)爭(zhēng)論有關(guān)，參見(jiàn)Ivo Schneider， “The History of Mathematics： Aims，Results，and Future Prospects”， in S. S. Demidov， et al. （eds.）， Amphora， Basel：Birkh?user， 1992， pp. 619—629。；由此決定了早期數(shù)學(xué)史研究的主要工作是史料的收集、編撰和整理，尤其注重描述相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)是在何時(shí)、何地、由何人做出的以及怎樣做出的，強(qiáng)調(diào)記錄編年細(xì)節(jié)以及刻畫相關(guān)主題的概覽。這種編年史風(fēng)格在18世紀(jì)的英國(guó)數(shù)學(xué)家蒙特莫特（Pierre Rémond De Montmort）那里已初露端倪。蒙特莫特本人在其數(shù)學(xué)生涯中也曾深陷與德莫弗（Abraham De Moivre）關(guān)于概率問(wèn)題優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論。他在后期完全致力于數(shù)學(xué)歷史的編撰。他認(rèn)為，每一門科學(xué)、藝術(shù)和工藝都應(yīng)該有自己的歷史，歷史不僅可以將發(fā)現(xiàn)的優(yōu)先權(quán)公平地歸屬于發(fā)現(xiàn)者，而且也有益于理解人類思想的整體進(jìn)步歷程；在所有的歷史中，數(shù)學(xué)史是人類心智進(jìn)步的最佳代表，因?yàn)閿?shù)學(xué)是上帝在其造物中賦予人類優(yōu)越地位的最好展示。蒙特莫特為自己設(shè)定了一個(gè)宏偉目標(biāo)：完成一部古今數(shù)學(xué)通史。遺憾的是，直到去世他也未能實(shí)現(xiàn)這個(gè)夢(mèng)想，他的數(shù)學(xué)史草稿也遺失殆盡，所幸他的數(shù)學(xué)史觀在18世紀(jì)蒙圖克拉（J. E. Montucla）的著作中有所體現(xiàn)。②Joan L. Richards， “Historical Mathematics in the French Eighteenth Century”，Isis， Vol. 97， 2006， pp. 700—713.

為數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中的每一細(xì)節(jié)進(jìn)行詳細(xì)記錄的歷史撰述風(fēng)格在啟蒙運(yùn)動(dòng)時(shí)期得以進(jìn)一步發(fā)展。在數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾（J. R. d’Alembert）、拉格朗日（J. L. Lagrange）等人的推動(dòng)之下，賦予數(shù)學(xué)史的崇高使命得以進(jìn)一步加強(qiáng)——將數(shù)學(xué)事實(shí)的增加與人類的理性精神和社會(huì)文明的不斷進(jìn)步聯(lián)系起來(lái)。對(duì)拉格朗日和達(dá)朗貝爾來(lái)說(shuō)，幾何學(xué)（數(shù)學(xué)）是唯一具有嚴(yán)格確定性的知識(shí)：數(shù)學(xué)是人類所有知識(shí)的典范，它對(duì)人具有教化功能，這種作用在數(shù)學(xué)家身上被鮮明地體現(xiàn)出來(lái)。數(shù)學(xué)家，只有數(shù)學(xué)家，才能夠?qū)崿F(xiàn)理性的自主，才能體現(xiàn)人性中善的本質(zhì)；接受過(guò)數(shù)學(xué)教育的民眾將是開(kāi)明的民眾，進(jìn)而“整個(gè)國(guó)家和民族將會(huì)受益于這種精神所迸發(fā)的光芒”。所以，偉大的數(shù)學(xué)家應(yīng)該被銘記，作為展現(xiàn)人類心智、洞察力乃至文明不斷進(jìn)步歷程的數(shù)學(xué)歷史是值得研究的。③Judith N. Shklar， “Jean d’Alembert and the Rehabilitation of History”，Journal of the History of Ideas， Vol. 42，1981， pp. 643—664.這種數(shù)學(xué)史觀在豐特奈爾（Bernard Le Bovier de Fontenelle）的著作中、在拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）的決定論世界觀中都有充分的體現(xiàn)，即人類的認(rèn)知會(huì)逐漸地趨向真理的極限、接近真理的過(guò)程，可以被理解為將人類所有智力活動(dòng)領(lǐng)域數(shù)學(xué)化的過(guò)程。這種啟蒙色彩的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)史觀在蒙圖克拉的第一部系統(tǒng)的數(shù)學(xué)史著作中體現(xiàn)得淋漓盡致。①Jean-Etienne Montucla， Histoire des mathématiques， 2 Vols.， 1758； 2nd edition 4 Vols.， Paris： Agasse， 1799—1802.

蒙圖克拉的鴻篇巨制《數(shù)學(xué)史》堪稱啟蒙運(yùn)動(dòng)的杰出貢獻(xiàn)之一，該著作在精神上與當(dāng)時(shí)的百科全書(shū)學(xué)派，尤其是與達(dá)朗貝爾和拉格朗日所倡導(dǎo)的思想緊密契合。蒙圖克拉用來(lái)構(gòu)建從古代到18世紀(jì)的宏大數(shù)學(xué)敘事的基本概念是“進(jìn)步”，即數(shù)學(xué)史是一個(gè)人類理解力不斷增長(zhǎng)的線性發(fā)展的故事?！霸谒锌茖W(xué)中，數(shù)學(xué)在尋求真理的道路上是最可靠、最持久的……它的發(fā)展從來(lái)沒(méi)有被令人尊嚴(yán)蒙羞的挫敗所打斷，而這樣的例子在其他的知識(shí)領(lǐng)域中卻比比皆是?！泵蓤D克拉將這種進(jìn)步觀念與樂(lè)觀精神融入到數(shù)學(xué)史的寫作中。他收集和審視了能夠得到的所有資料，所涉足的歷史空間空前廣闊：從古老的巴比倫、埃及、希臘甚至是東方的中國(guó)，直到18世紀(jì)末的所有數(shù)學(xué)分支，包括純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、實(shí)用儀器的發(fā)明等。蒙圖克拉對(duì)于數(shù)學(xué)史的貢獻(xiàn)是開(kāi)創(chuàng)性的，他關(guān)于數(shù)學(xué)編史方法、研究理念和目標(biāo)等被后世的數(shù)學(xué)史研究者所繼承。他本人試圖完成一項(xiàng)宏大的計(jì)劃：全面和精確地理解各個(gè)時(shí)代豐富而復(fù)雜的數(shù)學(xué)，為從古至今的數(shù)學(xué)描繪出一幅不斷增長(zhǎng)和進(jìn)步的完整畫卷，但這個(gè)設(shè)想未能實(shí)現(xiàn)。這項(xiàng)未竟的事業(yè)成為以后近兩個(gè)世紀(jì)中的數(shù)學(xué)史研究者競(jìng)相努力的目標(biāo)：盡可能完整和細(xì)致地描繪出數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)代的數(shù)學(xué)體系不斷進(jìn)步的歷程。這種數(shù)學(xué)史觀成為了激發(fā)后世數(shù)學(xué)史研究的主要?jiǎng)恿?，也為以后相?dāng)長(zhǎng)時(shí)期的數(shù)學(xué)史研究奠定了基調(diào)。

19世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)在本質(zhì)上不同于其他自然科學(xué)，數(shù)學(xué)的發(fā)展史是真理事實(shí)不斷增加累積的過(guò)程，這種數(shù)學(xué)編史觀一直在數(shù)學(xué)史研究中占據(jù)著主導(dǎo)地位。德國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家赫爾曼·漢克爾（Hermann Hankel）用一段形象化的語(yǔ)言將之描述出來(lái)，他說(shuō)：“在大多數(shù)的學(xué)科里，一代人的建筑為下一代人所摧毀，一個(gè)人的創(chuàng)造被另一個(gè)人所破壞。唯獨(dú)數(shù)學(xué)，每一代人都在古老的數(shù)學(xué)大廈上添加一層樓?！雹贖. Hankel， Die Entwicklung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten， Antrittsvorlesung， Tübingen， 1871， S. 25.這種信念的體現(xiàn)是內(nèi)在主義的編史傳統(tǒng)一直作為19世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)史研究的主流進(jìn)路。在20世紀(jì)30年代，這種傳統(tǒng)通過(guò)“科學(xué)史之父”喬治·薩頓（George Sarton）的努力得以延續(xù)和加強(qiáng)。內(nèi)史傳統(tǒng)主導(dǎo)的結(jié)果是強(qiáng)化了數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)學(xué)科的自然聯(lián)盟③Philip Kitcher and William Aspray， “History of Mathematics： A Brief and Biased History”， in Aspray and Kitcher（eds.），History and Philosophy of Modern Mathematics，Minneapolis：University of Minnesota Press，1988， pp. 20—31.。長(zhǎng)期以來(lái)，活躍在數(shù)學(xué)史研究領(lǐng)域的人主要是受過(guò)大量數(shù)學(xué)專業(yè)訓(xùn)練的人，包括一些數(shù)學(xué)家或者欣賞數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值的人；前者的工作集中于數(shù)學(xué)各學(xué)科的主題歷史，旨在收集不同時(shí)期的重要數(shù)學(xué)人物和事件的材料，并將之整理并置于一幅不斷擴(kuò)展壯大的圖景之中。19世紀(jì)末期英國(guó)數(shù)學(xué)家托特亨特（I. Todhunter）、德國(guó)的康托爾（M. Cantor）和克萊因（F. Klein）等人的數(shù)學(xué)史著作是這種進(jìn)路的典型代表。對(duì)于欣賞數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的后者而言，代表著人類理性進(jìn)步歷程的數(shù)學(xué)史，可以成為吸引學(xué)生以及公眾喜歡和理解數(shù)學(xué)的有效工具。這種認(rèn)識(shí)促使了大量以教學(xué)和普及為目的的通俗數(shù)學(xué)史書(shū)籍和文章的產(chǎn)生：史密斯（David Eugene Smith）的《數(shù)學(xué)史》 （1906）是第一部提供這類材料的著作①David Eugene Smith， History of Modern Mathematics，London： Chapman and Hall， 1906.，其后，大量諸如貝爾（E. T.Bell）、博耶（K. Boyer）、卡約黎（F. Cajori）、伊夫斯（H. Eves）等人所著的數(shù)學(xué)通史皆承載著教育的使命。

至20世紀(jì)中期，西方數(shù)學(xué)史已在自己的一套編史體系和傳統(tǒng)中運(yùn)行了近兩百年，在此期間所取得的成果是引人注目的。然而，20世紀(jì)70年代以來(lái)，數(shù)學(xué)史研究趨向發(fā)生了一些明確的變化。此時(shí)，人們開(kāi)始關(guān)注和反思其研究傳統(tǒng)的某些缺陷，比如，視野的狹隘性，方法的單一性，認(rèn)識(shí)論上對(duì)數(shù)學(xué)和歷史本質(zhì)的理解以及研究主體的封閉性，等等。導(dǎo)致這種轉(zhuǎn)向的因素眾多，其中與20世紀(jì)中期興起的反叛傳統(tǒng)的邏輯實(shí)證主義的哲學(xué)思潮不無(wú)關(guān)系；而庫(kù)恩理論是這種哲學(xué)思潮的主要代表，其影響最為彰顯。

二、庫(kù)恩理論應(yīng)用于數(shù)學(xué)史研究的爭(zhēng)論

相比于科學(xué)史領(lǐng)域，數(shù)學(xué)史界對(duì)于庫(kù)恩理論的反應(yīng)可以說(shuō)是姍姍來(lái)遲。不過(guò)，至20世紀(jì)70年代，有一個(gè)問(wèn)題還是愈來(lái)愈引起人們的興趣：數(shù)學(xué)中是否發(fā)生過(guò)革命？基于上述所描述的數(shù)學(xué)編史中占主導(dǎo)地位的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀以及數(shù)學(xué)發(fā)展的圖景，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的回答似乎應(yīng)該是否定的，因?yàn)?，?shù)學(xué)知識(shí)的確定性以及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的邏輯架構(gòu)等本質(zhì)特點(diǎn)就排除了庫(kù)恩理論中最基本的部分——革命；數(shù)學(xué)在邏輯上是相容的，其變化必然是由一個(gè)個(gè)被證明的事實(shí)累積而成的，因此，庫(kù)恩式的革命不僅在實(shí)際上不會(huì)發(fā)生，而且在原則上也不可能發(fā)生。這種對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其發(fā)展模式的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)由美國(guó)圣母大學(xué)的邁克爾·克羅（M. J. Crowe）教授在一篇關(guān)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)和數(shù)學(xué)革命問(wèn)題的文章中明確地表述出來(lái)。

1974年8月，在美國(guó)藝術(shù)與科學(xué)學(xué)院舉行的現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展研討會(huì)上，克羅提交了一篇題為《數(shù)學(xué)史變化模式的十條定律》的論文①該文隨后在Historia Mathematica上發(fā)表。Michael J. Crowe，“ Ten‘ laws’ Concerning Patterns of Change in the History of Mathematics”， Historia Mathematica，Vol. 2， 1975， pp. 161—166.，其中的第十條定律是：“數(shù)學(xué)從未發(fā)生過(guò)革命……”他解釋道：“我對(duì)革命的否認(rèn)是建立在對(duì)‘革命’的某種限制性定義的基礎(chǔ)上的，在我看來(lái)，這種定義包含了這樣一種規(guī)定，即拋棄或推翻數(shù)學(xué)中一個(gè)以前被接受的實(shí)體。”庫(kù)恩的革命意味著舊的范式必定被新的范式所取代，舊理論的某些部分在新范式中被視為不可通約、難以解釋甚至是錯(cuò)誤的。但數(shù)學(xué)的斷言不同于科學(xué)的斷言，數(shù)學(xué)定理在某種程度上體現(xiàn)了“真理的永恒性”，一個(gè)數(shù)學(xué)命題一旦被證明是正確的，就沒(méi)有被證偽的可能性了。數(shù)學(xué)定理是從公理出發(fā)，運(yùn)用純邏輯的方法，可以被一勞永逸地證明。隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的擴(kuò)展，即使某些數(shù)學(xué)定理甚至某個(gè)數(shù)學(xué)分支的地位或重要性可能會(huì)發(fā)生改變，或許被新的研究趨勢(shì)邊緣化，但永遠(yuǎn)不會(huì)被拋棄或推翻，古老的定理永遠(yuǎn)不會(huì)消失。克羅認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)中可能存在某些被拋棄的部分，但這種革命只會(huì)發(fā)生在數(shù)學(xué)符號(hào)、術(shù)語(yǔ)、方法論甚至其歷史中，但不會(huì)發(fā)生在數(shù)學(xué)本體上；例如，非歐幾何“確實(shí)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)本質(zhì)觀的革命性變化，即數(shù)學(xué)哲學(xué)的革命，但不是數(shù)學(xué)本身的革命”②Ibid.。舊的內(nèi)容（如歐式幾何）以不同的方式保持著有效性，而新的內(nèi)容只是與之并立共存。

克羅的這篇會(huì)議論文在數(shù)學(xué)史界激發(fā)了一場(chǎng)關(guān)于庫(kù)恩的科學(xué)革命理論對(duì)數(shù)學(xué)史適用性的激烈爭(zhēng)論。他的觀點(diǎn)立刻引來(lái)了兩位數(shù)學(xué)史家的回應(yīng)，最先給予回應(yīng)的是紐約市立大學(xué)的約瑟夫·道本（J. W. Dauben）教授，在1974年8月舉行的美國(guó)科學(xué)史學(xué)會(huì)年會(huì)上，道本在會(huì)議報(bào)告論文中給出一個(gè)針?shù)h相對(duì)的觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)中發(fā)生過(guò)革命。③該文于1984年被收錄于一個(gè)文集中：Joseph Dauben，“Conceptual Revolutions and the History of Mathematics”，in E. Mendelsohn （ed.）， Transformation and Tradition in the Sciences，New York： Cambridge University Press， 1984，pp. 81—103。道本認(rèn)為，對(duì)于“數(shù)學(xué)中是否發(fā)生過(guò)革命”這一問(wèn)題的回答取決于對(duì)“革命”這個(gè)概念含義的理解，必須對(duì)庫(kù)恩所給出的嚴(yán)格定義進(jìn)行寬泛化的重新解釋，因?yàn)椤皼](méi)有理由期待數(shù)學(xué)這樣的純邏輯演繹的學(xué)科也會(huì)經(jīng)歷自然科學(xué)那樣的變革或革命，特別是那種與庫(kù)恩教授的‘反?！C(jī)—革命’的框架模式相符合的革命”。在對(duì)“革命”概念進(jìn)行改進(jìn)和拓展中，他借鑒了科恩（I. B. Cohen）所闡釋的從18 世紀(jì)政治語(yǔ)境中因襲下來(lái)的“革命”含義，再結(jié)合數(shù)學(xué)本身所具有的特殊性，得出數(shù)學(xué)革命應(yīng)該具備的以下幾點(diǎn)主要特 征：

1.數(shù)學(xué)中的革命進(jìn)展并不總是拒絕或否定舊的秩序。

2.新理論的革命性常常表現(xiàn)為因?qū)εf理論框架和約束的突破而極大地?cái)U(kuò)展了理論范疇。

3.革命性發(fā)現(xiàn)的特征還體現(xiàn)在問(wèn)題解決的能力中，新理論的問(wèn)題解決能力更完備、更有力、更綜合。

4.新發(fā)現(xiàn)在初期所遇到的阻力大小可以作為衡量其革命性的一個(gè)重要指標(biāo)。

基于對(duì)數(shù)學(xué)革命的上述理解，道本認(rèn)為，數(shù)學(xué)史中不乏一些革命性的事件①道本對(duì)于數(shù)學(xué)革命含義的進(jìn)一步解釋及案例研究，可參見(jiàn)Joseph Dauben，“Are There Revolutions in Mathematics?”，in Proceeding of Multidisciplinary Symposium of Structures in Mathematical Theories，1990， pp. 205—229。，例如，不可公度量、微積分、非歐幾何、集合論、哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ淼榷际歉锩缘陌l(fā)現(xiàn)：它們不只是單純地增加了數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容，而且也改變了人們看待數(shù)學(xué)的方式；在每一事件發(fā)生后，數(shù)學(xué)已非比從前。在數(shù)學(xué)歷史上，這些具有革命性的事件總是為人提供了新的思維方式，并產(chǎn)生了比以往任何時(shí)候都更有力和更普遍的結(jié)果；在初始階段，新的發(fā)現(xiàn)總是遇到較大的阻力，但會(huì)逐漸吸引越來(lái)越多的研究者，直至最后，舊的數(shù)學(xué)再也難以引起人們的強(qiáng)烈興趣。因此，數(shù)學(xué)知識(shí)即使是漸進(jìn)累積的，也不表明它不能經(jīng)歷合法化的革命階段；在這種意義上，漸進(jìn)累積與革命并不矛盾。

柏林理工大學(xué)的赫伯特·梅爾滕斯（H. Mehrtens）教授對(duì)克羅的觀點(diǎn)也提出了反駁。在1976年發(fā)表的《庫(kù)恩的理論與數(shù)學(xué)》一文中②Herbert Mehrtens，“Kuhn’s Theories and Mathematics：A Discussion Paper on the‘New Historiography of Mathematics’”，Historia Mathematica， Vol. 3， 1976， pp. 297—320.，他討論了庫(kù)恩理論中的“科學(xué)共同體”“常規(guī)科學(xué)”“反?，F(xiàn)象”“危機(jī)”“革命”等概念在數(shù)學(xué)史中的適用性，認(rèn)為由“反?！钡健拔C(jī)”再進(jìn)一步引發(fā)“革命”這種模式的解釋能力是有限的；作為一個(gè)編史學(xué)概念，“革命”一詞具有濃厚的情感色彩，這個(gè)概念針對(duì)的是事件前后的權(quán)力和機(jī)構(gòu)的合法性，這種隱含的政治類比很難用于數(shù)學(xué)歷史的解釋中。他進(jìn)一步反駁了克羅將實(shí)體從形式中分離出來(lái)的觀點(diǎn)，認(rèn)為數(shù)學(xué)史中的有些事件或許可以被冠以“革命”之名，但根本不可能將相關(guān)的實(shí)體從具體形式中抽離出來(lái)。不過(guò)，梅爾滕斯補(bǔ)充說(shuō)，盡管庫(kù)恩的科學(xué)革命理論的一般模式難以被完全套用在數(shù)學(xué)上，但其許多概念對(duì)數(shù)學(xué)編史是有借鑒價(jià)值的，其中最引起他關(guān)注的是“科學(xué)共同體”，他認(rèn)為這個(gè)以學(xué)者群體為核心的社會(huì)學(xué)概念具有很強(qiáng)的解釋力，它為在數(shù)學(xué)史研究中引入社會(huì)學(xué)視角提供了基礎(chǔ)，例如，通過(guò)聚焦于“數(shù)學(xué)共同體”的社會(huì)屬性，可以將數(shù)學(xué)家及其群體的社會(huì)地位以及數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造的社會(huì)維度納入到數(shù)學(xué)史中，這有助于闡明數(shù)學(xué)成就與時(shí)代背景的關(guān)系。用這種方式來(lái)解釋和理解過(guò)去的數(shù)學(xué)家以及他們的努力和失敗，相較于數(shù)學(xué)史研究中的主流傾向——僅僅根據(jù)當(dāng)代標(biāo)準(zhǔn)去審視和評(píng)價(jià)過(guò)去，可以令人更公正和客觀地對(duì)待數(shù)學(xué)的歷史。

繼道本和梅爾滕斯教授之后，相繼有許多數(shù)學(xué)史家和哲學(xué)家加入這場(chǎng)由克羅所引發(fā)的爭(zhēng)論中。1992年，英國(guó)數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)史家唐納德·吉利斯（Donald Gillies）將十幾位參與者從不同角度探討該議題的文章收載于一本題為《數(shù)學(xué)中的革命》的文集中①Donald Gillies （ed.）， Revolutions in Mathematics， Oxford： Clarendon Press，1992.，這些作者的觀點(diǎn)具有一定的代表性。他們幾乎都沒(méi)有否定在數(shù)學(xué)發(fā)展中存在一些具有“革命性的”發(fā)現(xiàn)，比如微積分、非歐幾何或抽象代數(shù)等，但顯而易見(jiàn)的是，這些革命性變化的出現(xiàn)并未推翻舊的數(shù)學(xué)，當(dāng)今學(xué)校的數(shù)學(xué)課本是古老的算術(shù)、幾何和代數(shù)恒久有效性的見(jiàn)證，這些內(nèi)容早在五百年前甚至更久遠(yuǎn)的時(shí)代已經(jīng)被實(shí)踐過(guò)了，直到今天它們?nèi)匀皇菙?shù)學(xué)學(xué)科的普遍基礎(chǔ)。那么，數(shù)學(xué)是如何在保持不變的情況下發(fā)生變化的呢？什么變化值得稱為是革命性的？在某些情況下，有人看到了革命而另一些人卻看不到，數(shù)學(xué)革命的體現(xiàn)是什么？數(shù)學(xué)發(fā)展的模式是什么? 等等，參與者在這些關(guān)鍵問(wèn)題上存在較大的分歧。盡管如此，伴隨著這場(chǎng)爭(zhēng)論的進(jìn)行，庫(kù)恩理論對(duì)數(shù)學(xué)史研究的影響不斷擴(kuò)大，這場(chǎng)始于20世紀(jì)70年代的辯論，在以后較長(zhǎng)的時(shí)間里仍然有許多學(xué)者陸續(xù)加入，庫(kù)恩理論中所蘊(yùn)含概念的新穎性和啟發(fā)性以及其理論視野的可拓展性，為數(shù)學(xué)史研究打開(kāi)了廣闊的視野和空間。這預(yù)示了數(shù)學(xué)史研究的豐富性，而《結(jié)構(gòu)》以后的數(shù)學(xué)史發(fā)展有力地證明了這一點(diǎn)。

三、《結(jié)構(gòu)》以后的數(shù)學(xué)史研究

在《結(jié)構(gòu)》之后，更多學(xué)者將爭(zhēng)議擱置一旁，致力于將庫(kù)恩、拉卡托斯等科學(xué)哲學(xué)家的思想融貫于數(shù)學(xué)史的研究實(shí)踐中。通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史的局限性的反思，數(shù)學(xué)史領(lǐng)域的面貌得以革新。近半個(gè)世紀(jì)以來(lái)，該領(lǐng)域的基本理念、目標(biāo)、方法和范疇，以及研究主體等方面發(fā)生了顯著的變化，其中因庫(kù)恩理論的直接或間接影響而呈現(xiàn)出的內(nèi)涵特質(zhì)與學(xué)術(shù)景象主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方 面：

（一） 庫(kù)恩理論對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究的一個(gè)最直接和鮮明的影響是數(shù)學(xué)編史中對(duì)于數(shù)學(xué)歷史圖景的重構(gòu)。這種研究所勾勒的數(shù)學(xué)發(fā)展圖景遠(yuǎn)遠(yuǎn)突破了以往單調(diào)累積的線性發(fā)展圖景，而這種突破主要是得益于對(duì)庫(kù)恩理論中的一些相關(guān)概念（比如：范式或?qū)W科基質(zhì)、革命、科學(xué)共同體，等等）的借鑒和拓展研究，這些思想概念為追溯數(shù)學(xué)的歷史提供了豐富的敘事結(jié)構(gòu)和有效載體。以下是沿這一進(jìn)路所進(jìn)行的幾個(gè)頗具影響力的研究案例。

庫(kù)恩理論中最為數(shù)學(xué)史家所關(guān)注和借鑒的一個(gè)概念非“革命”莫屬。美國(guó)數(shù)學(xué)史家約瑟夫·道本和朱迪思·格拉比內(nèi)（J. Grabiner）是以此為切入點(diǎn)重構(gòu)某些數(shù)學(xué)分支歷史的典型代表。兩位學(xué)者皆基于被賦予新含義的“數(shù)學(xué)革命”概念，倡導(dǎo)在數(shù)學(xué)編史中構(gòu)建革命性的變化圖景，以此挑戰(zhàn)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史所描繪的過(guò)度簡(jiǎn)單化的圖景。道本認(rèn)為數(shù)學(xué)的發(fā)展可以同時(shí)兼具累積性和革命性，他所考察的康托爾（Georg Cantor）集合論的發(fā)展就是一個(gè)典型的例證——“康托爾的工作并沒(méi)有取代以前的理論，但它確實(shí)以一種革命性的方式增強(qiáng)了先前理論的能力?！雹貸oseph Dauben，“Conceptual Revolutions and the History of Mathematics： Two Studies in the Growth of Knowledge”，in Donald Gillies （ed.）， Revolutions in Mathematics， 1992， pp. 49—71.康托爾在 19 世紀(jì)末創(chuàng)立的集合論引發(fā)了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的廣泛討論，并間接促成了 20 世紀(jì)初數(shù)理邏輯的發(fā)展，進(jìn)而導(dǎo)致后來(lái)的哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ硪约皥D靈（Turing）的理論計(jì)算模式的出現(xiàn)。集合論的語(yǔ)言已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的面貌因集合論的出現(xiàn)而發(fā)生的變化堪稱為革命性的，盡管如此，它并未造成新舊數(shù)學(xué)的不可通約性，今人仍然在閱讀歐幾里得或阿基米德的作品。②Joseph Dauben， George Cantor： His Mathematics and Philosophy of the Infinite，Cambridge， MA：Harvard University Press， 1979.

格拉比內(nèi)借用了克羅曾提出的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展比喻模式：“過(guò)去的數(shù)學(xué)世界就像散布著的無(wú)數(shù)個(gè)城堡，它們?cè)?jīng)傲然聳立，也從未受到攻擊而被摧毀，但卻被當(dāng)今活躍的數(shù)學(xué)家們遺棄了?！雹跰ichael J. Crowe， “Ten Misconceptions about Mathematics and Its History”， in William Aspray and Philip Kitcher （eds.）， History and Philosophy of Modern Mathematics，Minnesota Studies in the Philosophy of Science 11， Minneapolis： University Minnesota Press， 1988， pp. 260—277.格拉比內(nèi)對(duì)這個(gè)比喻進(jìn)行了改進(jìn)，她說(shuō)，過(guò)時(shí)的城堡會(huì)被遺棄也會(huì)被摧毀，不過(guò)，原來(lái)的材料會(huì)被循環(huán)利用在新的建筑中，但這些磚塊以及將它們粘合在一起的砂漿在新舊建筑中的意義和作用有著根本的差異。同一個(gè)形式或概念在不同的結(jié)構(gòu)中有著不同的解釋和意義，比如，如果僅僅將2 + 2 = 4或畢達(dá)哥拉斯定理看作一些磚塊，那么這幅圖景可能就是累積的。但是一堆磚并不能顯示出建筑的美、秩序或功能，2 + 2 = 4可能永遠(yuǎn)是正確的，但在不同的時(shí)代和群體中，人們對(duì)它的解釋和理解是不同的，它可能意味著具體的實(shí)物（例如水果）聚合，或意味著地圖上的距離計(jì)算，或只是某個(gè)抽象群中的命題。因此她的結(jié)論是：“數(shù)學(xué)并不是一門沒(méi)有革命的獨(dú)特科學(xué)。相反，數(shù)學(xué)是人類活動(dòng)中曾經(jīng)發(fā)生過(guò)的破壞性最小但卻最具根本性革命的領(lǐng)域?！彼龘?jù)此觀點(diǎn)考察了從18世紀(jì)到19世紀(jì)法國(guó)的分析數(shù)學(xué)發(fā)生的巨大變化，以及其所導(dǎo)致的數(shù)學(xué)觀的劇變，新的數(shù)學(xué)觀對(duì)多種數(shù)學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生了重大影響。她認(rèn)為這種變化是法國(guó)18、19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展中的一次真正的革命性突破。①Judith V. Grabiner， The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus，Cambridge， MA： MIT Press，1981.

除了“革命”一詞，庫(kù)恩理論中另一被廣泛討論的核心概念是“范式”。在對(duì)這一術(shù)語(yǔ)的闡發(fā)和應(yīng)用中，中國(guó)數(shù)學(xué)史家曲安京教授的研究視角別具特色。他將“范式”理解為學(xué)者共同體所關(guān)注的“問(wèn)題域”，認(rèn)為一門知識(shí)的發(fā)展并不是通過(guò)新舊范式更替的革命模式，而是通過(guò)“問(wèn)題域”的改變或擴(kuò)張而實(shí)現(xiàn)的?；谶@種理解，他提出了重構(gòu)數(shù)學(xué)史路線圖的思想，為此，他選取了在數(shù)學(xué)史上備受關(guān)注的伽羅瓦理論發(fā)展史中的兩個(gè)典型的案例：以拉格朗日的代數(shù)方程理論為例，討論如何根據(jù)對(duì)原始文獻(xiàn)的解讀，進(jìn)行“路線圖”重構(gòu)的研究；然后以分圓方程理論為例，討論高斯 （C. F. Gauss） 如何在拉格朗日路線圖的引導(dǎo)下，構(gòu)建自己的理論，并提出新的問(wèn)題，由此理清了高斯理論的問(wèn)題與方法之來(lái)源。②曲安京：《近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究的一條路徑——以拉格朗日與高斯的代數(shù)方程理論為例》，載《科學(xué)技術(shù)哲學(xué)研究》2018年第12期。

庫(kù)恩理論中的“科學(xué)共同體”概念也被眾多的數(shù)學(xué)史研究者所借鑒。這個(gè)概念使人們關(guān)注的焦點(diǎn)從個(gè)別的數(shù)學(xué)精英及其成就轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)家們所置身的共同體環(huán)境上，比如哥廷根、巴黎、柏林和劍橋等數(shù)學(xué)學(xué)派。相關(guān)的研究包括這些學(xué)派發(fā)起和資助特定的研究和培養(yǎng)特定類型的數(shù)學(xué)家的過(guò)程，包括其機(jī)構(gòu)的運(yùn)作、教育綱領(lǐng)等方面。這些研究業(yè)已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)社會(huì)史的主要內(nèi)容，由此帶來(lái)了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)編史中一個(gè)根深蒂固的信念的變化：數(shù)學(xué)家本人及其數(shù)學(xué)思想都不可避免地受到其所處環(huán)境乃至社會(huì)因素的影響。

（二） 庫(kù)恩理論中的反輝格史觀也導(dǎo)致學(xué)界對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)史觀的重新審視。近幾十年來(lái)，在數(shù)學(xué)編史中這些基本觀念的轉(zhuǎn)變及其引發(fā)的研究趨勢(shì)和實(shí)踐的轉(zhuǎn)向主要體現(xiàn)在研究主體與數(shù)學(xué)編史問(wèn)題的討論、研究者的學(xué)術(shù)背景多樣化、對(duì)數(shù)學(xué)歷時(shí)性問(wèn)題的重視等方面。

首先，研究主體對(duì)于數(shù)學(xué)的塑造價(jià)值在數(shù)學(xué)編史中得以強(qiáng)調(diào)和體現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)的真理性、數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)格性等方面的歷時(shí)性愈來(lái)愈得到重視。這種趨向最先反映在70年代以來(lái)關(guān)于數(shù)學(xué)編史中“內(nèi)在論者”（internalist）與“外在論者”（externalist）誰(shuí)有能力書(shū)寫數(shù)學(xué)的歷史以及應(yīng)該如何書(shū)寫數(shù)學(xué)的歷史等問(wèn)題的辯論中。20世紀(jì)初，隨著數(shù)學(xué)日益專業(yè)化趨勢(shì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)史研究越來(lái)越以數(shù)學(xué)家為主導(dǎo)。數(shù)學(xué)家傾向于把數(shù)學(xué)看作一個(gè)獨(dú)立的、可以自我調(diào)節(jié)的知識(shí)體系，數(shù)學(xué)史成為他們塑造自我的工具，他們難以對(duì)其他群體的研究感到滿意，主要是因?yàn)槠渌麑W(xué)者的知識(shí)背景與數(shù)學(xué)尤其是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的距離。然而，自《結(jié)構(gòu)》出版以來(lái)，庫(kù)恩的反輝格史觀促使人們意識(shí)到，滿足數(shù)學(xué)家期望的數(shù)學(xué)史是有選擇性的，數(shù)學(xué)家們傾向于以當(dāng)代數(shù)學(xué)觀為參照標(biāo)準(zhǔn)去重建過(guò)去的數(shù)學(xué)。1975年，歷史學(xué)家溫古魯（S.Unguru）對(duì)由數(shù)學(xué)家所主導(dǎo)的數(shù)學(xué)史研究狀況提出了尖銳的批評(píng)①Sabetai Unguru，“On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics”， Archive for the History of Exact Sciences， Vol. 15， No. 1， 1975， pp. 67—114.，他認(rèn)為已有的數(shù)學(xué)史研究只是用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的符號(hào)和概念去解釋過(guò)去的數(shù)學(xué)，將現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想和概念強(qiáng)加于過(guò)去的數(shù)學(xué)之上，例如，他認(rèn)為在古希臘數(shù)學(xué)中根本不存在“幾何代數(shù)”這個(gè)概念，它是由當(dāng)代數(shù)學(xué)家從現(xiàn)代的代數(shù)符號(hào)、方法和概念中創(chuàng)造的。溫古魯認(rèn)為，真正的歷史方法應(yīng)該基于對(duì)原始文本的理解去構(gòu)建其來(lái)龍去脈，研究數(shù)學(xué)史不必要以接受現(xiàn)代數(shù)學(xué)的訓(xùn)練為先決條件，這種訓(xùn)練反而會(huì)成為理解過(guò)去的障礙，因?yàn)檫@可能會(huì)導(dǎo)致一些具有時(shí)代誤置的解釋。溫古魯呼吁歷史學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)史方法論進(jìn)行徹底的改革，倡導(dǎo)依據(jù)歷史的、文本的、語(yǔ)言學(xué)的和哲學(xué)的證據(jù)而不是依賴現(xiàn)代數(shù)學(xué)的直覺(jué)展開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)史的系統(tǒng)研究。溫古魯?shù)暮粲跫て鹆藬?shù)學(xué)家韋伊（A. Weil）的反擊，他在1978年舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的一篇報(bào)告論文中給出了回應(yīng)②André Weil，“History of Mathematics： Why and How”， in O. Lehto （ed.），Proceedings of the International Congress of Mathematicians， Helsinki， 1978，pp. 434—442.，該報(bào)告的主旨就是為數(shù)學(xué)家成為數(shù)學(xué)史研究的主體進(jìn)行辯護(hù)。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)家是數(shù)學(xué)史的主要讀者群體，為了追溯“后來(lái)出現(xiàn)在數(shù)學(xué)家頭腦中的概念和方法的早期淵源”，數(shù)學(xué)史研究者接受全面的數(shù)學(xué)訓(xùn)練是必要的，因此數(shù)學(xué)家兼職作一些歷史研究是他們最有回報(bào)價(jià)值的課題之一。他甚至質(zhì)疑“數(shù)學(xué)史是一門介于歷史和數(shù)學(xué)之間的交叉學(xué)科”這種定位，認(rèn)為數(shù)學(xué)史應(yīng)隸屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支。③關(guān)于這場(chǎng)爭(zhēng)論的進(jìn)一步評(píng)述，可參見(jiàn)Volker R. Remmert， et al. （eds.）， Historiography of Mathematics in the 19th and 20th Centuries， Cham： Birkh?user and Springer， 2010， pp. 1—8。

上述“內(nèi)在論者”與“外在論者”的辯論表明，知識(shí)背景迥異的研究者之間的確存在著一定的張力，但這種爭(zhēng)論也揭示了一個(gè)正在發(fā)生的事實(shí)：數(shù)學(xué)史研究開(kāi)始吸引來(lái)自不同知識(shí)背景的研究者。近幾十年來(lái)，諸如數(shù)學(xué)哲學(xué)家、歷史學(xué)家、社會(huì)學(xué)家、科學(xué)史家、社會(huì)建構(gòu)論者、女性主義者等等眾多身份迥異的學(xué)者參與了數(shù)學(xué)史研究以及相關(guān)著作的撰寫，他們從科學(xué)、哲學(xué)、社會(huì)學(xué)乃至于文化等多種視角展開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)史的研究，已促使數(shù)學(xué)史從一門邊界清晰、相對(duì)孤立的學(xué)科轉(zhuǎn)變?yōu)閾碛懈叨乳_(kāi)放性的、跨學(xué)科研究的學(xué)術(shù)領(lǐng)域。

不同背景的研究者的參與使得數(shù)學(xué)史研究的視域得以極大地拓展，其關(guān)注的目標(biāo)不再單純地聚焦于歷史與數(shù)學(xué)本身的關(guān)系上。數(shù)學(xué)史研究開(kāi)始被嵌入到其他更加廣闊的語(yǔ)境之中，諸如數(shù)學(xué)與科學(xué)、社會(huì)、政治和教育等領(lǐng)域的關(guān)系、數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程中的哲學(xué)和文化語(yǔ)境，等等。研究視域的拓展催生了眾多學(xué)術(shù)專著和成果的涌現(xiàn)，這些成果不僅包括對(duì)于傳統(tǒng)分支學(xué)科的新詮釋，而且還包括了以往處于傳統(tǒng)研究之外或較少受到關(guān)注的應(yīng)用數(shù)學(xué)、概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)等分支的歷史研究。①在過(guò)去幾十年里，概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的歷史研究狀況比其他任何數(shù)學(xué)分支的歷史更加具有體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究趨向的典范意義，體現(xiàn)庫(kù)恩理論對(duì)概率統(tǒng)計(jì)史研究影響的部分成果收錄于L. Kruger， et al. （eds.），The Probabilistic Revolution， Vol. 1， Ideas in History； Vol. 2， Ideas in the Sciences， Cambridge， MA：MIT Press，1987。

庫(kù)恩理論促使了對(duì)數(shù)學(xué)史研究的性質(zhì)、目標(biāo)和研究主體等方面的反思和重新定位，而且，庫(kù)恩所倡導(dǎo)的將文本解讀置于歷史語(yǔ)境之中的新史學(xué)方法也影響到了數(shù)學(xué)史研究。對(duì)史學(xué)方法論問(wèn)題的關(guān)注使學(xué)界意識(shí)到了數(shù)學(xué)史研究單純依賴數(shù)學(xué)文本的局限性。一般而言，數(shù)學(xué)的形式化表述大都將其背后的啟發(fā)式直覺(jué)過(guò)程遮蔽了，為了重建缺失的啟發(fā)式過(guò)程，近五十年來(lái)，數(shù)學(xué)史家對(duì)更廣泛的原始文本和史料進(jìn)行了挖掘和拓展研究，這些新嘗試的成果反映在對(duì)許多經(jīng)典事件和人物進(jìn)行重新解釋和更加細(xì)致的描述方面，艾斯帕瑞（W. Aspray）和基切爾（P. Kitcher）以期間出版的眾多人物傳記為例對(duì)此趨向進(jìn)行了分析，諸如康斯坦絲·瑞德（C. Reid）所著的《庫(kù)朗傳》 （1976）和托馬斯·漢金斯（T. Hankins）的《哈密爾頓傳》 （1980）等。這些傳記的作者們幾乎都認(rèn)識(shí)到全面挖掘和研究原始文獻(xiàn)對(duì)于理解數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)歷史的重要性，比如：數(shù)學(xué)家之間的通信、未發(fā)表的手稿、專業(yè)協(xié)會(huì)的記錄，以及與其他相關(guān)者的互動(dòng)信息。這些作者在以現(xiàn)代的概念符號(hào)、嚴(yán)謹(jǐn)性、問(wèn)題含義和學(xué)科邊界等標(biāo)準(zhǔn)去審視過(guò)去的數(shù)學(xué)時(shí)，比其前輩更具有歷史敏感性，他們的著作“使人們重新認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)家思想的微妙且難以捉摸的性質(zhì)及其思維模式的持續(xù)性和復(fù)雜性，這種意識(shí)極大地改變了人們對(duì)數(shù)學(xué)的刻板印象”①Philip Kitcher and William Aspray， “History of Mathematics： A Brief and Biased History”，in Aspray and Kitcher（eds.），History and Philosophy of Modern Mathematics，Minneapolis：University of Minnesota Press，1988， pp. 20—31.。

四、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上聚焦于近代西方數(shù)學(xué)史研究趨向以及對(duì)相關(guān)研究案例和成果的評(píng)析，可以看到，庫(kù)恩理論對(duì)數(shù)學(xué)史研究的影響既體現(xiàn)在研究理念和研究目標(biāo)的抽象層面，也體現(xiàn)在研究主體、研究范疇和研究方法等較為具體的層面；其適用性和有效性在20世紀(jì)后期西方數(shù)學(xué)史研究的一些轉(zhuǎn)向以及所取得的豐碩成果中得到了明確的展現(xiàn)。

但必須指出的是，引發(fā)當(dāng)代數(shù)學(xué)史研究趨向變革的因素是多方面的，比如受到當(dāng)時(shí)西方社會(huì)智識(shí)氛圍、歷史或政治語(yǔ)境等紛繁復(fù)雜因素的影響，尤其受到次第興起的反叛傳統(tǒng)邏輯實(shí)證主義的科學(xué)哲學(xué)思潮的沖擊，而庫(kù)恩的科學(xué)革命理論只是引發(fā)這些轉(zhuǎn)向的重要因素之一。如果著眼于新興的科學(xué)哲學(xué)思潮與自然科學(xué)史的關(guān)系方面，正如已有的大量研究所揭示的那樣，沒(méi)有任何單一的哲學(xué)框架可以涵蓋對(duì)自然科學(xué)發(fā)展歷史的解釋。這種判斷同樣也適用于庫(kù)恩理論與數(shù)學(xué)史的關(guān)系。盡管如此，對(duì)于長(zhǎng)期被單一和封閉的闡釋模式所束縛的數(shù)學(xué)史來(lái)說(shuō)，庫(kù)恩理論對(duì)該領(lǐng)域的視閾拓展、研究?jī)?nèi)容和研究方法革新等方面的借鑒價(jià)值是毋庸置疑的。

另外，本文的意圖并非意味著對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史研究?jī)r(jià)值的消解與否定。實(shí)際上，該領(lǐng)域的傳統(tǒng)路徑在當(dāng)今仍然吸引著眾多的研究者，仍是這個(gè)領(lǐng)域的主要研究進(jìn)路之一。②例如，美國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家M. 克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》即是一部傳統(tǒng)數(shù)學(xué)編史風(fēng)格的代表性著作：Morris Kline， Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， New York： Oxford University Press， 1972。中譯本：M.克萊因：《古今數(shù)學(xué)思想》，張理京、張錦炎、江澤涵譯，上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社1979年版。本項(xiàng)研究旨在為數(shù)學(xué)史研究提供一個(gè)具有啟發(fā)性的思路，數(shù)學(xué)和自然科學(xué)在本體論、認(rèn)識(shí)論等方面既有差異也有聯(lián)系，數(shù)學(xué)史研究不能完全拋開(kāi)對(duì)相關(guān)的基本哲學(xué)問(wèn)題的考察，數(shù)學(xué)史研究者若能敏銳地關(guān)注科學(xué)哲學(xué)與科學(xué)史之關(guān)系以及當(dāng)代科學(xué)史研究的趨勢(shì)，就可以為數(shù)學(xué)史研究的未來(lái)發(fā)展謀求更加廣闊的空間和更加豐富的成果，使之擁有更加旺盛的生命力。