摘要：數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，它擁有奇特的邏輯思維方式和推理體系。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，存在一個(gè)概念，它的特點(diǎn)是非常直觀，明顯，也具有強(qiáng)的說(shuō)服力，這個(gè)概念就是反例。因此，反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的地位。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們要明白反例的概念，同時(shí)也要學(xué)會(huì)如何構(gòu)造一個(gè)完美的反例，并把握反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。它不僅能幫助我們發(fā)現(xiàn)人類歷史上的規(guī)律，而且還可以預(yù)測(cè)未來(lái)，激發(fā)人們的思考。

關(guān)鍵詞：反例 構(gòu)造 作用 思維定勢(shì) 功能固著

引言

在數(shù)學(xué)上，要說(shuō)明一個(gè)命題是正確的，需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的論證，但是要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，舉出一個(gè)反例就夠了。在數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程中，很多著名的數(shù)學(xué)猜想和數(shù)學(xué)命題都是被反例否定的。經(jīng)常有這樣的故事，一位數(shù)學(xué)家用了很長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)證明一個(gè)重要的猜想，卻沒(méi)有得出結(jié)論，而有另外一位科學(xué)家用了一個(gè)反例來(lái)說(shuō)明這個(gè)猜想，卻解決了這個(gè)問(wèn)題。相對(duì)于具體的數(shù)學(xué)命題來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)中的反例是其實(shí)就是為了說(shuō)明某個(gè)數(shù)學(xué)命題不成立而舉出來(lái)的例子，它的作用就是可以有效且快速地對(duì)假命題進(jìn)行否定。早在1970年就有心理學(xué)家表明：“反例攜帶了最適于辨別的關(guān)鍵信息”。美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納也認(rèn)為：“反例能預(yù)防做出‘倉(cāng)促的判斷’”。因此，反例在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)的過(guò)程中起著不可估量的作用。

一、反例的概念

1.邏輯學(xué)中反例的概念

在邏輯學(xué)中，反例是相對(duì)于某個(gè)全稱命題的概念。要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題，通常可以舉出一個(gè)例子，使它滿足命題的所有條件，但是卻得出的與命題的結(jié)論不一樣的結(jié)果，這樣的例子就是命題的反例。

2.教育心理學(xué)中反例的概念

在教育心理學(xué)中，反例屬于否定例證的一種類型。具體來(lái)說(shuō)，定義和概念的正例傳遞了最有利于分析的信息，而反例則傳遞了最有利于判別的信息。不含有某一概念的所有本質(zhì)屬性或只含有該概念的部分本質(zhì)屬性的例證，就是這個(gè)概念的否定例證。而根據(jù)該概念具有概念本質(zhì)屬性的程度，否定例證可以分為兩類：第一類是普通否定例證，這類例證中不具有概念本質(zhì)屬性中較多的或者較明顯的特性，因而比較容易區(qū)分，例如我們很容易在一堆圖形中找出不是四邊形的那一個(gè)圖形，就是三角形，因?yàn)槿切尾痪哂兴倪呅胃拍钪兴臈l封閉線段這一明顯的本質(zhì)屬性，所以被快速的找到。另一類否定例證則是具有較多、較明顯的本質(zhì)屬性，只是不具有少數(shù)的、潛在的本質(zhì)屬性的例證，這樣的例證被稱為反例。

3.數(shù)學(xué)中反例的概念

在數(shù)學(xué)中，符合命題的條件，但不符合命題結(jié)論的例子，就叫做反例。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，反例就是一種指出某命題不成立的具體例子。[1]在數(shù)學(xué)中，一般來(lái)說(shuō)，命題的形式為：具有性質(zhì)，我們要說(shuō)明這個(gè)命題為真，則必須使中任意一個(gè)元素都具有性質(zhì)，而要說(shuō)明這個(gè)命題為假，則只需找到一個(gè)元素，但元素不具有性質(zhì)即可，也就是構(gòu)造了一個(gè)反例予以反駁。例如，對(duì)于命題“若兩個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，那么它們的和也是質(zhì)數(shù)”的判斷，我們可以構(gòu)造一個(gè)反例：3和5是質(zhì)數(shù)，但是3+5的和8不是質(zhì)數(shù)，進(jìn)而對(duì)該命題進(jìn)行了否定。雖然，從某種意義上來(lái)說(shuō)，指出某命題不成立的任何例子都可以稱為反例。但是，數(shù)學(xué)中所說(shuō)的反例，是建立在獨(dú)特的數(shù)學(xué)思維和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理的基礎(chǔ)上的，而且是具有一定代表性的反例。其中，指出一個(gè)數(shù)學(xué)命題為假命題的反例可能有許多個(gè)，而我們只需要舉出其中一個(gè)即可。

二、反例的構(gòu)造方法

反例的構(gòu)造是根據(jù)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題展開(kāi)的，對(duì)于不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以構(gòu)造出不同的反例，對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題用不同的方法也可以構(gòu)造出不同的反例，所以數(shù)學(xué)中反例的構(gòu)造方法是多種多樣的，但是在解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候我們只需要采取其中最佳的一個(gè)反例就夠了。

在應(yīng)用過(guò)程中，我們可以運(yùn)用類比、組合、靈感、聯(lián)想等創(chuàng)造性思維的形式來(lái)舉出反例，但是反例的構(gòu)造是有一定難度的，因?yàn)樗枰獙W(xué)生有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)基本知識(shí)作為基礎(chǔ)。所以只有在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中不斷的學(xué)習(xí)和積累，才能構(gòu)造出具有很好效果的反例。

1.二分法

所謂“二分法”就是把滿足題設(shè)的情形分為兩種，使其中一種具備某類屬性，而另一種不具備這類屬性，如果在第一種情況下命題成立，則考慮第二種情況，必要時(shí)，可以繼續(xù)采用“二分法”把第二種情況再進(jìn)行分類考查，直到找到反例為止（當(dāng)然有時(shí)也不一定能找到）[2]。

例1：判斷下面命題的真假：

2.特例構(gòu)造法

對(duì)于一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題，直接證明它會(huì)很繁瑣，這個(gè)時(shí)候可以考慮選取典型反例和特殊情況來(lái)構(gòu)造所需要的反例，從而對(duì)命題進(jìn)行有效的否定。

例2：判斷下面命題是否正確：

3.圖形構(gòu)造法

思考題目的幾何意義，采用圖形的方法來(lái)構(gòu)造反例。

例3：判斷下列命題的真假：

分析：假設(shè)函數(shù)，的最小正周期，如果該假設(shè)成立，則函數(shù)的最小正周期也是。故構(gòu)造函數(shù)，使其最小正周期縮小一半（如下圖1）。為使與滿足條件，可取的前半周期與的周期相等，后半周期為;而的前半周期為，后半周期與的周期相等，從而構(gòu)造出反例。這樣根據(jù)圖像可直觀的判定原命題為假命題。

4.題設(shè)數(shù)量關(guān)系討論法

對(duì)于一些真假難分的數(shù)學(xué)命題，在它的題目中往往會(huì)隱含一些數(shù)量關(guān)系，當(dāng)這些數(shù)量關(guān)系和題干的某些條件相符的時(shí)候，命題成立，而和另外一些條件相符的時(shí)候，命題卻不成立。所以，多關(guān)注題目中的數(shù)量關(guān)系就能夠比較容易的構(gòu)造出反例。

例4：證明下面命題的真假：

三、反例在教學(xué)中的作用

1.培養(yǎng)學(xué)生理解概念的有力工具

在概念教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中占有重要的地位，教師應(yīng)該重視學(xué)生對(duì)概念的理解，尤其在學(xué)習(xí)概念的強(qiáng)化階段，要加深學(xué)生對(duì)概念的掌握，就必須在概念學(xué)習(xí)的過(guò)程中適當(dāng)?shù)膽?yīng)用反例來(lái)進(jìn)行教學(xué)，在辨別分析的基礎(chǔ)上，才能對(duì)概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性有明確的理解，在排除大量無(wú)關(guān)條件的干擾后，使學(xué)生重新認(rèn)識(shí)和形成概念。若是沒(méi)有反例，很多無(wú)關(guān)條件就得不到排除。

例如：集合的定義是一些元素組成的總體，要理解這個(gè)概念就要把握集合中元素的特征，即確定性、互異性、無(wú)序性，這樣才能判斷一些元素能否組成集合。

比如不是集合，因?yàn)樗环霞现性氐幕ギ愋?，出現(xiàn)了兩個(gè)相同的元素;再比如也不是集合，因?yàn)樗环霞现性氐拇_定性，是一個(gè)不確定的元素;又比如和是相同的集合，因?yàn)殡m然集合和集合中元素排列順序不同，但是元素相同，符合集合中元素的無(wú)序性，所以是相同的集合。

通過(guò)列舉這樣的反例可以幫助學(xué)生很好的掌握集合的概念，也能檢驗(yàn)自己寫(xiě)出的集合是否正確。

2.培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)

不難發(fā)現(xiàn)，我們現(xiàn)在所使用的數(shù)學(xué)教科書(shū)和相關(guān)的參考書(shū)往往是以正面的陳述和嚴(yán)密的邏輯證明為主，例題也是從正面來(lái)進(jìn)行解釋并驗(yàn)證定理，或說(shuō)明如何使用定理來(lái)解題的，所以老師在教學(xué)的時(shí)候，習(xí)慣于從左到右的正向證明，并且往往偏重演繹論證的練習(xí)，但是這反而抑制了從右到左的逆向思維，導(dǎo)致學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)總是想方設(shè)法的尋找正面的論證方法，以至于對(duì)一個(gè)錯(cuò)題在做了好久也做不出來(lái)的時(shí)候，也不會(huì)去思考是不是這個(gè)題目是錯(cuò)誤的，或者舉出反例來(lái)否定命題。久而久之學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)就很容易形成思維定勢(shì)和功能固著，不會(huì)主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，而數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要傳授基本知識(shí)、基本技能、基本情感、基本方法，還要培養(yǎng)學(xué)生的各種思維能力，如側(cè)向思維、多向思維、反向思維等。

因此老師在教學(xué)過(guò)程中需要引導(dǎo)學(xué)生積極的去質(zhì)疑、去猜想、去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、去解決問(wèn)題，而尋找與構(gòu)造反例的過(guò)程則恰恰是一項(xiàng)充滿創(chuàng)造性的思維活動(dòng)。要構(gòu)造反例首先要對(duì)所涉及的公式、概念、法則、定理等有比較深刻的認(rèn)識(shí)，抓住其本質(zhì)特征，并進(jìn)行積極的思維活動(dòng)，這樣才能構(gòu)造出正確有效的反例。運(yùn)用反例，不僅可以幫助學(xué)生改正學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤，消除思想誤區(qū)，克服學(xué)生的思維定勢(shì)，抑制負(fù)遷移;還可以讓學(xué)生在構(gòu)造反例的過(guò)程中去體會(huì)數(shù)學(xué)思維方式的妙處。一個(gè)“巧妙”的反例可以推翻一個(gè)看似很“牢固”的理論，有人誤以為構(gòu)造反例是所謂的“投機(jī)取巧”，事實(shí)上，反例的構(gòu)造雖然并不像演繹證明那樣有明確的、嚴(yán)密的、有章可循的邏輯方法，但是它是一種高級(jí)的、復(fù)雜的、多維的思維活動(dòng)過(guò)程。

例如：在求函數(shù)定義域的問(wèn)題中也可以運(yùn)用反例。

舉出這樣的反例，可以加深學(xué)生對(duì)定義域求法的理解，克服學(xué)生的思維定勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移的能力。

3.加強(qiáng)學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的鞏固

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)有這樣的現(xiàn)象發(fā)生：當(dāng)教師在講解完新知識(shí)后，通過(guò)例題對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鞏固時(shí)，就會(huì)有部分學(xué)生不聽(tīng)課了，原因是學(xué)生覺(jué)得自己已經(jīng)明白了，學(xué)會(huì)了，理解了，沒(méi)有必要再繼續(xù)聽(tīng)講了，于是開(kāi)始埋頭做自己的事。此時(shí)，教師就要學(xué)會(huì)利用反例來(lái)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行鞏固，對(duì)那些覺(jué)得自己會(huì)了就不聽(tīng)課的同學(xué)進(jìn)行提問(wèn)，通過(guò)逐步加深問(wèn)題的難度，讓這些同學(xué)意識(shí)到自己還有不明白的知識(shí)，還有沒(méi)有掌握的地方，還得要認(rèn)真聽(tīng)課。

例如：在學(xué)習(xí)直線公理“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線”和線段公理“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”的時(shí)候，學(xué)生可能會(huì)感覺(jué)很簡(jiǎn)單，覺(jué)得自己學(xué)會(huì)了，這時(shí)就要舉一些反例讓學(xué)生鞏固已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，而舉一些學(xué)過(guò)的命題的反例則可以更好的鞏固知識(shí)。比如直線公理的反例“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條線段”，線段公理的反例“兩點(diǎn)所有連線中，射線最短”。它們都是錯(cuò)誤的公理，因?yàn)榫€段，射線和直線三者是不同的概念，不能混為一談，互換位置。

這樣的一些反例，可以讓學(xué)生鞏固新知識(shí)，也讓他們明白其實(shí)他們還沒(méi)有真正的領(lǐng)會(huì)這些知識(shí)點(diǎn)，還需要好好的理解學(xué)習(xí)。

4.幫助學(xué)生理解與運(yùn)用性質(zhì)、定理和公式

由于書(shū)上的定理和公式，記錄的都是前人探索的結(jié)論，但卻沒(méi)有他們探索的詳細(xì)過(guò)程，所以在教學(xué)中，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的理解情況適當(dāng)?shù)呐e些反例，這樣才能幫助學(xué)生牢固地掌握性質(zhì)、定理和公式。

例如：指數(shù)函數(shù)（且）的性質(zhì)是過(guò)定點(diǎn)，即時(shí)，。所有的指數(shù)函數(shù)的圖像只過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)。假設(shè)指數(shù)函數(shù)和，它們的圖像不過(guò)點(diǎn)，令，，，得出這兩個(gè)函數(shù)圖像都過(guò)點(diǎn)，則假設(shè)不成立，即所有的指數(shù)函數(shù)的圖像都過(guò)點(diǎn)。

運(yùn)用這些反例，學(xué)生可以很好的理解并掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，為之后學(xué)習(xí)其他知識(shí)奠定一個(gè)良好的基礎(chǔ)。

結(jié)束語(yǔ)

在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，一些反例的出現(xiàn)，標(biāo)志著數(shù)學(xué)理論上一種根本性的改革和突破，推動(dòng)數(shù)學(xué)向前進(jìn)步和發(fā)展，所以說(shuō)有時(shí)候，一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念的形成，反例也起了至關(guān)重要的作用。例如，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)者認(rèn)為世界上任何的數(shù)都可以用有理數(shù)來(lái)表示，在長(zhǎng)達(dá)幾個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里，這個(gè)結(jié)論都影響著人們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，直到公元前五世紀(jì)海帕修斯發(fā)現(xiàn)了單位正方形對(duì)角線的不可公度性（即的無(wú)理性），才徹底的推翻了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于有理數(shù)的理論，雖然誘發(fā)了“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”，但是數(shù)的范圍卻被擴(kuò)充了，無(wú)理數(shù)這個(gè)新的數(shù)學(xué)概念也形成了。從某種意義上來(lái)說(shuō)，反例推動(dòng)了我們數(shù)學(xué)的發(fā)展，正因?yàn)橛辛朔蠢庞辛藬?shù)學(xué)的今天。

反例不僅是我們對(duì)假命題進(jìn)行否定的有效手段，它也可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原有理論的局限性，甚至錯(cuò)誤，尤其在數(shù)學(xué)發(fā)展的轉(zhuǎn)折時(shí)期，一個(gè)完美的反例可能會(huì)直接促進(jìn)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和變革，可以說(shuō)，反例是數(shù)學(xué)這座宏偉殿堂中必不可少的一部分。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：鄭凱琪，女，1996年07月30日，漢，山西大同，上海師范大學(xué)